莆田高三質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(-1,3)

D.R

2.已知集合A={x|x2-5x+6≥0},B={x|2x-1>0},則A∩B等于（）

A.(0,2)

B.(3,+∞)

C.[3,+∞)

D.(-∞,2)∪(3,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z=1+2i的模為|z|，則|z|等于（）

A.√5

B.1

C.2

D.3

4.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=2,a?=10,則該數(shù)列的公差d等于（）

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知圓O的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，則該圓的半徑R等于（）

A.2

B.√3

C.√5

D.3

6.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則該函數(shù)的最小正周期T等于（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

7.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，邊AC=2，則邊BC的長度等于（）

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

8.已知直線l的方程為y=kx+b，且該直線過點(1,2)和點(3,0)，則k的值等于（）

A.-1

B.-2

C.1

D.2

9.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2，則該函數(shù)的極值點為（）

A.x=1

B.x=-1

C.x=1,-1

D.無極值點

10.已知三棱錐ABC的底面為邊長為2的正三角形，高為3，則該三棱錐的體積V等于（）

A.2√3

B.3√3

C.4√3

D.6√3

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=2?

B.y=log?/?(x)

C.y=x2

D.y=√x

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，若a>0，b<0，c>0，則該函數(shù)圖象大致為（）

A.頂點在第一象限

B.與y軸交于正半軸

C.對稱軸在y軸左側(cè)

D.圖象開口向上

3.下列命題中，正確的有（）

A.若lim(n→∞)a?=a，則{a?}一定收斂

B.若函數(shù)f(x)在x=c處連續(xù)，則f(x)在x=c處一定可導(dǎo)

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上一定連續(xù)

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間I上一定可導(dǎo)

4.已知點A(1,2)，點B(3,0)，則下列說法正確的有（）

A.線段AB的長度為2√2

B.線段AB的斜率為-2

C.線段AB的中點坐標(biāo)為(2,1)

D.過點A且與直線AB垂直的直線方程為y=1/2x+3/2

5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則下列說法正確的有（）

A.圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為2

C.圓C與x軸相切

D.點(2,0)在圓C內(nèi)部

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},則A∪B等于________。

2.已知復(fù)數(shù)z=3-4i，則其共軛復(fù)數(shù)z?等于________。

3.已知等比數(shù)列{b?}中，b?=1,b?=16,則該數(shù)列的公比q等于________。

4.已知圓O的方程為x2+y2-6x+8y-11=0，則該圓的圓心坐標(biāo)為________。

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則該函數(shù)的極大值點x等于________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,2]上的最大值和最小值。

2.解不等式：log?(x2-2x-3)>1。

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=10,a??=19，求該數(shù)列的通項公式a?。

4.已知圓C?的方程為x2+y2=25，圓C?的方程為(x-3)2+(y+4)2=9，求圓C?和圓C?的公共弦所在的直線方程。

5.計算定積分：∫[0,π/2]sin(x)cos2(x)dx。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿足x2-2x+3>0，判別式Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0，故x2-2x+3>0恒成立，定義域為R。選項C正確。

2.C

解析：A={x|x≤1或x≥6},B={x|x>1/2}，則A∩B={x|x>1}∩{x|x≤1或x≥6}=[3,+∞)。選項C正確。

3.A

解析：|z|=√(12+22)=√5。選項A正確。

4.B

解析：由等差數(shù)列通項公式a?=a?+(n-1)d，得a?=a?+4d，即10=2+4d，解得d=2。選項B正確。

5.C

解析：圓方程可化為(x-2)2+(y+3)2=4+9+3=16，故半徑R=√16=4。選項C錯誤，應(yīng)為4。此處題目原選項設(shè)置有誤，正確半徑為4。

6.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。選項A正確。

7.B

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC，得BC/√3=2/sin60°，即BC/√3=2/(√3/2)，解得BC=2√2。選項B正確。

8.A

解析：k=(y?-y?)/(x?-x?)=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。選項A正確。

9.C

解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0，得3x2-3=0，解得x=±1。需檢驗二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1為極小值點；f''(-1)=-6<0，故x=-1為極大值點。選項C正確。

10.D

解析：V=(1/3)×底面積×高=(1/3)×(√3/4)×22×3=√3。選項D錯誤，應(yīng)為√3。此處題目原選項設(shè)置有誤，正確體積為√3。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,D

解析：y=2?是指數(shù)函數(shù)，在其定義域R上單調(diào)遞增。y=log?/?(x)是對數(shù)函數(shù)，在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減。y=x2是二次函數(shù)，在其定義域R上單調(diào)遞增的是[0,+∞)部分。y=√x是冪函數(shù)，在其定義域[0,+∞)上單調(diào)遞增。選項A、D正確。

2.B,D

解析：a>0，圖象開口向上。b<0，對稱軸x=-b/2a>0，頂點在第一象限。c>0，與y軸交于正半軸。選項B、D正確。

3.A,C

解析：收斂數(shù)列必有極限，故若lim(n→∞)a?=a，則{a?}收斂?？蓪?dǎo)函數(shù)一定連續(xù)，但連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)（如絕對值函數(shù)在x=0處）。若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)在I上可能有間斷點，但f(x)本身在I上必連續(xù)。函數(shù)單調(diào)性不一定由可導(dǎo)性保證，如狄利克雷函數(shù)在R上單調(diào)遞增但處處不可導(dǎo)。選項A、C正確。

4.A,B,C

解析：|AB|=√((3-1)2+(0-2)2)=√(4+4)=2√2。k_AB=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。中點坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。垂直直線的斜率為1/k_AB=-1/(-1)=1，方程為y-2=1(x-1)，即y=x+1。選項D錯誤，方程應(yīng)為y=x+1。此處題目原選項設(shè)置有誤，正確方程為y=x+1。

5.A,B,C

解析：圓心(1,-2)，半徑√4=2。圓心到x軸距離為|-2|=2，等于半徑，故與x軸相切。點(2,0)到圓心距離√((2-1)2+(0+2)2)=√(1+4)=√5>2，故在圓外。選項A、B、C正確。

三、填空題答案及解析

1.(-1,+∞)

解析：A∪B={x|-1<x<3}∪{x|x≥1}={x|x>-1}=(-1,+∞)。

2.3+4i

解析：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z?是將z中虛部符號取反，得3+4i。

3.2

解析：由等比數(shù)列通項公式b?=b?q??1，得b?=b?q3，即16=1×q3，解得q3=16，故q=2。

4.(3,-4)

解析：圓方程(x-h)2+(y-k)2=r2，與標(biāo)準(zhǔn)方程對比，得圓心(h,k)=(3,-4)，半徑r=√11。題目原方程常數(shù)項計算有誤，應(yīng)為16-11=5，半徑應(yīng)為√5。此處題目原方程設(shè)置有誤，正確方程為x2+y2-6x+8y-5=0，圓心為(3,-4)，半徑為√5。若按原題方程，圓心為(3,-4)，半徑為√11。

5.2

解析：f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(2)=6×2-6=6>0，故x=2為極小值點。f''(0)=6×0-6=-6<0，故x=0為極大值點。極大值點x等于0。題目原函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，f'(x)=3x2-6x，f''(x)=6x-6，x=0處f''(0)=-6<0，x=2處f''(2)=6>0。極大值點為x=0。題目原函數(shù)和選項存在矛盾，若函數(shù)為x3-3x2+2，則極大值點為0。

四、計算題答案及解析

1.最大值5，最小值3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可分段表示：

x≤-2時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

-2<x<1時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3

x≥1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1

在區(qū)間[-3,2]上，f(x)在(-2,1)區(qū)間恒為3。在[-3,-2]區(qū)間，f(x)=-2x-1，是增函數(shù)，f(-3)=5,f(-2)=3。在[1,2]區(qū)間，f(x)=2x+1，是增函數(shù)，f(1)=3,f(2)=5。故最大值為5，最小值為3。

2.(-∞,-2)∪(3,+∞)

解析：由log?(x2-2x-3)>1，得x2-2x-3>33=27。即x2-2x-30>0。解不等式(x-6)(x+5)>0，得x<-5或x>6。需注意定義域x2-2x-3>0，即(x-3)(x+1)>0，解得x<-1或x>3。綜合兩不等式解集，得x<-5或x>6。答案為(-∞,-5)∪(6,+∞)。題目原答案(-∞,-2)∪(3,+∞)錯誤。

3.a?=3n-7

解析：由a?=a?+4d，a??=a?+9d，得10=a?+4d，19=a?+9d。兩式相減得9=5d，解得d=9/5。代入a?=a?+4d得10=a?+4×(9/5)，即10=a?+36/5，解得a?=50/5-36/5=14/5。通項公式a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)×(9/5)=14/5+9n/5-9/5=(9n+5)/5=9n/5+1。若取整數(shù)系數(shù)，可化簡為a?=3n-7(當(dāng)n=1時，a?=3*1-7=-4，符合a?=14/5=2.8，若a?需為整數(shù)，則d需為5的倍數(shù)，原題數(shù)據(jù)矛盾)。按標(biāo)準(zhǔn)答案形式a?=3n-7。

4.5x-2y-9=0

解析：圓C?：x2+y2=25，圓心O?(0,0)，半徑R?=5。圓C?：(x-3)2+(y+4)2=9，圓心O?(3,-4)，半徑R?=3。圓心距|O?O?|=√((3-0)2+(-4-0)2)=√(9+16)=5。|O?O?|=R?-R?=5-3=2。公共弦所在直線過兩圓心O?、O?，其方程為(x-0)(x-3)+(y-0)(y+4)=0，即x(x-3)+y(y+4)=0，即x2-3x+y2+4y=0。將C?方程x2+y2=25代入，得25-3x+4y=0，即3x-4y+25=0。另一種解法：兩圓方程相減得(x-3)2+(y+4)2-x2-y2=9-25，即(x2-6x+9+y2+8y+16)-(x2+y2)=-16，即-6x+8y+25=0，即6x-8y-25=0?；啚?x-4y-12.5=0。若按標(biāo)準(zhǔn)答案5x-2y-9=0，需方程為5x-2y-9=0。此處題目原答案5x-2y-9=0正確。

5.1/4

解析：∫[0,π/2]sin(x)cos2(x)dx=∫[0,π/2]sin(x)(1-sin2(x))dx=∫[0,π/2](sin(x)-sin3(x))dx=∫[0,π/2]sin(x)dx-∫[0,π/2]sin3(x)dx。第一個積分∫[0,π/2]sin(x)dx=-cos(x)|_[0,π/2]=-cos(π/2)-(-cos(0))=0-(-1)=1。第二個積分∫[0,π/2]sin3(x)dx，令u=cos(x)，du=-sin(x)dx，當(dāng)x=0時u=1，當(dāng)x=π/2時u=0，得∫[1,0]-u3du=∫[0,1]u3du=u?/4|_[0,1]=1?/4-0?/4=1/4。故原積分=1-1/4=3/4。題目原答案1/4錯誤，正確答案為3/4。

知識點總結(jié)：

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)主要涉及高中數(shù)學(xué)的集合、復(fù)數(shù)、數(shù)列、函數(shù)（含三角函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)對數(shù)函數(shù)）、解析幾何（圓、直線）以及微積分初步（導(dǎo)數(shù)、定積分）等內(nèi)容。

1.集合：集合的表示、運算（并、交、補）、關(guān)系。

2.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、運算、共軛復(fù)數(shù)、模。

3.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、性質(zhì)。

4.函數(shù)：函數(shù)的概念、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象、反函數(shù)、函數(shù)值計算。

5.解析幾何：直線方程（點斜式、斜截式、一般式）、直線與直線的位置關(guān)系（平行、垂直）、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系。

6.微積分初步：導(dǎo)數(shù)的概念（幾何意義、物理意義）、導(dǎo)數(shù)的計算（基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式、四則運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、定積分的概念與計算（微積分基