北京市東城區(qū)東直門中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)期初限時訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.若（a，，i為虛數(shù)單位），則的值為（）A.2 B.1 C. D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.在中，點是線段上一點，若，，則實數(shù)（）A B. C. D.5.2024年全民健身運動的主題“全民健身與奧運同行”，為了滿足群眾健身需求，某健身房近幾年陸續(xù)購買了幾臺型跑步機，該型號跑步機已投入使用的時間（單位：年）與當年所需要支出的維修費用（單位：千元）有如下統(tǒng)計資料：234562.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到線性回歸方程為，則（）A.與的樣本相關(guān)系數(shù)B.C.表中維修費用的第60百分位數(shù)為6.5D.該型跑步機已投入使用的時間為10年時，當年所需要支出的維修費用一定是12.38萬元6.已知曲線，設(shè)，q：曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，三角形ABC的面積為6，則（）A.65 B.17 C. D.8.已知函數(shù)，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知的展開式中共有7項，則（）A.所有項的二項式系數(shù)和為64 B.所有項的系數(shù)和為1C.二項式系數(shù)最大的項為第4項 D.有理項共4項10.已知動點P到定點的距離與到定直線的距離之和為4，記動點P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C的軌跡方程為B.曲線C的圖象關(guān)于y軸對稱C.若點曲線C上，則D.曲線C上的點到直線的距離的最大值為1211.已知定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)x，y，恒有，若，當時，，則下列結(jié)論正確的是（）AB.函數(shù)的最小值為C.為R上的增函數(shù)D.關(guān)于x的不等式的解集為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.甲、乙兩人向同一目標各射擊1次，已知甲、乙命中目標的概率分別為，，則目標至少被擊中1次的概率為______．13.已知函數(shù)的定義域為R，且，當時，，則的值為______．14.在三棱錐中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，，，，．則三棱錐的外接球的表面積為___________．四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.中國的非遺項目豐富多樣，涵蓋廣泛，體現(xiàn)了中華民族的智慧和獨特的文化魅力．春節(jié)期間某地為充分宣揚該地非遺物質(zhì)文化，加大非遺傳承人的技藝展示．該地市場開發(fā)與發(fā)展機構(gòu)統(tǒng)計了非遺傳承人的技藝展示量與市場消費收入的6組數(shù)據(jù)如下表：技藝展示量x（單位：個）212324272932市場消費收入y（單位：萬元）61120275777（1）若用線性回歸理論進行統(tǒng)計分析，求市場消費收入y關(guān)于技藝展示量x的回歸方程（精確到0.1）；（2）若用非線性回歸模型求得市場消費收入y關(guān)于技藝展示量x的回歸方程為，且決定系數(shù)，與（1）中的線性回歸模型相比，應(yīng)用決定系數(shù)說明哪種模型的擬合效果更好．附：一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為，；決定系數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，，線性回歸模型的殘差平方和為（其中，分別為非遺傳承人的技藝展示量和市場消費收入，）．16.如圖，在長方體中，，點E是棱的中點．（1）求證：平面BDE；（2）求直線與平面BDE所成角的正弦值．17已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若為函數(shù)的極值點，求a的值；（3）設(shè)函數(shù)，當時，若對于任意，總存在，使得，求實數(shù)b的取值范圍．18.已知非零等差數(shù)列前n項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）已知正項數(shù)列滿足：，且是和的等差中項，求數(shù)列的前n項和；（3）在條件（2）下，記正項數(shù)列的前n項和為．求證：．19.已知雙曲線的左、右頂點分別是，，點在雙曲線上，且直線，的斜率之積為1．（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點G是圓上的動點，若K是雙曲線左支上一動點，求的最小值；（3）已知兩平行直線和，直線過點交雙曲線的右支于A，B兩點，直線過點交雙曲線的右支于C，D兩點，記AB，CD的中點分別為P，Q，過點Q作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N．求四邊形PMQN面積的取值范圍．參考答案1-8.【答案】C【答案】A【答案】D【答案】D【答案】B【答案】A【答案】C【答案】A9.【答案】ACD10.【答案】ABD11.【答案】ACD12.【答案】##0.9513.【答案】14.【答案】25π15.【小問1】由題意，則，，，，y關(guān)于x的線性回歸方程為．【小問2】對于線性回歸模型，，，決定系數(shù)為，因為，所以用非線性回歸模型擬合效果更好．16.【小問1】證明：連接AC與BD交于點O，連接OE．則O為AC的中點，又點E是棱的中點，所以，又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE．【小問2】解法一：以DA，DC，所在的直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，則點，，，，則，，，設(shè)平面BDE的法向量為，則得，令，得平面BDE的一個法向量為，設(shè)直線與平面BDE所成角的大小為，則，故直線與平面BDE所成角的正弦值是．解法二：（幾何法）設(shè)直線與平面BDE所成角為，則，其中d為點到平面BDE的距離，即點C到平面BDE的距離．設(shè)，過C作于點H，則平面BDE，所以．在中，易求得，又，∴．17.【小問1】的定義域為，，令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍是．【小問2】令，得；令，得；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，也是唯一的極值點，所以，解得．【小問3】由（1）知：當時，函數(shù)有最小值，若，則，又因為對任意總存在，使得，則當時，的最小值不大于，函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，當，即時，則在上單調(diào)遞增，故的最小值為，解得，故；當，即時，則在上單調(diào)遞減，故的最小值為，解得，故；當時，即時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為，解得或．故或，綜上所述，實數(shù)b的取值范圍是．18.【小問1】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，由，得，當時，由，得，得，得．所以，所以．【小問2】因為是和的等差中項，所以，又，所以，得，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即；令，可知，因為，所以，兩式相減得，所以．【小問3】由（2）可得，由于，所以．因為，所以，當時，，綜上，成立．19.【小問1】由題意可得，，則直線的斜率，直線的斜率．因為直線，的斜率之積為1，所以，解得．因為點在雙曲線上，所以，解得．故雙曲線的標準方程為．【小問2】設(shè)點G所在圓的圓心為H，則，由雙曲線的定義可得，，所以，因為，所以當K，G，三點共線且K位于點G和之間時，取得最小值，又因為的最小值為，所以的最小值是．【小問3】由題意可知直線和直線斜率若存在，則斜率大于1或小于，且雙曲線的漸近線方程為