高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI指點(diǎn)迷津(六)第六章2026情境下的數(shù)列問題基于問題情境下的數(shù)列問題在高考中正逐步成為熱點(diǎn),通過具體的問題背景或新的定義,考查數(shù)列在問題情境中的應(yīng)用,以此來檢驗(yàn)學(xué)生的核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識.解決情境下的數(shù)列問題,常用的解題思路是:審題,建立數(shù)列模型,研究模型,解決實(shí)際問題.建立數(shù)列模型時(shí)需注意分析:問題中有哪些量,這些量之間的關(guān)系和規(guī)律是什么,是否符合等差、等比數(shù)列的定義,它們之間的遞推關(guān)系是什么等.有時(shí)還需要從特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié).只要建立起恰當(dāng)?shù)臄?shù)列模型,就可運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及相關(guān)的性質(zhì)解決問題.一、數(shù)學(xué)文化中的數(shù)列問題對于以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題,解題時(shí)常常受困于陌生背景,閱讀受阻,無法獲得解題思路.解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題,從問題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納,從中構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列模型,再根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)公式求解作答,必要時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn).例1.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn),他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》,該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例,從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為:2,3,6,11,則該數(shù)列的第15項(xiàng)為(

)A.196 B.197

C.198

D.199答案

C解析設(shè)該數(shù)列為{an},則a1=2,a2=3,a3=6,a4=11;由二階等差數(shù)列的定義可知,a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,所以數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=1為首項(xiàng),公差d=2的等差數(shù)列,即an+1-an=2n-1,所以an+1=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an)=2+n×1+n(n-1)×2=n2+2,所以a15=142+2=198.故選C.對點(diǎn)訓(xùn)練1(多選)三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān).則下列說法正確的是(

)A.此人第二天走了九十六里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里答案

ABD

B,后五天所走的路程為378-192=186(里),則第一天比后五天多走192-186=6(里),正確;這樣,每次在上一次操作的基礎(chǔ)上,將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段,同樣各自去掉中間的區(qū)間.操作過程不斷地進(jìn)行下去,以至無窮,剩下的點(diǎn)集A.4 B.5

C.6

D.7答案

B答案

B

對點(diǎn)訓(xùn)練2(2024安徽合肥模擬)數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí),發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)列{an},其各項(xiàng)為1,1,2,3,5,8…,其中從第3項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和,即a1=a2=1,an+2=an+1+an,這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若am=2(a3+a6+a9+…+a174)+1,則m=(

)A.175 B.176C.177 D.178解析

由從第三項(xiàng)起,每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和,a1=a2=1,由an+2=an+1+an(n∈N*),得an=an+2-an+1,所以a1=a3-a2,a2=a4-a3,a3=a5-a4,…,an=an+2-an+1,將這n個(gè)式子左右兩邊分別相加,可得Sn=a1+a2+…+an=an+2-a2=an+2-1,所以Sn+1=an+2.所以2(a3+a6+a9+…+a174)+1=(a3+a3+a6+a6+a9+a9+…+a174+a174)+1=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+…+a172+a173+a174+1=S174+1=a176.故選B.二、實(shí)際生活中的數(shù)列問題實(shí)際生產(chǎn)生活中的許多問題,諸如:人口增長、產(chǎn)值增長、分期付款等,都與數(shù)列問題緊密相關(guān),解決這些問題的關(guān)鍵是弄清題意,分清條件和結(jié)論,抓住關(guān)鍵詞和量,理順數(shù)量關(guān)系,然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,建立相應(yīng)的數(shù)列模型,抽象出通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系式,然后利用數(shù)列知識解決問題.例3.(2024河南駐馬店模擬)某醫(yī)院購買一臺大型醫(yī)療機(jī)器價(jià)格為a萬元,實(shí)行分期付款,每期付款b萬元,每期為一個(gè)月,共付12次,如果月利率為5‰,每月復(fù)利一次,則a,b滿足(

)A.12b=aB.12b=a(1+5‰)12C.12b=a(1+5‰)D.a<12b<a(1+5‰)12答案

D解析

由題意可知,b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12,由1+1.005+1.0052+…+1.00511>12,故12b<a(1+5‰)12,=12,故a<12b,即有a<12b<a(1+5‰)12.故選D.答案

B對點(diǎn)訓(xùn)練3

1682年,英國天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大彗星的運(yùn)行曲線和1531年、1607年的彗星驚人地相似.他大膽斷定,這是同一天體的三次出現(xiàn),并預(yù)言它將于76年后再度回歸.這就是著名的哈雷彗星,它的回歸周期大約是76年.請你預(yù)測它在21世紀(jì)回歸的年份是(

)A.2042年 B.2062年C.2082年 D.2092年解析由題意,可將哈雷彗星的回歸時(shí)間構(gòu)造成一個(gè)首項(xiàng)是1

682,公差為76的等差數(shù)列{an},則等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1

682+76(n-1)=76n+1

606,a5=76×5+1

606=1

986,a6=76×6+1

606=2

062.故可預(yù)測哈雷彗星在21世紀(jì)回歸的年份為2062年.故選B.三、數(shù)陣或圖表中的數(shù)列問題從數(shù)列到數(shù)陣或圖表,盡管數(shù)的排列形式發(fā)生了變化,但問題的本質(zhì)仍然是數(shù)列問題,只要抓住每行(每列)的首項(xiàng),找準(zhǔn)每行(每列)的變化規(guī)律,從數(shù)陣中構(gòu)造出新數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列、周期數(shù)列等),那么解決問題的思想和方法仍然不變.例4.楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示,在楊輝三角中,從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)“鋸齒形”數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,則在該數(shù)列中,第37項(xiàng)是(

)A.153 B.171C.190 D.210答案

C解析

由題意可得從第4行起的每行第三個(gè)數(shù):3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,所以第k(k≥4)行的第三個(gè)數(shù)為1+2+…+(k-2).在該數(shù)列中,第37項(xiàng)為第21行第三個(gè)數(shù),所以該數(shù)列的第37對點(diǎn)訓(xùn)練4一個(gè)數(shù)列的其前10項(xiàng)依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,現(xiàn)將數(shù)列各數(shù)按照如圖排列形成一個(gè)數(shù)表,則該數(shù)表中第8行第3個(gè)數(shù)是(

)A.152 B.480

C.512 D.840答案

B

解析由已知條件將大衍數(shù)列前10項(xiàng)按奇數(shù)項(xiàng)排列前5個(gè)數(shù)依次為0,4,12,24,40,按偶數(shù)項(xiàng)排列前5個(gè)數(shù)依次為2,8,18,32,50,可得大衍數(shù)列通項(xiàng)四、數(shù)列中的新定義問題“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算等,然后根據(jù)此新定義去解決問題,數(shù)列中新定義問題的解題要求是:(1)提取新定義的信息,明確新定義的名稱和符號;(2)理解新定義的概念、法則、性質(zhì),縱橫聯(lián)系探求解題方法;(3)對新定義中提取的知識進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,其中提取、化歸與轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,也是解題的難點(diǎn).數(shù)列新定義問題的解題思路為:(1)若新定義是運(yùn)算法則,直接按照運(yùn)算法則計(jì)算即可;(2)若新定義是性質(zhì),要判斷性質(zhì)的適用性,能否利用定義外延;(3)也可用特殊值排除等方法.例5.若數(shù)列{an}對于任意的正整數(shù)n滿足:an>0,且anan+1=n+1,則稱數(shù)列{an}為“積增數(shù)列”.在“積增數(shù)列”{an}中,a1=1,數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,則對于任意的正整數(shù)n,有(

)A.Sn<2n2+3 B.Sn>n2+3n

C.Sn<n2+2n+4 D.Sn>n2+4n答案

B對點(diǎn)訓(xùn)練5(多選)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若

為常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”,則下列數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”的有(

)A.an=n

B.an=(-1)n(n+1) C.an=4n-2 D.an=2n答案

BC例6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若不等式an+1≤Sn對任意的n∈N*恒成立,則稱數(shù)列{an}為“和保值數(shù)列”.若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,且數(shù)列{an+n}為“和保值數(shù)列”,則a1的取值范圍為(

)A.[0,+∞) B.[-2,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案

C對點(diǎn)訓(xùn)練6(多選)在無窮數(shù)列{an}中,若ap=aq(p,q∈N*),總有ap+1=aq+1,此時(shí)定義{an}為“階梯數(shù)列”.設(shè)數(shù)列{an}為“階梯數(shù)列”,且a1=a4=1,a5=,a8a9=2,則(

)A.a7=1 B.a8=2a4

C.S10=10+3