北師大版9年級數學上冊期末試卷考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題24分）一、單選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是邊AD上一動點，將△CDE沿CE折疊，得到△CFE，則△BCF面積的最大值是（

）A．8 B． C．16 D．2、如圖所示，雙曲線y＝上有一動點A，連接OA，以O為頂點、OA為直角邊，構造等腰直角三角形OAB，則△OAB面積的最小值為（

）A． B． C．2 D．23、圖，在△ABC中，AB＝AC，四邊形ADEF為菱形，O為AE，DF的交點，S△ABC＝8，則S菱形ADEF＝（）A．4 B．4 C．4 D．44、已知（a≠0，b≠0），下列變形正確的是（）A． B． C．2a＝3b D．3a＝2b5、如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，添加下列條件仍不能判斷四邊形ABCD是矩形的是(

)A．AB+BC=AC B．AB=AD C．OA=OD D．∠ABC+∠ADC=180°6、點P（2，﹣2）在反比例函數的圖象上，則下列各點在該函數圖象上的是（

）A．（﹣4，1） B．（1，4） C．（﹣2，﹣2） D．（4，）二、多選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線．則下面四個結論中正確的有（）A．DE=1 B．AB邊上的高為C．△CDE∽△CAB D．△CDE的面積與△CAB面積之比為1：42、如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB的中點，連接AE，DF交于點N，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于點M，延長EG交AD的延長線于點H，連接CG，ME，取ME的中點為點O，連接NO，GO．則以下結論正確的有（

）A． B．C．△GEC為等邊三角形 D．3、如圖，下列條件能判定△ABC與△ADE相似的是（

）A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED4、如圖，□ABCD中，E是AD延長線上一點，BE交AC于點F，交DC于點G，則下列結論中正確的是（）A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGEC．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF5、如圖，△ABC中，DE∥BC，BE與CD交于點O，AO與DE、BC交于N、M，則下列式子中正確的是（

）A． B． C． D．6、如圖，∠1＝∠2，則下列各式能說明ABC∽ADE的是（

）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．第Ⅱ卷（非選擇題76分）三、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A的坐標為（3，4），點B的坐標為（7，0），D，E分別是線段AO，AB上的點，以DE所在直線為對稱軸，把△ADE作軸對稱變換得△A′DE，點A′恰好在x軸上，若△OA′D與△OAB相似，則OA′的長為________.（結果保留2個有效數字）2、將方程（3x－1）（2x＋4）＝2化為一般形式為____________，其中二次項系數為________，一次項系數為________．3、如圖，點E是菱形ABCD邊AB的中點，點F為邊AD上一動點，連接EF，將△AEF沿直線EF折疊得到△A'EF，連接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，當△A'CD為直角三角形時，線段AF的長為______．4、已知方程x2﹣3x＋1＝0的根是x1和x2，則x1＋x2﹣x1x2＝___．5、如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝12，AD＝5，P為DC邊上的動點（點P不與點D，C重合），將紙片沿AP折疊（1）當四邊形ADPD′是正方形時，CD′的長為___．（2）當CD′的長最小時，PC的長為___．6、在數學活動課上，老師帶領數學小組測量大樹的高度．如圖，數學小組發(fā)現大樹離教學樓有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子長1m，此時大樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分映在教學樓的墻上，墻上的影子離為2m，那么這棵大樹高___________m．7、已知方程的一根為，則方程的另一根為_______．8、如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，是支點，當用力壓杠桿的端時，杠桿繞點轉動，另一端向上翹起，石頭就被撬動．現有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的端必須向上翹起，已知杠桿的動力臂與阻力臂之比為6：1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端向下壓______．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關于直線l對稱，且直線l經過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．2、用適當的方法解下列方程：（1）

（2）3、在矩形中，于點，點是邊上一點．（1）若平分，交于點，PF⊥BD，如圖（1），證明四邊形是菱形；（2）若，如圖（2），求證：．4、如圖，在四邊形中，，，．．（1）求的長；（2）求四邊形的面積．5、解下列方程：（1）；（2）6、解下列方程．(1)x2＋2x＝0；(2)2x2－3x－1＝0．-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】由三角形底邊BC是定長，所以當△BCF的高最大時，△BCF的面積最大，即當FC⊥BC時，三角形有最大面積．【詳解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又∵將△CDE沿CE折疊，得到△CFE，∴FC=CD=4由此，△BCF的底邊BC是定長，所以當△BCF的高最大時，△BCF的面積最大，即當FC⊥BC時，三角形有最大面積∴△BCF面積的最大值是故選：A．【考點】本題考查菱形的性質和折疊的性質，掌握三角形面積的計算方法和菱形的性質正確推理計算是解題關鍵．2、C【解析】【分析】根據等腰直角三角形性質得出S△OAB＝OA?OB＝OA2，先求得OA取最小值時A的坐標，即可求得OA的長，從而求得△OAB面積的最小值．【詳解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∴S△OAB＝OA?OB＝OA2，∴OA取最小值時，△OAB面積的值最小，∵當直線OA為y＝x時，OA最小，解得或，∴此時A的坐標為（，），∴OA＝2，∴，∴△OAB面積的最小值為2，故選：C．【考點】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，求得OA取最小值時A的坐標是解題的關鍵．3、C【解析】【分析】根據菱形的性質，結合AB=AC，得出DF為△ABC的中位線，DF∥BC，，從而得出AE為△ABC的高，得出，再根據菱形的面積公式，即可得出菱形的面積．【詳解】解：∵四邊形ADEF為菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB，，，∴DF∥BC，，，，，，，即，，故C正確．故選：C．【考點】本題主要考查了菱形的性質，中位線的性質，等腰三角形的性質和判斷，平行線的性質，菱形的面積，三角形面積的計算，根據菱形的性質和等腰三角形的性質得出DF為△ABC的中位線，是解題的關鍵．4、C【解析】【分析】根據比例的性質“兩內項之積等于兩外項之積”對各選項分析判斷即可得．【詳解】解：A、∵，∴，∴，選項說法錯誤，不符合題意；B、∵，∴，∴，選項說法錯誤，不符合題意；C、∵，∴，選項說法正確，符合題意；D、∵，∴，選項說法錯誤，不符合題意；故選C．【考點】本題考查了比例的性質，解題的關鍵是熟記比例的性質．5、B【解析】【分析】由勾股定理的逆定理證得∠ABC=90°，根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可判斷A；根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷B；根據對角線相等的平行四邊形是矩形可判斷C；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可判斷D．【詳解】解：A．∵AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴?ABCD為矩形，故本選項不符合題意；B．∵AB=AD，∴?ABCD為菱形，故本選項符合題意；C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形，故本選項不符合題意；D．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴?ABCD為矩形，故本選項不符合題意；故選：B．【考點】本題考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四邊形的性質，熟練掌握矩形的判定方法是解決問題的關鍵．6、A【解析】【分析】根據點（2，-2）在反比例函數的圖象上，可以求得的值，從而可以判斷各個選項中的點是否在該函數的圖象上，本題得以解決．【詳解】解：∵點P（2，﹣2）在反比例函數的圖象上，∴A.（﹣4，1），，故該選項正確，符合題意，

B.（1，4），，故該選項不符合題意，C.（﹣2，﹣2），，故該選項不符合題意，

D.（4，），，故該選項不符合題意，故選A【考點】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是求出反比例系數，解決該題型題目時，結合點的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出值是關鍵．二、多選題1、ABCD【解析】【分析】根據圖形，利用三角形中位線定理，可得DE=1，A成立；AB邊上的高，可利用勾股定理求出等于，B成立；DE是△CAB的中位線，可得DE∥AB，利用平行線分線段成比例定理的推論，可得△CDE∽△CAB，C成立；由△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，那么它們的面積比等于相似比的平方，就等于1：4，D也成立．【詳解】解：∵DE是它的中位線，∴DE=AB=1，故A正確，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，故C正確，∴S△CDE：S△CAB=DE2：AB2=1：4，故D正確，∵等邊三角形的高=，故B正確．故選ABCD．【考點】本題利用了：1、三角形中位線的性質；2、相似三角形的判定：一條直線與三角形一邊平行，則它所截得三角形與原三角形相似；3、相似三角形的面積等于對應邊的比的平方；4、等邊三角形的高=邊長×sin60°．2、ABD【解析】【分析】由正方形的性質可得，則易證，然后可判定A選項，由折疊的性質及平行線的性質可得B選項，由題意易得，進而根據三角形中線及等積法可判定D選項．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，AD∥BC，∴，∵點E，F分別是邊BC，AB的中點，∴，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，由折疊性質可得，∴，∴，假設△GEC為等邊三角形成立，則有，∴，∴，∴，∴與AB=2BE相矛盾，故假設不成立；由折疊的性質可知，∴，∴，∵ME的中點為點O，∴，∴；綜上所述：正確的有ABD；故選ABD．【考點】本題主要考查全等三角形的性質與判定、正方形的性質、折疊性質及等積法，熟練掌握全等三角形的性質與判定、正方形的性質、折疊性質及等積法是解題的關鍵．3、BCD【解析】【分析】根據相似三角形的判斷方法求解即可．【詳解】解：A、，不能判定△ABC∽△ADE，不符合題意；B、∵∠B=∠ADE，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，符合題意；C、∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，符合題意；D、∵∠C=∠AED，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，符合題意；故選：BCD．【考點】此題考查了相似三角形的判斷方法，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判斷方法．4、ABC【解析】【分析】本題中可利用平行四邊形ABCD中兩對邊平行的特殊條件來進行求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDG=∠EAB，∵∠E=∠E，∴△ABE∽△DGE，故選項A正確；∵AE∥BC，∴∠EDC=∠BCG，∠E=∠CBG，∴△CGB∽△DGE，故選項B正確；∵AE∥BC，∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF，∴△BCF∽△EAF，故選項C正確；無法證得△ACD∽△GCF，故選：ABC．【考點】本題考查了相似三角形的判定定理，平行四邊形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．5、ABC【解析】【分析】由，可得三角形相似，再根據相似三角形對應邊成比例即可求解．【詳解】解：，，，，，，，所以、、正確，符合題意；，，，，所以錯誤，不符合題意．故選：ABC．【考點】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是注意平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；相似三角形對應邊成比例．注意數形結合思想的應用．6、ABC【解析】【分析】根據∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一組對應角相等或兩組對應邊成比例即可．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B，∴ABC∽ADE，故A選項正確；B、∵∠DAE＝∠BAC，∠E＝∠C，∴ABC∽ADE，故B選項正確；C、∵∠DAE＝∠BAC，，∴ABC∽ADE，故C選項正確；D、對應邊成比例但無法證明其夾角相等，故其不能推出兩三角形相似．故選：ABC．【考點】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似，熟練掌握相似三角形的判定是解決本題的關鍵．三、填空題1、2.0或3.3【解析】【分析】由點A的坐標為（3，4），點B的坐標為（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分別由△OA′D∽△OAB與△OA′D∽△OBA，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得答案．【詳解】∵點A的坐標為（3，4），點B的坐標為（7，0），∴OA==5，OB=7，AB==4，若△OA′D∽△OAB，則，設AD=x，則OD=5﹣x，A′D=x，即，解得：x≈2.2，∴，∴OA′=2.0；若△OA′D∽△OBA，則，同理：可得：OA′≈3.3．故答案為2.0或3.3．【考點】此題考查了相似三角形的性質與折疊的知識．注意數形結合與方程思想的應用，小心別漏解是解題關鍵．2、

3x2＋5x－3＝0

3

5【解析】【分析】將方程展開，化簡后即可求解．【詳解】將，開展為一般形式為：；則可知一次項系數為5，二次項系數為3，故答案為：，3，5．【考點】本題主要考查了將一元二次方程化為最簡式以及判斷方程各項系數的知識，熟記相關考點概念是解答本題的關鍵．3、2或【解析】【分析】分當時和當時兩種情況討論求解即可．【詳解】解：如圖1所示，當時，取CD中點H，連接，∴，∵四邊形ABCD是菱形，E為AB中點，∴，∠A=180°-∠B=60°，，由折疊的性質可知，，∴，連接EH，∵，∴四邊形AEHD是平行四邊形，∴，，∵由三角形三邊的關系可知，當點不在線段EH上時，必有，這與矛盾，∴E、、H三點共線，∴，∴△AEF為等邊三角形，∴；如圖2所示，當時，連接BD，ED，過點F作FG⊥AB于G，∵∠ABC=120°，四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∵E是AB中點，∴DE⊥AB，∴∠ADE=30°，∴∠EDC=90°，∴此時三點共線，由翻折的性質可得，∵FG⊥AE，∠A=60°，∠AEF=45°，∴∠AFG=30°，∠GFE=45°，∴AF=2AG，EG=FG，∴，∵，∴，∴，故答案為：2或．【考點】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的性質與判定，折疊的性質，三角形三邊的關系，含30度角的直角三角形的性質，平行四邊形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．4、2【解析】【分析】根據根與系數的關系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，將其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出結論．【詳解】解：∵方程x2﹣3x＋1＝0的兩個實數根為x1、x2，∴x1＋x2＝3、x1x2＝1，∴x1＋x2﹣x1x2＝3﹣1＝2，故答案為：2．【考點】本題考查了根與系數的關系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數的關系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．5、

【解析】【分析】（1）根據四邊形是正方形，得到從而得到再利用勾股定理求解即可得到答案；（2）如圖：連接，運用矩形的性質和折疊的性質求出的最小值，再設，則，最后在中運用勾股定理解答即可【詳解】解：（1）如圖所示，∵四邊形是正方形∴∵∴∵四邊形ABCD是矩形∴，∠B=90°∴（2）如圖：連接，當點在上時，有最小值．∵四邊形是矩形，，，∴，，∴．由折疊性質，得，，∴的最小值．設，則．在中，，即，解得，∴的長為．故答案為：．【考點】本題主要考查矩形的性質和折疊的性質，正方形的性質，勾股定理，根據矩形的性質和折疊的性質確定的最小值成為解答本題的關鍵．6、9【解析】【分析】根據同一時刻影長與物高成比例，先求出CE，再求AB即可．【詳解】解：延長AD交BC延長線于E，根據同一時刻影長與物高成比例可得CE：CD=1：1.4，∵CD=2m，∴CE=m，∴BE=BC+CE=5+=m，∴BE：AB=1:1.4，∴AB=9m．故答案為：9．【考點】本題考查平行投影問題，掌握平行攝影的原理是同一時刻影長與物高成比例是解題關鍵．7、【解析】【分析】設方程的另一個根為c，再根據根與系數的關系即可得出結論．【詳解】解：設方程的另一個根為c，∵，∴．故答案為．【考點】本題考查的是根與系數的關系，熟記一元二次方程根與系數的關系是解答此題的關鍵．8、60【解析】【分析】首先根據題意構造出相似三角形，然后根據相似三角形的對應邊成比例求得端點A向下壓的長度．【詳解】解：如圖；AM、BN都與水平線垂直，即AM∥BN；易知：△ACM∽△BCN；∴，∵AC與BC之比為6：1，∴，即AM=6BN；∴當BN≥10cm時，AM≥60cm；故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓60cm．故答案為：60．【考點】本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用，正確的構造相似三角形是解題的關鍵．四、解答題1、（1）見解析（2）①a=b+1②見解析【解析】【分析】（1）作AD的垂直平分線，交AC于F點即可；（2）①根據題意得到a=2c，聯(lián)立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②證明△ABE∽△CBA，得到，故可求解．【詳解】（1）如圖，點F為所求；（2）①∵△ABC是“和諧三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．聯(lián)立化簡得到a=b+1；②∵E點是BD中點∴BE=由①得到AB=∴又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴故△ACE是“和諧三角形”．【考點】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知垂直平分線的做法．2、（1），；（2），【解析】【分析】（1）根據因式分解法求解一元二次方程的性質計算，通過計算即可得到答案；（2）根據公式法求解一元二次方程的性質計算，即可得到答案．【詳解】（1）∵∴∴∴，；（2）∵∴∴，．【考點】本題考查了一元二次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的性質，從而完成求解．3、（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）想辦法證明AG=PF，AG∥PF，推出四邊形AGFP是平行四邊形，再證明PA=PF即可解決問題．（2）證明△AEP∽△DEC，可得，由此即可解決問題．【詳解】解：（1）∵平分，，，∴，，又∵在中，，在中，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴AG∥PF，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形AGFP是菱形；（2）∵，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．【考點】本題主要考查了角平分線的