黑龍江省龍東聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期開學考試數(shù)學試題考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版必修第二冊第六～八章，選擇性必修第一冊第一章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，為原點，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)的虛部為（）A.－1 B.1 C.i D.－i3.已知向量，，若與共線，則（）A.12 B.9 C. D.4.在中，角，，對邊分別為，，，若，則的最大值為（）A. B. C. D.5.如圖，在中，是邊上的點，其中，，，，則（）A B. C. D.6.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的重心，，且，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.7.已知為的外接圓圓心，，，則的最大值為（）A.2 B. C.1 D.8.已知正方體的棱長為2，為正方體內(nèi)一點，若，，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，則（）A B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量的坐標為10.如圖，是圓錐的底面圓的直徑，點是底面圓上異于，的動點，點是母線上一點，已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，則下列說法正確的是（）A.該圓錐的體積為B.該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為C.三棱錐的體積的最大值為D.若，則從點出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周到達點最短長度為511.在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，的平分線交于點，則（）A.B.外接圓的面積為C.若，則為直角三角形D.若的內(nèi)切圓的圓心為，則周長的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______．13.在空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為______．14.已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，多面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，是線段的兩個三等分點．求證：（1）平面；（2）平面平面．16.已知，，．（1）求與的夾角；（2）若，且，求及．17.設(shè)中，角所對的邊分別為，．（1）求A；（2）已知的面積為，是邊上靠近點的三等分點，，求的值．18.如圖，正方體棱長為，，是棱，上的點，且（）．（1）證明：過，，三點的平面截正方體所得截面圖形為平行四邊形；（2）若，求直線與所成角的余弦值；（3）設(shè)平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角為，證明：．19.如圖，三棱錐中，平面平面，是等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，，分別是，的中點，是上一點（不含端點）．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且球的表面積為．（?。┣笕忮F的體積；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．參考答案1-8.【答案】C【答案】B【答案】C【答案】B【答案】D【答案】A【答案】D【答案】A9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】ACD12.【答案】13.【答案】##14.【答案】##15.小問1】因為四邊形為等腰梯形，，，是線段的兩個三等分點，所以，，，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，因為為中點，所以，即，同理．又平面，所以平面．【小問2】由（1）知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面不在平面內(nèi)，所以平面．由已知，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面不在平面內(nèi)，所以平面．又，平面，所以平面平面．16.【小問1】，所以．又，所以．【小問2】由題意知，即，解得，所以，所以，所以．17.【小問1】由正弦定理及，得，，，．∵，∴，整理得．又∵，∴，∴．【小問2】由題知，則，故，兩邊平方得．∵，∴，即．∵，即，∴，∴．18.【小問1】在正方體中，在上取點，使得，連接，由，得四邊形是平行四邊形，則，又，則，四邊形是平行四邊形，因此，又，則四邊形為平行四邊形，，于是，四邊形為平行四邊形，所以過，，三點的平面截正方體所得截面圖形為平行四邊形.【小問2】以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，因此，所以直線與所成角的余弦值為.【小問3】依題意，平面平面，則平面的法向量可取為，平面的法向量可取為，而，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，則，又平面的法向量為，則，所以.19.【小問1】證明：因為，分別是，的中點，所以．因為平面平面，所以平面．【小問2】（?。┤鐖D，連接．因為是以為斜邊的等腰直角三角形，為中點，所以點是外接圓的圓心．因為是等邊三角形，是中點，所以外接圓的圓心在上．又平面平面，所以球的球心即為外接圓的圓心．因為球的表面積，所以球的半徑，所