考點03等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】掌握等式性質(zhì).2.會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．【知識點】1．兩個實數(shù)比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?ab，,a－b＝0?ab，,a－b<0?ab.))(a，b∈R)2．等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：如果a＝b，那么；性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么；性質(zhì)3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.3．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：a>b?；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?；性質(zhì)3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?；a>b，c<0?；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．常用結(jié)論1．若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0?eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0?eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).【核心題型】題型一數(shù)(式)的大小比較比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。纠}1】(1)已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________．(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能確定（3）(2022·全國甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則()A．a(chǎn)＞0＞b B．a(chǎn)＞b＞0C．b＞a＞0 D．b＞0＞a【變式1】（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．題型二不等式的性質(zhì)判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證．(2)利用特殊值法排除錯誤選項．(3)作差法．(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性．【例題2】．（1）(多選)(2023·汕頭模擬)已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是()A．a(chǎn)c(a－c)>0 B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．a(chǎn)b>ac（2）（2024·河北滄州·一模）下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．【變式1】已知a>b>c>0，下列結(jié)論正確的是()A．2a<b＋c B．a(chǎn)(b－c)>b(a－c)C.eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3【變式2】(多選)若a>0>b>－a，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)d>bc B.eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0C．a(chǎn)－c>b－d D．a(chǎn)(d－c)>b(d－c)【變式3】(多選)設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有()A．c2<cd B．a(chǎn)－c<b－dC．a(chǎn)c<bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運算求得整體范圍．【例題3】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1】已知實數(shù)a，b，c，滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么eq\f(c,a)的取值范圍是________．【變式2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知正數(shù)滿足，則的取值范圍為．【變式3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）對定義一種新運算，規(guī)定：（其中均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，已知，若關(guān)于的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.【課后強(qiáng)化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是．6．（2024·河北邯鄲·三模）記表示x，y，z中最小的數(shù)．設(shè)，，則的最大值為．四、解答題7．（2024·四川綿陽·二模）（1）已知a，b，x，y均為正數(shù)，求證：并指出等號成立的條件；（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)的最大值，并指出取最大值時x的值．【綜合提升練】一、單選題1．（2023·廣東·二模）若，則（

）A． B．C． D．2．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西西安·一模）已知，則下列選項中是“”的充分不必要條件的是（

）A． B． C． D．4．（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．C． D．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2024·河南·模擬預(yù)測）以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為．四、解答題7．（2024·遼寧沈陽·一模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求證：.8．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知，.(1)證明：；(2)比較與的大小.9．（2023·全國·模擬預(yù)測）（1）設(shè)a，b為正實數(shù)，求證：．（2）設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：．【拓展沖刺練】一、單選題1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）若為函數(shù)（其中）的極小值點，則（

）A． B．C． D．2．（2023·貴州貴陽·三模）已知正實數(shù)分別滿足，，，其中是自然常數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知為實數(shù)，則下列命題成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．（2023·四川南充·一模）已知：，，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2023·廣東肇慶·二模）已知正數(shù)滿足等式，則下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．6．（2023·河北·三模）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．7．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）設(shè)實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．三、填空題8．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知，，，則的大小關(guān)系是.9．（2023·四川涼山·一模）已知是曲線上的點，則的取值范圍是