考點(diǎn)10二次函數(shù)與冪函數(shù)（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等)．【知識(shí)點(diǎn)】1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)和，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，y＝xα為；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，y＝xα為．2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝．頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域值域?qū)ΨQ軸x＝頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞【核心題型】題型一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)對(duì)于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據(jù)α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．【例題1】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B． C． D．題型二二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略：(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用一般式；(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點(diǎn)式；(3)已知圖象與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式．【例題2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)滿足對(duì)于任意的，，且.若，則的最大值與最小值之和是（

）A． B． C．4 D．【變式1】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)滿足對(duì)于任意的且．若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（多選）（2023·河北滄州·三模）已知二次函數(shù)滿足，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，是偶函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小值為B．C．D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最小值為【變式3】（2023·山東·一模）已知二次函數(shù)滿足，頂點(diǎn)為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論．命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象【例題3】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，圖②表示的是與的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則矩形的面積是（

）A．20 B．18 C．10 D．9【變式1】（2023·山東棗莊·二模）指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則圖象頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（多選）（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則函數(shù)的大致圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【變式3】（多選）（23-24高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤，下面的選項(xiàng)中所有序號(hào)結(jié)論全正確的是（

）

A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值【例題4】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C．和 D．【變式2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）命題：存在，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若的否定為真命題，則的取值范圍是.【變式3】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b變化時(shí)，M最小值為．【課后強(qiáng)化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（23-24高三上·全國·期末）二次函數(shù)滿足條件，則的值為（

）A．5 B．6 C．8 D．72．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（22-23高三·全國·對(duì)口高考）已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．4．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C．和 D．二、多選題5．（23-24高三上·福建廈門·期中）下列函數(shù)中，滿足“，，都有”的有（

）A． B．C． D．6．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為．8．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，當(dāng)實(shí)數(shù)a，b變化時(shí)，M最小值為．9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）命題：存在，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若的否定為真命題，則的取值范圍是.四、解答題10．（23-24高三上·全國·期末）已知二次函數(shù)滿足，且．求的解析式；11．（2024·陜西咸陽·二模）已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象無公共點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍．12．（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)若，求在上的最值；(2)求函數(shù)在上的最小值．綜合提升練一、單選題1．（23-24高三上·山東濟(jì)寧·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2023·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）已知方程和的解分別是和，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－，＋∞) B．[－，＋∞)C．[－，0) D．[－，0]6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．47．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如表：其中，下列說法正確的是（

）012PA． B．C．有最大值 D．隨y的增大而減小10．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B． C． D．311．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，且）的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…012…y…m22n…且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.下列說法不正確的有（

）A．B．C．關(guān)于x的方程一定有一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間D．和在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，三、填空題12．（2023·河南信陽·一模）在，，0，1，2的五個(gè)數(shù)字中，有放回地隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)字分別作為函數(shù)中a，b的值，則該函數(shù)圖像恰好經(jīng)過第一、三、四象限的概率為．13．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值為．14．（2023·浙江·二模）若，則的取值范圍是.四、解答題15．（23-24高三上·山東菏澤·期末）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)m的值．(2)若函數(shù)在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16．（23-24高三上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)若為任意實(shí)數(shù)，試討論在上的單調(diào)性和最小值.17．（22-23高三上·山東菏澤·期中）已知函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，.(1)求的解析式；(2)設(shè)，若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上有值為4，求實(shí)數(shù)的值．兩個(gè)方框處為無法辨認(rèn)的兩個(gè)漢字，請(qǐng)你結(jié)合上下文把這兩個(gè)字補(bǔ)上并解答該題．拓展沖刺練一、單選題1．（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知y＝(x－m)(x－n)＋2023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α，β，m，n的大小關(guān)系是（

）A．α<m<n<β B．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n4．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）在，這四個(gè)函數(shù)中，對(duì)于定義域中的任意，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題5．（22-23高三上·山東煙臺(tái)·期末）已知函數(shù)，關(guān)于的最值有如下結(jié)論，其中正確的是（

）A．在區(qū)間上的最小值為1B．在區(qū)間上既有最小值，又有最大值C．在區(qū)間上的最小值為2，最大值為5D．在區(qū)間上的最大值為6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）(多選)若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇－，－4]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可以是（

）A．[0，4] B．[，2]C．[，2] D．[1，2]三、填空題7．（20-21高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已