考點(diǎn)規(guī)范練45雙曲線1.設(shè)曲線C是雙曲線,則“雙曲線C的方程為x2-y24=1”是“雙曲線C的漸近線方程為y=±2x”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案:A解析:若雙曲線C的方程為x2-y24=1,則漸近線方程為y=±2x;若漸近線方程為y=±2x,則雙曲線C的方程為x2-y24=λ(λ≠0).所以“雙曲線C的方程為x2-y24=1”是“雙曲線C的漸近線方程為y=±2x2.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線,垂足為A,若△AFOA.x22-y28=1 BC.x24-y216=1 D.答案:D解析:因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2.又雙曲線C的離心率為5,所以1+b2a2=5,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4.所以雙曲線C的方程為x2-y3.已知離心率為52的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,M為雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn),且OM⊥MF2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)A.32 B.16 C.84 D.4答案:B解析:由題意知F2(c,0),不妨令點(diǎn)M在漸近線y=bax上,由題意可知|F2M|=bca2+b2=b,所以|OM|=c2-b2=a.由S△OMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,ca=54.已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為雙曲線C上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則雙曲線C的離心率為()A.72 B.132 C.7 D答案:A解析:不妨設(shè)|PF2|=1,則|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=7,所以c=72由雙曲線的定義,可知2a=|PF1|-|PF2|=2,所以a=1.所以離心率e=ca5.已知雙曲線x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,雙曲線的離心率為e,若雙曲線上存在一點(diǎn)P使sin∠PF2F1A.3 B.2 C.-3 D.-2答案:B解析:由題意及正弦定理得sin∠PF2F1sin∠PF1由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos∠PF2F1=|P∴F2P·F2F1=|F2P|·|F2F1|·cos∠PF2F16.已知F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),A為雙曲線C右支上一點(diǎn),且位于x軸上方,B為漸近線上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若四邊形OFAB為菱形A.2 B.3 C.2 D.2+1答案:D解析:依題意,雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F為(因?yàn)樗倪呅蜲FAB為菱形,點(diǎn)A在雙曲線C的右支上,且在x軸上方,點(diǎn)B在漸近線上,所以點(diǎn)B在漸近線y=-bax上,|OB|=|AB|=|OF|=c如圖,設(shè)點(diǎn)B(x,-bax),x<0,則|OB|=x2+-bax2=c,解得x=-a,可得點(diǎn)因?yàn)锳B∥OF,所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b,代入雙曲線C的方程,可得點(diǎn)A(2a,b).所以|AB|=2a+a=c,所以e=ca=27.(2024北京,13)已知雙曲線x24-y2=1,則過點(diǎn)(3,0)且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為答案:±1解析:由x24-y2=1,得雙曲線的漸近線方程為y=±12x.∵直線過點(diǎn)(3,0),且與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),∴直線與雙曲線的漸近線平行,∴直線的斜率為8.已知以直線y=±3x為漸近線的雙曲線D:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若P為雙曲線D右支上任意一點(diǎn)答案:(0,12解析:∵雙曲線D:x2a2-y2b2=1(a>0,∴ba=3,可得b=3a,c=a2∵P為雙曲線D右支上一點(diǎn),∴|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,∴0<|PF1|-|PF2||∴|PF1|-|PF9.已知雙曲線C的離心率為3,且過點(diǎn)(3,0),過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2,作傾斜角為π3的直線交雙曲線C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求△AOB的面積.解:(1)由題意可得,雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上,且a=3,ca=3,b2=c2-a2,解得a2=所以雙曲線C的方程為x23-(2)由(1)可得F2(3,0),由題意可知直線方程為y=3(x-3).設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由y整理可得x2-18x