考點(diǎn)規(guī)范練38空間向量及其運(yùn)算1.若向量c垂直于不共線的向量a和b,d=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),則()A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三種情況均有可能答案:B解析:由題意,得c垂直于由a,b確定的平面.∵d=λa+μb,∴d與a,b共面.∴c⊥d.2.(多選)已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn),若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),則()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=53 D.AP∥BC答案:AC解析:因?yàn)锳P·AB=0,故A正確;BP=(3,-3,-3),AP·BP=3+6-3=6≠0,故B不正確;BC=(6,1,-4),|BC|=62+12+(-4)2=53,故C正確;AP3.已知A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn),且滿足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M為BC的中點(diǎn),則A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不確定答案:C解析:∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),∴AM=1∴AM·AD=12(∴AM⊥AD,即△AMD為直角三角形.4.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),點(diǎn)P(x,-1,3)在平面ABC內(nèi),則x的值為()A.-4 B.1 C.10 D.11答案:D解析:∵點(diǎn)P(x,-1,3)在平面ABC內(nèi),∴存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得AP=λAB+μAC,∴(x-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8),即x可得x=11.5.在空間四邊形ABCD中,AB·CD+ACA.-1 B.0 C.1 D.2答案:B解析:如圖,令A(yù)B=a,AC=b,AD=c,則AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·(AD-AC)+AC·(AB-AD)+AD·(AC-AB)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a6.在三棱錐O-ABC中,M是OA的中點(diǎn),P是△ABC的重心.設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則MP=()A.12a-16b+13c B.13a-C.-16a+13b+13c D.-a+13答案:C解析:如圖,取AB的中點(diǎn)D,連接CD,MC,OD,則點(diǎn)P在CD上,且CP=MP=MC+CP=(OC-OM)+23CD=OC-12OA+23(OD-OC)=c-12a+23OD-237.(多選)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,若∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=π3,各棱長均為1,則下列結(jié)論正確的是(A.{AC,AB.<AD,DDC.|BD1D.BD⊥平面ACC1A1答案:ACD解析:對于A,由BB1∥CC1,所以{AC,AC1,BB對于B,因?yàn)椤螦1AD=π3,所以∠ADD1=2π3,所以<AD,DD1>=π對于C,|BD1|2=(BA+AD+DD1)2=BA2+AD2+DD12+2BA·AD+2BA·DD1+所以|BD1|=2,故C對于D,設(shè)BD交AC于點(diǎn)O,連接A1O,A1D,A1B,如圖,由題意可得四邊形ABCD為菱形,A1D=A1B,所以BD⊥AC,BD⊥A1O,又AC∩A1O=O,所以BD⊥平面ACC1A1,故D正確.8.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AE·AF的值為(A.a2 B.12a2 C.14a2 D.3答案:C解析:如圖,設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三個向量兩兩的夾角為60°.AE=12(a+b),故AE·AF=12(a+b)·12c=14(a·c+b·c)=14(a2cos60°+a2cos9.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點(diǎn).(1)求BN的模;(2)求cos<BA1,(3)求證:A1B⊥C1M.解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)依題意得點(diǎn)B(0,1,0),N(1,0,1),∴|BN|=(1(2)依題意得點(diǎn)A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),∴BA1=(1,-1,2),CB1=|BA1|=6,|CB∴cos<BA1,(3)證明:依題意,得點(diǎn)C1(0,0,2),M(12,12,2),A1B=(∴A1B·C1M=-∴A1∴A1B⊥C1M.10.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長和側(cè)棱長都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.(1)設(shè)AA1=a,AB=b,AC=c,用向量a,b,c表示BC1,并求出(2)求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.解:(1)BC1=BB1+B1C1=BB1+A1C1-A1B1=AA1+AC-AB=同理可得a·c=b·