高考數(shù)學(xué)函數(shù)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練題一、專題概述導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的核心考點之一，貫穿函數(shù)、不等式、解析幾何等多個模塊，考查形式涵蓋選擇題、填空題及解答題（多為壓軸題），分值占比約15-20分。其核心考點可歸納為五大類：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程）；2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性（含參討論）；3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值（閉區(qū)間最值）；4.導(dǎo)數(shù)與不等式（證明、恒成立）；5.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點（個數(shù)討論）。本專題將圍繞上述考點，通過典型例題+解題思路+易錯點提醒的形式，幫助考生突破難點，提升解題能力。二、題型突破與訓(xùn)練（一）題型一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線方程問題核心考點：過點求切線（點在曲線上/曲線外）、切線斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。例題1：求曲線\(y=x^3\)過點\((1,0)\)的切線方程。解題思路：1.判斷點是否在曲線上：\(1^3=1\neq0\)，故點\((1,0)\)在曲線外，需設(shè)切點。2.設(shè)切點：設(shè)切點為\((x_0,x_0^3)\)，求導(dǎo)得切線斜率\(k=y'|_{x=x_0}=3x_0^2\)。3.寫切線方程：由點斜式得切線方程為\(y-x_0^3=3x_0^2(x-x_0)\)。4.代入已知點：將\((1,0)\)代入切線方程，得\(0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0)\)，化簡得\(2x_0^3-3x_0^2=0\)，解得\(x_0=0\)或\(x_0=\frac{3}{2}\)。5.求切線方程：當(dāng)\(x_0=0\)時，切線方程為\(y=0\)；當(dāng)\(x_0=\frac{3}{2}\)時，切線斜率為\(3\times(\frac{3}{2})^2=\frac{27}{4}\)，切線方程為\(y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}\)（化簡后為\(27x-4y-27=0\)）。答案：切線方程為\(y=0\)或\(27x-4y-27=0\)。易錯點提醒：過曲線外點求切線時，不能直接用該點求斜率，必須設(shè)切點；切線可能有兩條（如本題），需全面求解。（二）題型二：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性——含參單調(diào)性討論核心考點：導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、分類討論思想。例題2：討論函數(shù)\(f(x)=\lnx+kx\)（\(k\in\mathbb{R}\)）的單調(diào)性。解題思路：1.確定定義域：\(x>0\)。2.求導(dǎo)化簡：\(f'(x)=\frac{1}{x}+k=\frac{1+kx}{x}\)。3.分類討論：當(dāng)\(k\geq0\)時：\(1+kx>0\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，故\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(k<0\)時：令\(f'(x)>0\)，得\(1+kx>0\Rightarrowx<-\frac{1}{k}\)（因\(k<0\)，不等號方向改變）。結(jié)合定義域，\(x\in(0,-\frac{1}{k})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；\(x\in(-\frac{1}{k},+\infty)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減。答案：當(dāng)\(k\geq0\)時，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(k<0\)時，\(f(x)\)在\((0,-\frac{1}{k})\)上單調(diào)遞增，在\((-\frac{1}{k},+\infty)\)上單調(diào)遞減。易錯點提醒：分類討論的標準要明確（如本題中\(zhòng)(k\)的符號影響導(dǎo)數(shù)分子的符號）；解不等式時需結(jié)合定義域（如\(x>0\)）。（三）題型三：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值——閉區(qū)間最值問題核心考點：極值點的判斷（導(dǎo)數(shù)符號變化）、閉區(qū)間最值的求法（端點與極值點比較）。例題3：求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\([-2,2]\)上的最大值與最小值。解題思路：1.求導(dǎo)找臨界點：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=-1\)（均在區(qū)間內(nèi)）。2.計算關(guān)鍵點函數(shù)值：端點值：\(f(-2)=(-2)^3-3\times(-2)=-2\)，\(f(2)=2^3-3\times2=2\)；極值點值：\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)=2\)，\(f(1)=1^3-3\times1=-2\)。3.比較得最值：最大值為\(2\)（\(f(-1)=f(2)=2\)），最小值為\(-2\)（\(f(-2)=f(1)=-2\)）。答案：最大值為\(2\)，最小值為\(-2\)。易錯點提醒：極值是局部性質(zhì)，最值是全局性質(zhì)，必須比較端點值與極值點值；導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點（如\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為0，但不是極值點），需驗證左右導(dǎo)數(shù)符號是否變化。（四）題型四：導(dǎo)數(shù)與不等式——證明與恒成立問題核心考點：構(gòu)造函數(shù)、轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。例題4：證明：當(dāng)\(x>0\)時，\(e^x>1+x+\frac{1}{2}x^2\)。解題思路：1.構(gòu)造函數(shù)：令\(g(x)=e^x-1-x-\frac{1}{2}x^2\)（左邊減右邊，轉(zhuǎn)化為\(g(x)>0\)）。2.求導(dǎo)分析單調(diào)性：一次導(dǎo)數(shù)：\(g'(x)=e^x-1-x\)；二次導(dǎo)數(shù)：\(g''(x)=e^x-1\)（因\(x>0\)時，\(e^x>1\)，故\(g''(x)>0\)）。3.判斷一次導(dǎo)數(shù)符號：\(g''(x)>0\)說明\(g'(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，又\(g'(0)=e^0-1-0=0\)，故\(x>0\)時，\(g'(x)>0\)。4.判斷原函數(shù)符號：\(g'(x)>0\)說明\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，又\(g(0)=e^0-1-0-0=0\)，故\(x>0\)時，\(g(x)>0\)，即\(e^x>1+x+\frac{1}{2}x^2\)。答案：見上述證明過程。易錯點提醒：構(gòu)造函數(shù)時需合理選擇方向（如左邊減右邊，避免復(fù)雜計算）；當(dāng)一次導(dǎo)數(shù)符號不易判斷時，需二次求導(dǎo)（如本題中\(zhòng)(g'(x)\)的符號需通過\(g''(x)\)判斷）。（五）題型五：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點——個數(shù)討論問題核心考點：函數(shù)單調(diào)性、極值、端點趨勢分析。例題5：討論函數(shù)\(f(x)=x-\lnx-a\)（\(a\in\mathbb{R}\)）的零點個數(shù)。解題思路：1.確定定義域：\(x>0\)。2.求導(dǎo)分析單調(diào)性：\(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)。當(dāng)\(x\in(0,1)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\in(1,+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。3.求極值：\(x=1\)是極小值點，也是最小值點，\(f(1)=1-\ln1-a=1-a\)。4.分析端點趨勢：當(dāng)\(x\to0^+\)時，\(\lnx\to-\infty\)，故\(f(x)=x-\lnx-a\to+\infty\)；當(dāng)\(x\to+\infty\)時，\(x\)增長比\(\lnx\)快，故\(f(x)\to+\infty\)。5.結(jié)合最小值討論零點個數(shù)：若\(f(1)>0\)（即\(a<1\)）：\(f(x)\)在定義域內(nèi)無零點；若\(f(1)=0\)（即\(a=1\)）：\(f(x)\)有1個零點（\(x=1\)）；若\(f(1)<0\)（即\(a>1\)）：\(f(x)\)在\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)各有1個零點，共2個零點。答案：當(dāng)\(a<1\)時，無零點；當(dāng)\(a=1\)時，1個零點；當(dāng)\(a>1\)時，2個零點。易錯點提醒：端點趨勢的準確判斷是關(guān)鍵（如\(x\to0^+\)時\(\lnx\)的趨勢）；零點個數(shù)由最小值與0的關(guān)系決定（因函數(shù)在兩端趨向于+∞）。三、綜合訓(xùn)練題1.（導(dǎo)數(shù)幾何意義）已知曲線\(y=e^x\)在點\(P\)處的切線過點\((0,0)\)，求點\(P\)的坐標。（答案：\((1,e)\)）2.（單調(diào)性）討論函數(shù)\(f(x)=x^2-2\lnx\)的單調(diào)性。（答案：定義域\((0,+\infty)\)，\(x\in(0,1)\)時單調(diào)遞減，\(x\in(1,+\infty)\)時單調(diào)遞增）3.（最值）求函數(shù)\(f(x)=e^x-x\)在\([0,2]\)上的最大值和最小值。（答案：最小值1，最大值\(e^2-2\)）4.（不等式）證明：當(dāng)\(x>1\)時，\(\lnx>\frac{x-1}{x+1}\)。（提示：構(gòu)造\(g(x)=\lnx-\frac{x-1}{x+1}\)，求導(dǎo)得\(g'(x)>0\)）5.（零點）討論函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+a\)的零點個數(shù)。（答案：\(a<-2\)時1個，\(a=-2\)時2個，\(-2<a<2\)時3個，\(a=2\)時2個，\(a>2\)時1個）四、解題技巧總結(jié)1.導(dǎo)數(shù)幾何意義：過點求切線，先判斷點是否在曲線上，不在則設(shè)切點