泛函分析期末考試題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設X是賦范線性空間，x,y∈X，則（）A.‖x+y‖=‖x‖+‖y‖B.‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖C.‖x+y‖≥‖x‖+‖y‖D.‖x+y‖=‖x-y‖答案：B2.下列空間不是完備的是（）A.實數(shù)空間RB.有理數(shù)空間QC.連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]D.l2空間答案：B3.設T是線性算子，若T在某一點連續(xù)，則（）A.T處處不連續(xù)B.T在有限個點連續(xù)C.T處處連續(xù)D.T只在原點連續(xù)答案：C4.設X是內(nèi)積空間，x,y∈X，若(x,y)=0，則（）A.‖x+y‖=‖x‖+‖y‖B.‖x-y‖=‖x‖+‖y‖C.‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2D.‖x-y‖2=‖x‖2-‖y‖2答案：C5.設X是賦范線性空間，{x?}是X中的柯西列，則（）A.{x?}一定收斂B.{x?}一定有界C.{x?}一定無界D.{x?}一定發(fā)散答案：B6.設H是希爾伯特空間，M是H的閉子空間，則（）A.H=M⊕M?B.H=M+M?C.H=M-M?D.H=M×M?答案：A7.設T:X→Y是線性算子，若T的零空間N(T)={0}，則（）A.T是單射B.T是滿射C.T是雙射D.T不是映射答案：A8.設X是賦范線性空間，x∈X，若‖x‖=0，則（）A.x=0B.x≠0C.x可能為0D.x無意義答案：A9.設{φ?}是內(nèi)積空間X中的標準正交系，x∈X，則（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}|(x,\varphi_{n})|^{2}=\|x\|^{2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}(x,\varphi_{n})=\|x\|^{2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}|(x,\varphi_{n})|=\|x\|^{2}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(x,\varphi_{n})^{2}=\|x\|^{2}\)答案：A10.設T是有界線性算子，則（）A.T一定是可逆的B.T的逆算子一定有界C.T可能有界D.T的共軛算子一定無界答案：C二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關于賦范線性空間的說法正確的是（）A.賦范線性空間一定是線性空間B.賦范線性空間一定是度量空間C.賦范線性空間一定是完備的D.賦范線性空間中的范數(shù)滿足正定性、齊次性和三角不等式答案：ABD2.設X是內(nèi)積空間，下列哪些性質成立（）A.(x,y)=(y,x)（共軛）B.(\(\alpha\)x,y)=\(\alpha\)(x,y)C.(x+y,z)=(x,z)+(y,z)D.(x,x)≥0，當且僅當x=0時等號成立答案：ABCD3.設T是線性算子，T是有界的等價于（）A.T把有界集映成有界集B.存在M>0，使得‖Tx‖≤M‖x‖對所有x∈X成立C.T在原點連續(xù)D.T在某一點連續(xù)答案：ABCD4.設X是希爾伯特空間，下列關于正交投影的說法正確的是（）A.正交投影是線性算子B.正交投影是有界算子C.正交投影的值域是閉子空間D.正交投影的核與值域正交答案：ABCD5.設{φ?}是內(nèi)積空間X中的標準正交系，下列說法正確的是（）A.若x∈X，則\(\{(x,\varphi_{n})\}\)是一個數(shù)列B.若\(x=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\varphi_{n}\)，則\(a_{n}=(x,\varphi_{n})\)C.若\(\sum_{n=1}^{\infty}|(x,\varphi_{n})|^{2}<\infty\)對所有x∈X成立，則{φ?}是完備的D.若\(x\inX\)，\(\|x\|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}|(x,\varphi_{n})|^{2}\)，則{φ?}是完備的答案：AB6.設X,Y是賦范線性空間，T:X→Y是線性算子，下列哪些條件可以推出T是有界的（）A.T的圖象是閉的，且X和Y是完備的B.對于X中的單位球，T的像有界C.對于X中的任何有界集，T的像有界D.T在某一點連續(xù)答案：ABCD7.設X是賦范線性空間，下列關于對偶空間X的說法正確的是（）A.X是線性空間B.X中的元素是X上的線性泛函C.X是賦范線性空間D.若X是希爾伯特空間，則X與X等距同構答案：ABCD8.設H是希爾伯特空間，M是H的子空間，下列關于M的閉包\(\overline{M}\)的說法正確的是（）A.\(\overline{M}\)是閉子空間B.\(\overline{M}\)包含M中的所有極限點C.若M是凸集，則\(\overline{M}\)是凸集D.若M是線性子空間，則\(\overline{M}\)是線性子空間答案：ABCD9.設T是有界線性算子，下列關于T的共軛算子T的說法正確的是（）A.T是從Y到X的有界線性算子B.對于x∈X,y∈Y，有\(zhòng)((Tx,y^{})=(x,T^{}y^{})\)C.‖T‖=‖T‖D.(T+S)=T+S答案：ABCD10.設X是內(nèi)積空間，x,y∈X，下列等式成立的是（）A.‖x+y‖2=‖x‖2+2Re(x,y)+‖y‖2B.‖x-y‖2=‖x‖2-2Re(x,y)+‖y‖2C.(x,y)=\(\frac{1}{4}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2})\)（當X是實內(nèi)積空間時）D.(x,y)=\(\frac{1}{4}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2})+\frac{i}{4}(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2})\)（當X是復內(nèi)積空間時）答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.賦范線性空間中的范數(shù)是唯一的。（）答案：錯誤2.內(nèi)積空間一定是賦范線性空間。（）答案：正確3.有界線性算子的逆算子一定存在。（）答案：錯誤4.希爾伯特空間中的正交系一定是標準正交系。（）答案：錯誤5.若T是線性算子且在某一點連續(xù)，則T是有界的。（）答案：正確6.設X是賦范線性空間，{x?}收斂，則{x?}是柯西列。（）答案：正確7.設M是希爾伯特空間H的子空間，則M=M??。（）答案：錯誤8.設T是有界線性算子，則‖T(x+y)‖=‖Tx+Ty‖對所有x,y∈X成立。（）答案：錯誤9.設X是內(nèi)積空間，若(x,y)=0，則x=0或者y=0。（）答案：錯誤10.設{φ?}是內(nèi)積空間X中的標準正交系，若\(x=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\varphi_{n}\)，則\(\|x\|=\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|\)。（）答案：錯誤四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述賦范線性空間與度量空間的關系。答案：賦范線性空間一定是度量空間，度量由范數(shù)誘導，即\(d(x,y)=\|x-y\|\)。但度量空間不一定是賦范線性空間，只有當度量空間有線性結構且度量可由滿足范數(shù)性質的函數(shù)誘導時才是賦范線性空間。2.什么是希爾伯特空間中的正交分解定理？答案：設H是希爾伯特空間，M是H的閉子空間，則對于任意的x∈H，存在唯一的y∈M和z∈M?，使得x=y+z，且\((y,z)=0\)。3.如何判斷一個線性算子是有界的？答案：可通過以下幾種方式判斷：一是存在M>0，使得‖Tx‖≤M‖x‖對所有x∈X成立；二是T把有界集映成有界集；三是T在某一點（或原點）連續(xù)；四是若T的圖象是閉的且定義域和值域空間是完備的。4.簡述內(nèi)積空間中標準正交系的性質。答案：標準正交系中向量兩兩正交且每個向量的范數(shù)為1。若{φ?}是標準正交系，x∈X，則\(\sum_{n=1}^{\infty}|(x,\varphi_{n})|^{2}\leq\|x\|^{2}\)，當?shù)忍柍闪r稱{φ?}是完備的，且若\(x=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\varphi_{n}\)，則\(a_{n}=(x,\varphi_{n})\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論賦范線性空間中柯西列與收斂列的關系。答案：在賦范線性空間中，收斂列一定是柯西列。若{x?}收斂于x，根據(jù)范數(shù)的性質可推出{x?}是柯西列。但柯西列不一定收斂，只有當賦范線性空間是完備空間時，柯西列才收斂。2.討論希爾伯特空間中閉子空間的性質及其在正交投影中的作用。答案：閉子空間具有包含自身極限點等性質。在正交投影中，設H是希爾伯特空間，M是閉子空間，對于任意x∈H，可唯一分解為x=y+z（y∈M,z∈M?），正交投影就是將x映射到y(tǒng)，閉子空間保證了這種分解的唯一性和投影算子的良好性質。3.討論有界線性算子的性質及其在泛函分析中的重要性。答案