2.6

對數(shù)與對數(shù)函數(shù)第二章2026高中總復習優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.對數(shù)的概念(1)根據(jù)下圖的提示填寫與對數(shù)有關(guān)的概念:

(2)a的取值范圍:a>0,且a≠1.2.常用對數(shù)與自然對數(shù)

3.對數(shù)的性質(zhì)

6.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

7.反函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線

y=x對稱.它們的定義域與值域正好互換.1.換底公式的兩個重要結(jié)論

其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m≠0,n∈R.2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖,作直線y=1,則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應(yīng)的底數(shù),故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.【知識鞏固】

××××√B3.函數(shù)y=logax與y=-x+a在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(

)A當a>1時,函數(shù)y=logax的圖象為選項B,D中過點(1,0)的曲線,此時函數(shù)y=-x+a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應(yīng)滿足a>1,選項B,D中的圖象都不符合要求;當0<a<1時,函數(shù)y=logax的圖象為選項A,C中過點(1,0)的曲線,此時函數(shù)

y=-x+a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應(yīng)滿足0<a<1,選項A中的圖象符合要求,選項C中的圖象不符合要求.4.函數(shù)y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過的定點是

.

(2,2)當x=2時,函數(shù)y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的值為2,所以圖象恒過定點(2,2).5.若函數(shù)f(x)=logax(a>1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,則a=

.

第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點1對數(shù)式的化簡與求值A(chǔ)-20解題心得對數(shù)運算的一般思路

拆首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后正用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并合將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算(2)原式=(lg

2)2+(1+lg

5)lg

2+lg

52=(lg

2+lg

5+1)lg

2+2lg

5=(1+1)lg

2+2lg

5=2(lg

2+lg

5)=2.2能力形成點2對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2

(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≥0時,f(x)=ln(x+1),則函數(shù)f(x)的大致圖象為(

)C先作出當x≥0時,f(x)=ln(x+1)的圖象,顯然圖象經(jīng)過點(0,0),再作此圖象關(guān)于y軸對稱的圖象,可得函數(shù)f(x)在R上的大致圖象,如選項C中圖象所示.B拓展延伸若本例(2)變?yōu)榉匠?x=logax在區(qū)間

上有解,則實數(shù)a的取值范圍為

.

解題心得應(yīng)用對數(shù)型函數(shù)的圖象可求解的問題:(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時,常利用數(shù)形結(jié)合思想.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.對點訓練2(1)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,a≠1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是(

)

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1D由該函數(shù)的圖象通過第一、第二、第四象限知該函數(shù)為減函數(shù),所以0<a<1.因為圖象與x軸的交點在區(qū)間(0,1)之間,所以該函數(shù)的圖象是由函數(shù)y=logax的圖象向左平移不到1個單位長度后得到的,所以0<c<1.(2)若不等式x2-logax<0對任意

恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為

.

能力形成點3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用命題角度1比較對數(shù)值的大小例3

已知a=log0.20.3,b=log0.30.2,c=log23,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.a<b<c

B.b<c<a

C.c<a<b D.a<c<bA命題角度2解簡單的對數(shù)不等式CA.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)C命題角度3對數(shù)型函數(shù)的綜合問題例5

已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定義域;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解

(1)由ax-1>0,得ax>1.當a>1時,x>0;當0<a<1時,x<0.故當a>1時,f(x)的定義域為(0,+∞);當0<a<1時,f(x)的定義域為(-∞,0).所以f(x1)<f(x2).故當a>1時,f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.同理,當0<a<1時,f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增.解題心得1.比較對數(shù)大小的類型及相應(yīng)方法

2.對數(shù)不等式的兩種類型及求解方法

類型方法logax>logab借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,那么需分a>1與0<a<1兩種情況討論logax>b需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式,再借助y=logax的單調(diào)性求解3.在判斷對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性時,一定要明確底數(shù)a對單調(diào)性的影響,以及真數(shù)必須為正數(shù)的限制條件.對點訓練3(1)已知a=log2e,b=ln2,,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>bD且y=log2x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因為y=ln

x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且b=ln

2,所以ln

2<ln

e=1,即b<1.綜上可知,c>a>b.故選D.(2)若不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,則實數(shù)x的取值范圍是

.對點訓練4已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性,并予以證明;(3)當a>1時,求使f(x)>0的x的取值范圍.解

(1)因為f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),故所求函數(shù)的定義域為{x|-1<x<1}.(2)f(x)為奇函數(shù).證明如下:由(1)知f(x)的定義域為{