10.3

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第十章2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系:兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)散點(diǎn)圖:把成對(duì)樣本數(shù)據(jù)用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來,由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.(3)正相關(guān):從整體上看,當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì),我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān).從散點(diǎn)圖中看,滿足正相關(guān)的點(diǎn)落在一條從左下角到右上角的直線附近.(4)負(fù)相關(guān):從整體上看,當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì),我們就稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).從散點(diǎn)圖中看,滿足負(fù)相關(guān)的點(diǎn)落在一條從左上角到右下角的直線附近.(5)線性相關(guān):一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)樣本相關(guān)系數(shù)的公式(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1].問題思考樣本相關(guān)系數(shù)r是如何反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度的?(1)當(dāng)r>0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).(2)當(dāng)|r|越接近1時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);當(dāng)|r|越接近0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.3.一元線性回歸模型(1)假定隨機(jī)誤差e的均值為0,方差為定值σ2,Y與x之間的關(guān)系可以表示為我們稱此式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù),e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.

4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量:我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量.(2)列聯(lián)表:按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)并做成表格加以保存,將下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.(4)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).(5)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.(6)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié):①提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立,并給出在問題中的解釋.②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值xα比較.③根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.④在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.【知識(shí)鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性關(guān)系,也是一種因果關(guān)系.(

)(2)利用散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示.(

)(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系,所得到的回歸模型才有預(yù)測(cè)價(jià)值.(

)(4)X與Y關(guān)系越密切,由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的值越大.(

)(5)通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程

可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì).(

)×√√√√2.對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖①;對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(

)①

②A.變量x與y線性相關(guān),u與v非線性相關(guān)B.變量x與y線性相關(guān),u與v不相關(guān)C.變量x與y線性相關(guān),u與v線性相關(guān)D.變量x與y不相關(guān),u與v不相關(guān)C由題中兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷,變量x與y線性相關(guān),u與v線性相關(guān),故選C.A4.為了解某班學(xué)生喜歡打籃球是否與性別有關(guān),對(duì)本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷喜歡打籃球與性別

.(填“有關(guān)”或“無關(guān)”)

有關(guān)

零假設(shè)為H0:喜歡打籃球與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即推斷喜歡打籃球與性別有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.5.在一次考試中,5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤?已知數(shù)學(xué)成績(jī)x與物理成績(jī)y線性相關(guān),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

,則估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分的某學(xué)生的物理成績(jī)?yōu)?/p>

分.(結(jié)果保留整數(shù))

73第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1相關(guān)關(guān)系的判斷例1

(1)(2024上海,13)已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān),且相關(guān)系數(shù)為正數(shù),對(duì)此描述正確的是(

)A.氣候溫度高,海水表層溫度就高B.氣候溫度高,海水表層溫度就低C.隨著氣候溫度由低到高,海水表層溫度呈上升趨勢(shì)D.隨著氣候溫度由低到高,海水表層溫度呈下降趨勢(shì)C成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)分析中,若相關(guān)系數(shù)為正數(shù),則兩個(gè)變量的值多為同時(shí)增加或同時(shí)減少.由此可知A,B,D選項(xiàng)錯(cuò)誤,C選項(xiàng)正確.故選C.(2)對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn),得樣本相關(guān)系數(shù)r1=0.7859,對(duì)兩個(gè)變量u,v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn),得樣本相關(guān)系數(shù)r2=-0.9568,則下列判斷正確的是(

)A.變量x與y正相關(guān),變量u與v負(fù)相關(guān),變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B.變量x與y負(fù)相關(guān),變量u與v正相關(guān),變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C.變量x與y正相關(guān),變量u與v負(fù)相關(guān),變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D.變量x與y負(fù)相關(guān),變量u與v正相關(guān),變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)C由樣本相關(guān)系數(shù)r1=0.785

9>0,知x與y正相關(guān),由樣本相關(guān)系數(shù)r2=-0.956

8<0,知u與v負(fù)相關(guān).又|r1|<|r2|,故變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng).解題心得1.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖,由散點(diǎn)圖可直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.2.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到樣本相關(guān)系數(shù)r,由r的正負(fù)可判斷兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);由|r|的大小可判斷兩個(gè)變量線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)如圖,調(diào)查某校高三學(xué)生的身高x和體重y得到散點(diǎn)圖,其中身高x和體重y的相關(guān)系數(shù)r=0.8255,則下列說法正確的是(

)A.學(xué)生身高和體重沒有相關(guān)性B.學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)C.學(xué)生身高和體重呈負(fù)相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8255B由散點(diǎn)圖可知,散點(diǎn)的分布集中在一條直線附近,所以學(xué)生身高和體重具有相關(guān)性,故A不正確;因?yàn)樯砀選和體重y的相關(guān)系數(shù)r=0.825

5>0,所以學(xué)生身高和體重呈正相關(guān),故B正確,C不正確;從樣本中抽取一部分,相關(guān)性可能變強(qiáng),也可能變?nèi)?所以這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.825

5,故D不正確.故選B.(2)(2022全國乙,理19)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹木,測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數(shù)據(jù):樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9①估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;②求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);③現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.能力形成點(diǎn)2經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法及回歸分析例2

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位:噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位:噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(3)已知該廠技術(shù)改造前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)技術(shù)改造后,生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤.解

(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù),可得散點(diǎn)圖如圖所示.(3)由(2)及題意可知降低的生產(chǎn)能耗約為90-(0.7×100+0.35)=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).解題心得求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的三個(gè)步驟(1)利用散點(diǎn)圖或樣本相關(guān)系數(shù)r判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)若存在線性相關(guān)關(guān)系,則求出回歸系數(shù).(3)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了10次試驗(yàn).測(cè)得的數(shù)據(jù)如下:(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系?(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)加工200個(gè)零件所用的時(shí)間為多少?(結(jié)果保留整數(shù))解

(1)列出下表.能力形成點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)例3

“一帶一路”是促進(jìn)各國共同發(fā)展,實(shí)現(xiàn)共同繁榮的合作共贏之路.為了了解我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿(mào)易量情況,隨機(jī)抽查了100天進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量(單位:億人民幣/天)得下表:出口進(jìn)口[0,50](50,100](100,150][0,50]32184(50,100]6812(100,150]3710(1)估計(jì)事件“我國與該國貿(mào)易中,一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過100億人民幣”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表:出口進(jìn)口[0,100](100,150][0,100]

(100,150]

α0.050.010.001xα3.8416.63510.828

出口進(jìn)口[0,100](100,150][0,100]6416(100,150]1010

解題心得利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟(1)列出2×2列聯(lián)表.(2)提出零假設(shè),并根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出χ2的值.(3)比較χ