高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第九章2026內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到一元二次方程的判別式Δ.位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d

r

Δ

0

相切d

r

Δ

0

相離d

r

Δ

0

把兩個交點(diǎn)之間的距離叫做相交弦長

<>==><微點(diǎn)撥直線與圓的位置關(guān)系將圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法相結(jié)合.代數(shù)法與幾何法思路不同,解題時要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選擇.微思考過一點(diǎn)的圓的切線有幾條?提示

應(yīng)首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.若點(diǎn)在圓上則該點(diǎn)為切點(diǎn),切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,切線應(yīng)有兩條;若點(diǎn)在圓內(nèi),則沒有切線.2.圓與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離

外切

一組實(shí)數(shù)解相交

兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)

內(nèi)含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

判斷兩圓的位置關(guān)系一般用幾何法

d>r1+r2無實(shí)數(shù)解

d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2一組實(shí)數(shù)解

無實(shí)數(shù)解

微點(diǎn)撥兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù):①內(nèi)含:0條;②內(nèi)切:1條;③相交:2條;④外切:3條;⑤外離:4條.微思考1用兩圓的方程組成的方程組有一解或無解時能否準(zhǔn)確判定兩圓的位置關(guān)系?提示

不能.當(dāng)兩圓方程組成的方程組有一解時,兩圓有外切和內(nèi)切兩種可能情況;當(dāng)方程組無解時,兩圓有外離和內(nèi)含兩種可能情況.微思考2當(dāng)兩圓相交時,怎樣求兩圓公共弦所在直線的方程?提示將兩圓方程相減得到的直線方程即為兩圓公共弦所在直線的方程.常用結(jié)論1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在的直線方程為x0x+y0y=r2.2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時公共弦的方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線的方程可由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(2)兩個圓系方程①過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);②過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圓C2,所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意,以防漏解).對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(

)(2)“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”的必要不充分條件.(

)(3)過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2.(

)(4)聯(lián)立兩相交圓的方程,消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在直線的方程.(

)××√√2.直線l:3x-y-6=0被圓C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的長為(

)答案

B

3.已知圓C:x2+y2=9,過點(diǎn)P(3,1)作圓C的切線,則切線方程為

.

答案

x=3或4x+3y-15=0

解析

由題意知P在圓外,圓C的圓心為C(0,0),半徑為3.當(dāng)切線斜率不存在時,切線方程為x=3,滿足題意;當(dāng)切線斜率存在時,設(shè)斜率為k,所以切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,所以增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系典例突破例1.(1)(多選)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點(diǎn)A(a,b),則下列說法正確的是(

)A.若點(diǎn)A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上,則直線l與圓C相切(3)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,a),直線AB關(guān)于直線y=a的對稱直線為l,已知l與圓C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn),則a的取值范圍為

.

(方法2

構(gòu)造法)設(shè)直線OA與直線OB的傾斜角分別為α,β,斜率分別為k1,k2,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E,則O,C,E三點(diǎn)共線,∴△OAB為等腰三角形,∴|OA|=|OB|.方法總結(jié)判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法

對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知m2≥3,則直線y=mx+與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為(

)A.相切

B.相離C.相離或相切

D.相交(2)(一題多解)在圓x2+y2=25上有一點(diǎn)P(4,3),點(diǎn)E,F是y軸上的兩點(diǎn),且滿足|PE|=|PF|,直線PE,PF與圓交于C,D兩點(diǎn),則直線CD的斜率是

.

(2)(方法1

特例法)當(dāng)F點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時,∵|PE|=|PF|,E,F兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0,3)對稱,∴E(0,6),如圖所示(草圖),由∠CMN和∠GON都和∠A互余,得∠CMN=∠GON.(方法3)如圖,過點(diǎn)P作x軸的平行線,交

于點(diǎn)G,連接OG,則G點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,3),PG⊥EF.∵|PE|=|PF|,∴△PEF為等腰三角形.∴PG是∠EPF的角平分線.(方法4

應(yīng)用極限的思想)由于E,F是在y軸上運(yùn)動的,當(dāng)E,F兩點(diǎn)向它們的中點(diǎn)靠攏時,C,D兩點(diǎn)也在圓弧上向圓弧的中點(diǎn)靠攏,即弦CD的長度變小.考點(diǎn)二圓的切線與弦長問題(多考向探究)考向1.弦長問題典例突破例2.(1)已知直線x-my+1=0與☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值

.

(2)(2024全國甲卷,12)已知b是a,c的等差中項(xiàng),直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y-1=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為(

)A.1

B.2

C.4

D(3)(多選)已知過點(diǎn)P(4,2)的直線l與圓C:(x-3)2+(y-3)2=4交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則(

)A.|AB|的最大值為4解析(1)由條件知圓心C(1,0),點(diǎn)C到直線x-my+1=0的距離

(2)根據(jù)題意有2b=a+c,即a-2b+c=0,所以直線ax+by+c=0過點(diǎn)M(1,-2).設(shè)圓x2+y2+4y-1=0的圓心為C,連接CM,則AB⊥CM時,|AB|最小.將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2+(y+2)2=5,則C(0,-2),所以|MC|=1,所以|AB|的最小值為(3)由題意,圓C:(x-3)2+(y-3)2=4的圓心坐標(biāo)為C(3,3),半徑r=2.由點(diǎn)P(4,2)在圓C內(nèi)部,因?yàn)檫^點(diǎn)P(4,2)的直線l與圓C:(x-3)2+(y-3)2=4交于A,B兩點(diǎn),所以|AB|的最大值為2r=4,所以A正確;方法總結(jié)直線被圓截得的弦長的兩種求法

對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知直線l:x+y-3=0交圓x2+y2+4x-2y-4=0于A,B兩點(diǎn),則|AB|=(

)(2)已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=kx+m,當(dāng)k變化時,l被圓C截得的弦長的最小值為2,則m=(

)答案

(1)A

(2)C

解析

(1)圓x2+y2+4x-2y-4=0可化為(x+2)2+(y-1)2=9,所以其圓心為(-2,1),半徑r=3,考向2.切線問題典例突破例3.(1)已知圓M過點(diǎn)A(1,3),B(1,-1),C(-3,1),則圓M在點(diǎn)A處的切線方程為(

)A.3x+4y-15=0 B.3x-4y+9=0C.4x+3y-13=0 D.4x-3y+5=0(2)過(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=(

)(3)經(jīng)過直線y=2x+1上的點(diǎn)作圓x2+y2-4x+3=0的切線,則切線長的最小值為(

)答案

(1)A

(2)B

(3)A

解析

(1)設(shè)圓M的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.由題可得

(2)

由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,方法總結(jié)解決直線與圓相切問題的策略

對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)過點(diǎn)P(m,3)向圓(x+2)2+(y+2)2=2作切線,則點(diǎn)P到切點(diǎn)距離的最小值為(

)考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系典例突破(2)(多選)已知圓C:x2-2ax+y2+a2-1=0與圓D:x2+y2=4有且僅有兩條公共切線,則實(shí)數(shù)a的取值可以是(

)A.-3 B.3

C.2

D.-2(3)若圓x2+y2=a2(a>0)與圓x2+y2+ay-6=0的公共弦長為2,則a=

.

例4.(1)(2024廣東廣州二模)若直線ax+by=1與圓O:x2+y2=1相切,則圓(x-a)2+(y-b)2=與圓O(

)A.外切

B.相交C.內(nèi)切

D.沒有公共點(diǎn)答案

(1)B

(2)CD

(3)2

(2)圓C方程可化為(x-a)2+y2=1,則圓心為C(a,0),半徑r1=1.由圓D方程知圓心為D(0,0),半徑r2=2.圓C與圓D有且僅有兩條公切線,故兩圓相交.又兩圓圓心距d=|a|,有2-1<|a|<