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分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第九章2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識落實(shí)【知識篩查】

1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.名師點(diǎn)撥分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的異同

問題思考用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解題有哪些注意點(diǎn)?(1)分清要完成的事情是什么;(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成,注意“類”間互相獨(dú)立,“步”間互相聯(lián)系;(3)注意有無特殊條件的限制;(4)檢驗(yàn)是否有重復(fù)或遺漏.1.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣如果完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,……在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣如果完成一件事需要n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的每種方法都能完成這件事.(

)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情是分步完成的,其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事情,只有每個(gè)步驟都完成后,這件事情才算完成.(

)(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(

)×√√√2.從A地到B地,可乘汽車、火車、輪船三種交通工具.如果一天內(nèi)從A地到B地汽車發(fā)3次,火車發(fā)4次,輪船發(fā)2次,那么一天內(nèi)從A地到B地的不同方法種數(shù)為(

)A.3

B.9

C.24

D.18B分三類:第一類乘汽車,從3次中選1次,有3種方法;第二類乘火車,從4次中選1次,有4種方法;第三類乘輪船,從2次中選1次,有2種方法,故一天內(nèi)從A地到B地的不同方法種數(shù)為3+4+2=9.3.將2封信隨意投入3個(gè)郵箱,不同的投法有(

)A.3種

B.6種

C.8種

D.9種4.從0,2中選一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.24 B.18

C.12

D.6D根據(jù)題意,2封信隨意投入3個(gè)郵箱,每封信都有3種投法,故共有3×3=9(種)不同的投法.B分兩類:第一類,個(gè)位上為奇數(shù),有3種選擇,十位上為偶數(shù),有2種選擇,百位上為奇數(shù),有2種選擇,共有3×2×2=12(個(gè))奇數(shù);第二類,個(gè)位上為奇數(shù),有3種選擇,十位上為奇數(shù),有2種選擇,百位上為偶數(shù),有1種選擇,共有3×2×1=6(個(gè))奇數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,知共有12+6=18(個(gè))奇數(shù).5.如圖,現(xiàn)用4種不同顏色對A,B,C,D四塊區(qū)域進(jìn)行涂色,要求有公共邊界的兩塊區(qū)域不能用同一種顏色,則不同的涂色方法共有(

)A.24種

B.30種

C.36種

D.48種D首先給C塊區(qū)域涂色,有4種方法;然后給A塊區(qū)域涂色,有3種方法;再給B塊區(qū)域涂色,有2種方法;最后給D塊區(qū)域涂色,有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有4×3×2×2=48(種)不同的涂色方法.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理例1

(1)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且使關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)根的有序數(shù)對(a,b)的個(gè)數(shù)為(

)A.14 B.13

C.12

D.9B由于a,b∈{-1,0,1,2},則①當(dāng)a=0時(shí),有

為方程的實(shí)根,則b=-1,0,1,2,有4種;②當(dāng)a≠0時(shí),∵方程有實(shí)根,∴Δ=4-4ab≥0.∴ab≤1.(*)當(dāng)a=-1時(shí),滿足(*)式的b=-1,0,1,2,有4種;當(dāng)a=1時(shí),滿足(*)式的b=-1,0,1,有3種;當(dāng)a=2時(shí),滿足(*)式的b=-1,0,有2種.故由分類加法計(jì)數(shù)原理,知滿足條件的有序數(shù)對(a,b)共有4+4+3+2=13(個(gè)).(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽子又被傳遞給甲,則不同的傳遞方法共有

種.6當(dāng)甲第一次傳遞給乙時(shí),滿足條件的傳遞方法有3種,如圖.

同理,當(dāng)甲第一次傳遞給丙時(shí),滿足條件的傳遞方法也有3種.由分類加法計(jì)數(shù)原理,知共有3+3=6(種)不同的傳遞方法.解題心得利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程

對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五參加某項(xiàng)志愿者活動,要求每人參加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩名志愿者前面,則不同的安排方案共有(

)A.20種 B.30種C.40種 D.60種A將甲安排在周一,則在周二至周五中任選兩天安排乙、丙,共有4×3=12(種)安排方案.將甲安排在周二,則在周三至周五中任選兩天安排乙、丙,共有3×2=6(種)安排方案.將甲安排在周三,則乙、丙只能安排在周四和周五兩天,共有2種安排方案.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有12+6+2=20(種)不同的安排方案.(2)小王同學(xué)在書店發(fā)現(xiàn)三本想買的書,若他決定至少買一本,則不同的購買方式共有

種.

7只買一本,購買方式有3種;只買兩本,購買方式有3種;三本全買,購買方式有1種.故購買方式共有3+3+1=7(種).能力形成點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理例2

(1)從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對數(shù)的底數(shù)和真數(shù),則可以組成不想等對數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.56 B.54

C.53 D.52D從8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共組成8×7=56(個(gè))對數(shù),但在這56個(gè)對數(shù)中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,故滿足條件的對數(shù)共有56-4=52(個(gè)).(2)從集合{1,2,3,4,…,10}中,選出5個(gè)數(shù)組成子集,使得這5個(gè)數(shù)中任意2個(gè)數(shù)的和都不等于11,則這樣的子集個(gè)數(shù)為(

)A.32 B.34

C.36 D.38A把集合中的數(shù)分成5組:(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6).因?yàn)檫x出的5個(gè)數(shù)中任意2個(gè)數(shù)的和都不等于11,所以從每組中任選一個(gè)數(shù)即可,故共可組成2×2×2×2×2=32(個(gè))滿足條件的子集.解題心得利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的,只有各個(gè)步驟都完成了,才算完成這件事.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)有5盆菊花,其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆,現(xiàn)把它們擺放成一排,要求2盆黃菊花必須相鄰,2盆白菊花不能相鄰,則這5盆菊花不同的擺放種數(shù)是(

)A.12

B.24

C.36

D.48B第一步,擺放2盆黃菊花和1盆紅菊花,因?yàn)?盆黃菊花必須相鄰,所以將2盆黃菊花看成一個(gè)整體,與1盆紅菊花擺放成一排,有2×2=4(種)擺放方法.第二步,擺放2盆白菊花,因?yàn)?盆白菊花不能相鄰,所以將2盆白菊花插空擺入,有3×2=6(種)擺放方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,這5盆花不同的擺放種數(shù)為4×6=24.(2)在運(yùn)動會比賽中,8名男運(yùn)動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上,則安排這8名男運(yùn)動員不同的比賽的方式共有

種.

2880第一步,安排甲、乙、丙三人,因?yàn)榧?、乙、丙三人必須在奇?shù)號跑道上,奇數(shù)號跑道有4條,所以有4×3×2=24(種)安排方式.第二步,安排另外五人,有5×4×3×2×1=120(種)安排方式.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的安排方式共有24×120=2

880(種).能力形成點(diǎn)3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3

(1)某校在暑假組織社會實(shí)踐活動,將8名高一年級學(xué)生平均分配給甲、乙兩家公司,其中2名英語成績優(yōu)秀的學(xué)生不能分給同一個(gè)公司;另3名有電腦特長的學(xué)生也不能分給同一個(gè)公司,則不同的分配方案有(

)A.36種 B.38種

C.108種

D.114種A由題意可得,有2類分配方案.第1類方案:甲公司要2名電腦特長學(xué)生,有3種情況;要1名英語成績優(yōu)秀的學(xué)生,有2種情況;再從剩下的3人中選一人,有3種情況,故共有3×2×3=18(種)分配方案.第2類方案:甲公司要1名電腦特長學(xué)生,有3種情況;要1名英語成績優(yōu)秀的學(xué)生,有2種情況;再從剩下的3人中選2人,有3種情況,故共有3×2×3=18(種)分配方案.由分類加法計(jì)數(shù)原理,可得不同的分配方案有18+18=36(種).故選A.(2)如圖,用5種不同顏色的染料給A,B,C,D四個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色,要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能使用同一種顏色,則不同的涂色方法的種數(shù)是(

)A.120

B.140

C.240

D.260D第一步,涂A區(qū)域,有5種涂色方法.第二步,涂B區(qū)域,有4種涂色方法.第三步,涂C,D區(qū)域,若C區(qū)域與A區(qū)域所涂顏色相同,則C區(qū)域有1種涂色方法,D區(qū)域有4種涂色方法;若C區(qū)域與A區(qū)域所涂顏色不同,則C區(qū)域有3種涂色方法,D區(qū)域有3種涂色方法.故不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×