第23講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)第5章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

能力層級考試內(nèi)容

了解理解掌握對數(shù)對數(shù)的概念，自然對數(shù)與常用對數(shù)，積、商、冪的對數(shù)及運算法則.(2024，T39；2022，T41)

指數(shù)式與對數(shù)式的互化.

能力層級考試內(nèi)容

了解理解掌握對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的概念.對數(shù)函數(shù)的圖像和性質，能解決簡單問題.(2024，T54；2023，T55；2022，T50，T59)對數(shù)函數(shù)的應用

從實際情境中抽象出對數(shù)函數(shù)模型解決簡單實際問題的方法.復習建議：1.考情小結：此知識點高考每年必考，難度中等，分值4分.2.備考攻略：同學們要非常熟悉積、商、冪的對數(shù)及運算法則，掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質，特別在沒有指明a的情況時，一定要考慮a＞1和0＜a＜1兩種情況.1.對數(shù)的概念一般地，如果ab＝N(a＞0且a≠1)，那么稱b為以a為底N的對數(shù)，記作b＝logaN，其中：a稱為底數(shù)；N稱為真數(shù)，真數(shù)N＞0.備考講義考點1對數(shù)

2.指數(shù)式與對數(shù)式的互化ab＝N?b＝logaN(a＞0且a≠1，N＞0)3.對數(shù)的性質(a＞0且a≠1)(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)N＞0，即零和負數(shù)沒有對數(shù).

1.常用對數(shù)和自然對數(shù)(1)以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)，記作lgN(N＞0)，即log10N＝lgN.(2)以無理數(shù)e(e＝2.71828…)為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)，記作lnN(N＞0)，即logeN＝lnN.備考講義考點2對數(shù)運算

跟蹤訓練2

已知a＝lg2，b＝lg3，用a，b表示lg24.【試題分析】利用對數(shù)的積、商、冪運算公式運算.【解題過程】

lg

24＝lg(23×3)＝lg

23＋lg

3＝3lg

2＋lg

3＝3a＋b.1.對數(shù)函數(shù)的概念形如y＝logax的函數(shù)叫作對數(shù)函數(shù)，其中常數(shù)a＞0且a≠1.備考講義考點3對數(shù)函數(shù)的圖像和性質2.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像和性質(1)對數(shù)函數(shù)圖像和性質；a的取值a＞10＜a＜1圖像

性質定義域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)

a的取值a＞10＜a＜1性質定點：(1，0)奇偶性：非奇非偶函數(shù)單調(diào)性：在(0，＋∞)上是增函數(shù)單調(diào)性：在(0，＋∞)上是減函數(shù)0＜x＜1時，y∈(－∞，0)；x＞1時，y∈(0，＋∞).0＜x＜1時，y∈(0，＋∞)；x＞1時，y∈(－∞，0).

例4

(2024·安徽職教高考真題)若指數(shù)函數(shù)y＝(2a－1)x

是R

上的增函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(x＋1)的圖像可能是(

)ABCD【答案】A【試題分析】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的知識.做題時，首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝(2a－1)x

是R上的增函數(shù)，確定a的取值范圍，進而能夠確定y＝logax的增減性和圖像，函數(shù)y＝loga(x＋1)的圖像是由y＝logax向左平移1個單位得到的.根據(jù)以上分析，進而可以確定答案.【解題過程】

因為指數(shù)函數(shù)y＝(2a－1)x

是R

上的增函數(shù)，所以2a－1＞1，即a＞1.所以y＝logax在x＞0上是增函數(shù)，然后再往左平移1個單位，即可確定A選項正確，故選A.

跟蹤訓練3

已知a＞0且a≠1，解不等式：loga(x－2)＞loga(2x＋1).【試題分析】本題考查解對數(shù)不等式的知識.需要注意兩點，一是對數(shù)本身有意義；二是考慮對數(shù)的單調(diào)性解不等式.【解題過程】

(1)當a＞1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)，所以x－2＞2x＋1＞0，解得x＜－3且x＞2，所以x∈?；(2)當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax是減函數(shù)，所以0＜x－2＜2x＋1，解得x＞2，所以x∈(2，＋∞).在前一節(jié)中所講的指數(shù)型函數(shù)中，求其中指數(shù)時，就需要轉化為對數(shù)函數(shù)來求解，這就是對數(shù)函數(shù)的實際應用情況.備考講義考點4對數(shù)函數(shù)的實際應用例6

探測某片森林知道，可采伐的木材有10萬立方米，該片森林的年平均增長率為8%，計算經(jīng)過多少年，可采伐的木材能達到40萬立方米.(參考數(shù)據(jù)：lg

2≈0.301

0，lg

1.08≈0.033，計算結果按照進一法取整數(shù)).【試題分析】本題考查對數(shù)函數(shù)的實際應用.設經(jīng)過x年可采伐的木材達到40萬立方米，根據(jù)指數(shù)增長型函數(shù)，由題意得：y＝10(1＋8%)x，y＝40時，把指數(shù)寫成對數(shù)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，求出x的值.

跟蹤訓練4

某工廠2019年生產(chǎn)某產(chǎn)品2萬件，計劃從2020年開始每一年比上一年增產(chǎn)20%，則這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過6萬件的起始年份是(參考數(shù)據(jù)：lg

2≈0.301

0，lg

3≈0.477

1)(

)A.2023 B.2024C.2025 D.2026D

D【試題分析】本題考查分段函數(shù)的知識.【解題過程】由f(－a)＝3，得出a＝2，所以f(4)＝log24＝2，故選D.

【試題分析】要考慮分母是對數(shù)式，對數(shù)式本身要有意義且分母不為0；分子是二次根式，被開方數(shù)要大于等于0.【解題過程】要使函數(shù)有意義，則4－x≥0且x－2＞0且lg

(x－2)≠0，解得：x∈(2，3)∪(3，4].3.(改編)判斷函數(shù)f(x)＝log3(x＋3)＋log3(3－x)的奇偶性.【試題分析】首先考慮函數(shù)的定義域，再判斷f(－x)的結果.【解題過程】函數(shù)有意義，則x＋3＞0且3－x＞0，解得x∈(－3，3)，因為f(－x)＝log3(3－x)＋log3(x＋3)＝f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù).4.解不等式：lg(x＋2)＋lg(x－1)＞1【試題分析】首先考慮不等式有意義，左邊再化簡成lg

(x