考點(diǎn)32平面向量的數(shù)量積（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)】1．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．2．平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做向量a與b的數(shù)量積，記作.3．平面向量數(shù)量積的幾何意義設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過(guò)eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的．記為.4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝＝．(3)(a＋b)·c＝.5．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_______|a|＝_________夾角cosθ＝_____cosθ＝___________a⊥b的充要條件a·b＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))常用結(jié)論1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.【核心題型】題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積．(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義【例題1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知平行四邊形中，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·浙江金華·三模）已知，，，則（

）A． B．16 C． D．9【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量的夾角為，若，則.【變式3】（2024·遼寧丹東·一模）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知面積為S，且．(1)求C；(2)若，，求S．題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．(2)求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐標(biāo)法．(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)命題點(diǎn)1向量的?！纠}2】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿(mǎn)足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C．1 D．13【變式1】（2024·河北·三模）已知非零向量，的夾角為，，，則（

）A．1 B． C． D．【變式2】（2024·河南·三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若為中點(diǎn)，則．【變式3】（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求；(2)若面積為，求邊上中線的長(zhǎng)．命題點(diǎn)2向量的夾角【例題3】（2024·北京·三模）若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·江蘇南通·三模）已知三個(gè)單位向量滿(mǎn)足，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知平面內(nèi)非零向量在向量上的投影向量為，且，則與夾角的余弦值為．【變式3】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且，.(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.命題點(diǎn)3向量的垂直【例題4】（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若向量，滿(mǎn)足，，且，則（

）A．1 B． C． D．2【變式1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知，且與不共線，若向量與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·寧夏銀川·三模）已知是單位向量，且與垂直，與的夾角為135°，則在上的投影數(shù)量為.【變式3】（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）四面體中，，求證：．題型三平面向量的實(shí)際應(yīng)用用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟【例題5】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當(dāng)角取哪個(gè)值時(shí)，繩承受的拉力最小.（

）A． B． C． D．【變式1】（2020·寧夏中衛(wèi)·二模）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A．63 B．69 C．75 D．81【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某物體作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力使物體處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，則的大小為．（牛頓是物理的力學(xué)單位）【變式3】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力，垂直斜面向上的彈力，沿著斜面向上的摩擦力.已知：，則的大小為.【課后強(qiáng)化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，滿(mǎn)足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿(mǎn)足，且，則（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則可能是（

）A． B． C．1 D．24．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓O內(nèi)接邊長(zhǎng)為1的正方形是?。òǘ它c(diǎn)）上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A． B．C．與的夾角為 D．在上的投影向量為6．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量共面，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題7．（2024·遼寧丹東·二模）設(shè)向量，的夾角為，且，，則．8．（2021·云南昆明·三模）兩同學(xué)合提一捆書(shū)，提起后書(shū)保持靜止，如圖所示，則與大小之比為．9．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量、滿(mǎn)足，則向量與的夾角為．四、解答題10．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，且．(1)求角的大小(2)若的面積為，，求．11．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，其中為的面積.(1)求角的大小；(2)設(shè)是邊的中點(diǎn)，若，求的長(zhǎng).【綜合提升練】一、單選題1．（2024·寧夏固原·一模）已知向量，若，則（

）A． B．1 C． D．22．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．3．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)向量滿(mǎn)足，，則（

）A．1 B． C． D．24．（2024·浙江紹興·二模）已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）在中，，則（

）A． B． C．9 D．186．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿(mǎn)足，又非零向量滿(mǎn)足，則與的夾角為（

）A． B． C．或 D．或7．（2024·湖北黃岡·二模）已知為單位向量，向量滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A．9 B．3 C． D．108．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．若，則（

）A． B．C．在方向上的投影向量為 D．與反向的單位向量是10．（23-24高三下·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．在方向上的投影向量為C．若，則D．若，則11．（2024·貴州黔東南·二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線斜率的取值范圍是B．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，與的夾角必為鈍角D．當(dāng)時(shí)，為定值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）三、填空題12．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）已知向量滿(mǎn)足，，則.13．（2020·河北張家口·二模）如圖，某班體重為70kg的體育老師在做引體向上示范動(dòng)作，兩只胳膊的夾角為，拉力大小均為，若使身體能向上移動(dòng)，則拉力的最小整數(shù)值為N．（取重力加速度大小為，）14．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，當(dāng)邊BC的中線時(shí)，的面積為．四、解答題15．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，為的中點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn).(1)求的長(zhǎng)；(2)求的面積.16．（22-23高三上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知(1)若且時(shí)，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；(2)若函數(shù)，求的最小值.17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，點(diǎn)在內(nèi)，，，求．18．（2024·福建寧德·三模）在中，角的對(duì)邊分別為.已知，且.(1)若，垂足為，求BD的長(zhǎng);(2)若，求的長(zhǎng).19．（2024·湖北·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，，．(1)求A；(2)者，，求的取值范圍．【拓展沖刺練】一、單選題1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿(mǎn)足，，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江·三模）已知單位向量滿(mǎn)足，則（

）A．0 B． C． D．13．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)向量，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．與的夾角為D．在方向上的投影向量是6．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則的值為B．若，則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則三、填空題7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量滿(mǎn)足，且，則的夾角大小為