6.5角與角的度量第6章

圖形的初步知識(shí)【2025-2026學(xué)年】浙教版

數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

角與角的度量課程目標(biāo)理解角的概念，能準(zhǔn)確描述角的形成過程。掌握角的表示方法，能根據(jù)不同情況正確表示角。了解角的度量單位（度、分、秒）及它們之間的換算關(guān)系。學(xué)會(huì)使用量角器度量角的大小，能準(zhǔn)確讀出角的度數(shù)。知道角按大小的分類，能區(qū)分不同類型的角。角的概念定義由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。角也可以看作是一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部，未經(jīng)過的部分是角的外部。實(shí)例：鐘表上時(shí)針和分針組成的圖形是角；三角板的每個(gè)拐角都是角。角的表示方法角的表示方法有多種，具體如下：用三個(gè)大寫字母表示：用角的頂點(diǎn)字母和兩邊上各取一個(gè)點(diǎn)的字母表示，頂點(diǎn)字母必須寫在中間，如\(\angleAOB\)（\(O\)為頂點(diǎn)，\(A\)、\(B\)分別為兩邊上的點(diǎn)）。用一個(gè)大寫字母表示：當(dāng)以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí)，可以用頂點(diǎn)字母表示，如\(\angleO\)（頂點(diǎn)為\(O\)，且只有一個(gè)角）。用一個(gè)數(shù)字表示：在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處畫上弧線，標(biāo)上數(shù)字，如\(\angle1\)、\(\angle2\)。用一個(gè)小寫希臘字母表示：在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處畫上弧線，標(biāo)上小寫希臘字母（如\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)等），如\(\angle\alpha\)、\(\angle\beta\)。注意：用一個(gè)大寫字母表示角時(shí)，必須保證頂點(diǎn)處只有一個(gè)角，否則容易混淆。例如，頂點(diǎn)\(O\)處有多個(gè)角時(shí)，不能用\(\angleO\)表示其中某一個(gè)角。角的度量單位及換算度量單位角的度量單位是度、分、秒，分別用符號(hào)“\(?°\)”“\(a?2\)”“\(a?3\)”表示。把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，記作\(1?°\)。把1度的角平均分成60等份，每一份就是1分的角，記作\(1a?2\)。把1分的角平均分成60等份，每一份就是1秒的角，記作\(1a?3\)。換算關(guān)系\(1?°=60a?2\)\(1a?2=60a?3\)\(1?°=3600a?3\)換算示例例1：將\(3.5?°\)換算成度和分。解：因?yàn)閈(1?°=60a?2\)，所以\(0.5?°=0.5??60a?2=30a?2\)，因此\(3.5?°=3?°30a?2\)。例2：將\(4?°20a?2\)換算成度。解：因?yàn)閈(1a?2=(\frac{1}{60})?°\)，所以\(20a?2=20??(\frac{1}{60})?°a??0.33?°\)，因此\(4?°20a?2a??4.33?°\)。例3：將\(120a?2\)換算成度。解：因?yàn)閈(1?°=60a?2\)，所以\(120a?2=120?·60=2?°\)。例4：將\(3600a?3\)換算成度。解：因?yàn)閈(1?°=3600a?3\)，所以\(3600a?3=1?°\)。角的度量方法使用量角器度量角的步驟：點(diǎn)點(diǎn)重合：把量角器的中心與角的頂點(diǎn)重合。線邊重合：把量角器的0刻度線與角的一條邊重合。讀刻度：角的另一條邊所對(duì)的量角器上的刻度，就是這個(gè)角的度數(shù)。注意：量角器有內(nèi)外圈刻度，當(dāng)角的一條邊與內(nèi)圈0刻度線重合時(shí)，讀內(nèi)圈刻度；與外圈0刻度線重合時(shí)，讀外圈刻度。讀數(shù)時(shí)要注意區(qū)分刻度的大小，避免讀錯(cuò)。示例：度量\(\angleAOB\)的度數(shù)，將量角器中心與\(O\)重合，一條邊\(OA\)與內(nèi)圈0刻度線重合，另一條邊\(OB\)對(duì)內(nèi)圈刻度\(60?°\)，則\(\angleAOB=60?°\)。角的分類（按大?。└鶕?jù)角的度數(shù)大小，角可以分為以下幾類：銳角：大于\(0?°\)且小于\(90?°\)的角，如\(30?°\)、\(60?°\)的角。直角：等于\(90?°\)的角，通常用“\(\text{a??}\)”表示直角符號(hào)，如\(\angleA=90?°\)，則\(\angleA\)是直角。鈍角：大于\(90?°\)且小于\(180?°\)的角，如\(120?°\)、\(150?°\)的角。平角：等于\(180?°\)的角，平角的兩邊成一條直線，如一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)\(180?°\)形成的角是平角。周角：等于\(360?°\)的角，周角的兩邊重合，如一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)\(360?°\)形成的角是周角。關(guān)系：\(1\)周角\(=2\)平角\(=4\)直角\(=360?°\)；\(1\)平角\(=2\)直角\(=180?°\)。生活中的角角在生活中隨處可見：門窗的拐角通常是直角；打開的扇子形成的角可以是銳角、鈍角；鐘表上，3時(shí)整時(shí)針和分針成直角，6時(shí)整成平角，12時(shí)整成周角。課堂練習(xí)說出下列角的表示方法是否正確，若不正確，請(qǐng)改正：以\(O\)為頂點(diǎn)，\(OA\)、\(OB\)為邊的角表示為\(\angleO\)（頂點(diǎn)\(O\)處只有這一個(gè)角）。圖中\(zhòng)(\angle1\)可以表示為\(\angleAOB\)。進(jìn)行單位換算：\(2.25?°=(\quad)?°(\quad)a?2\)\(3?°45a?2=(\quad)?°\)\(1800a?3=(\quad)?°\)用量角器度量你手中三角板的各個(gè)角的度數(shù)，并判斷它們是什么角。一個(gè)角是平角的一半，這個(gè)角是多少度？是什么角？總結(jié)角是由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，也可看作射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形，有多種表示方法。角的度量單位是度、分、秒，換算關(guān)系為\(1?°=60a?2\)，\(1a?2=60a?3\)，\(1?°=3600a?3\)。用量角器度量角時(shí)要做到“點(diǎn)點(diǎn)重合”“線邊重合”，再讀刻度。角按大小分為銳角、直角、鈍角、平角、周角，它們之間存在特定的數(shù)量關(guān)系。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.理解角的有關(guān)概念，會(huì)表示角，發(fā)展抽象能力。2.通過角的定義，理解平角、周角的定義。3.認(rèn)識(shí)度、分、秒，并能進(jìn)行簡單的換算，提高運(yùn)算能力。1.角的“靜態(tài)”定義定義圖示解讀“靜止”的觀點(diǎn)由兩條有公共端點(diǎn)的射線所組成的圖形。_________________________________這個(gè)公共端點(diǎn)叫作這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊。

表示方法圖示記法說明用三個(gè)大寫字母表示_____________________________表示方法圖示記法說明用一個(gè)數(shù)字表示_______________________在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，并標(biāo)上數(shù)字或希臘字母。該表示方法形象、直觀。用一個(gè)希臘字母表示用角的頂點(diǎn)字母表示___________________________當(dāng)角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，可用這個(gè)頂點(diǎn)字母來表示。典例1

仔細(xì)觀察右圖，將符合要求的角寫在橫線上（只寫小于平角的角）。（1）能用一個(gè)大寫字母表示的角:_________；

（2）必須用三個(gè)大寫字母表示的角:____________________________________；

解析：問題序號(hào)條件圖中符合條件的角（1）頂點(diǎn)處只有一個(gè)角。（2）頂點(diǎn)處有多個(gè)角。（3）1.角的“動(dòng)態(tài)”定義定義圖示解讀“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形。_____________________________________________起始位置的射線叫作角的始邊，終止位置的射線叫作角的終邊。

我們平時(shí)畫角時(shí)，只畫角的一部分，角的兩邊是兩條射線。2.平角與周角的定義一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊旋轉(zhuǎn)到和始邊成一條直線時(shí)，所成的角叫作平角，如圖1所示；旋轉(zhuǎn)到終邊和始邊再次重合時(shí)，所成的角叫作周角，如圖2所示。圖1圖2

（1）平角的兩邊成一條直線，但不能說直線就是平角或平角就是直線。（2）周角的兩邊重合形成一條射線，但不能說周角就是射線或射線就是周角。典例2

給出下列幾種說法:①兩條射線組成的圖形是角；②角的邊越長，角越大；③角的兩邊是兩條射線；④因?yàn)槠浇堑膬蛇叧梢粭l直線,所以一條直線可以看成一個(gè)平角；⑤周角是一條射線。其中,正確的有(

)

AA.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)解析：序號(hào)是否正確理由①若兩條射線沒有公共端點(diǎn)，則構(gòu)成的圖形不是角。②角的大小只與構(gòu)成角兩邊的射線張開的幅度有關(guān)，與角兩邊的長短無關(guān)。序號(hào)是否正確理由③√角的兩邊是兩條具有公共端點(diǎn)的射線。④平角是由頂點(diǎn)和兩條邊組成的圖形，平角和直線是兩個(gè)不同的概念。⑤周角的兩條邊重合成一條射線，周角和射線是兩個(gè)不同的概念。

知識(shí)過關(guān)①角是由兩條有公共

端點(diǎn)

的

射線

所組成的圖形.這個(gè)

公共

端點(diǎn)

叫作這個(gè)角的

頂點(diǎn)

.角也可以看成是由一

條

射線

繞著它的

端點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)而成的圖形.起始位置的

射線叫作角的

始邊

，終止位置的射線叫作角的

終邊

.②一個(gè)周角等于

360°

，一個(gè)平角等于

180°

.③1°＝

60

'，1'＝

60

″；1″＝

'，1'＝

°.端點(diǎn)射線端點(diǎn)頂點(diǎn)射線端點(diǎn)始邊終

邊360°180°6060

角的概念及表示1.

給出下列說法：①兩條射線所組成的圖形叫作角；②一條

射線旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫作角；③兩條具有公共端點(diǎn)的射線

組成的圖形叫作角；④角是一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成

的圖形.其中，正確的有(

B

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)B123456789101112131415162.

如圖，能用∠1、∠EOF、∠O三種方法表示同一個(gè)角的

圖形是(

D

)D123456789101112131415163.

下列關(guān)于平角和周角的說法正確的是(

D

)A.

平角是一條線段B.

周角是一條射線C.

周角只有一條邊D.

反向延長射線OA，就形成一個(gè)平角D123456789101112131415164.

[母題

教材P179課內(nèi)練習(xí)T1]如圖，圖中共有幾個(gè)角？用

適當(dāng)?shù)姆绞奖硎具@些角.【解】圖中共有6個(gè)角，分別是：∠1，∠DOB，

∠DOA，∠2，∠COA，∠3.12345678910111213141516

角的度量5.

如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度

數(shù)為(

B

)A.45°B.55°C.125°D.135°B12345678910111213141516

角的計(jì)算6.

[2024·金華期末]將20°30'轉(zhuǎn)化為度的形式，即：20°30'

＝

?°.7.

[2024·寧波月考]35.7°＝

°

'.20.5

35

42

12345678910111213141516(1)48°39'＋67°31'；

【解】48°39'＋67°31'＝115°70'＝116°10'；8.

計(jì)算：12345678910111213141516(2)23°53'×2－17°43'.【解】23°53'×2－17°43'＝46°106'－17°43'＝29°63'＝30°3'.12345678910111213141516

鐘面角9.

[母題·教材P180作業(yè)題T12024·廣西]如圖，2時(shí)整，鐘表

的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角為(

C

)A.20°B.40°C.60°D.80°C1234567891011121314151610.

鐘表上從早上6點(diǎn)30分到早上8點(diǎn)10分，時(shí)針?biāo)叩亩葦?shù)

為(

B

)A.45°B.50°C.55°D.60°B1234567891011121314151611.

圖中角的表示方法正確的個(gè)數(shù)有(

B

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)12345678910111213141516第一個(gè)圖形應(yīng)為∠CAB，表示不正確；第二個(gè)圖形

∠AOB是平角，表示正確；第三個(gè)圖形，直線與平角是

兩個(gè)概念，平角有頂點(diǎn)，直線沒有，表示不正確；第四

個(gè)圖形，表示為∠CAB，正確.綜上所述，表示正確的

有2個(gè)，故選B.

【答案】B【點(diǎn)撥】1234567891011121314151612.

已知∠α＝30°18'，∠β＝30.18°，∠γ＝30.3°，則

(

B

)A.

∠α＝∠βB.

∠α＝∠γC.

∠β＝∠γD.

無法比較大小B1234567891011121314151613.

[2024·安慶期末]某同學(xué)晚上6點(diǎn)多開始做作業(yè)，他家墻上

時(shí)鐘的時(shí)針和分針的夾角是120°，他做完作業(yè)后還是6

點(diǎn)多，且時(shí)針和分針的夾角還是120°，此同學(xué)做作業(yè)大

約用了

分鐘.44

12345678910111213141516設(shè)開始做作業(yè)時(shí)的時(shí)間是6點(diǎn)x分，6x－0.5x＝180－120，解得x≈11；設(shè)做完作業(yè)后的時(shí)間是6點(diǎn)y分，6y－0.5y＝180＋120，解得y≈55，所以此同學(xué)做作業(yè)大約用了55－11＝44(分鐘).【點(diǎn)撥】分針?biāo)俣仁菚r(shí)針?biāo)俣鹊?2倍，分針一分鐘走6°，對(duì)

應(yīng)時(shí)針走0.5°.1234567891011121314151614.

計(jì)算：(1)11°23'26″×