半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題的多解性與存在性研究一、引言1.1研究背景與意義微分方程作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要分支，在描述自然現(xiàn)象和解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，廣泛應(yīng)用于物理、工程、生物、經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域。半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題，作為微分方程研究的一個(gè)重要方向，因其在理論和實(shí)際應(yīng)用中都具有重要價(jià)值，近年來(lái)受到了眾多學(xué)者的關(guān)注。從理論層面來(lái)看，半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題涉及到微分方程理論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)等多個(gè)數(shù)學(xué)分支的知識(shí)，對(duì)其研究有助于深入理解這些數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系，推動(dòng)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展。同時(shí)，奇異微分方程的奇異性使得問(wèn)題的研究更具挑戰(zhàn)性，需要發(fā)展新的方法和技巧來(lái)克服奇異性帶來(lái)的困難，這對(duì)于豐富和完善微分方程理論具有重要意義。在實(shí)際應(yīng)用中，半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用背景。在物理學(xué)領(lǐng)域，許多物理模型都可以歸結(jié)為這類邊值問(wèn)題。比如在研究非線性橢圓微分方程對(duì)稱徑向解時(shí)，就會(huì)遇到半無(wú)窮區(qū)間上二階邊值問(wèn)題，而這類問(wèn)題與半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題密切相關(guān)。在描述半直線中間多漏洞的煤氣壓力模型時(shí)，也會(huì)涉及到此類邊值問(wèn)題，通過(guò)求解該問(wèn)題，可以深入了解煤氣在復(fù)雜環(huán)境下的壓力分布情況，為相關(guān)工程設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用提供重要的理論支持。在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，若考慮半無(wú)限大物體的熱傳導(dǎo)過(guò)程，當(dāng)給定三個(gè)不同位置的溫度或熱流條件時(shí)，就可以建立半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題的模型，從而求解出物體內(nèi)的溫度分布，這對(duì)于材料科學(xué)、能源工程等領(lǐng)域的研究具有重要意義。在工程領(lǐng)域，半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題同樣有著重要應(yīng)用。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，當(dāng)研究細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)在特定載荷和邊界條件下的力學(xué)行為時(shí)，可能會(huì)涉及到此類邊值問(wèn)題。通過(guò)求解該問(wèn)題，可以得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變分布，為結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。在電路分析中，對(duì)于一些具有特殊邊界條件的半無(wú)限長(zhǎng)傳輸線問(wèn)題，也可以利用半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題的理論進(jìn)行分析，從而解決信號(hào)傳輸過(guò)程中的相關(guān)問(wèn)題，提高電路系統(tǒng)的性能。研究半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性和性質(zhì)，對(duì)于理解和解決上述實(shí)際問(wèn)題至關(guān)重要。只有確定了問(wèn)題解的存在性，才能進(jìn)一步探討解的唯一性、穩(wěn)定性以及漸近行為等性質(zhì)，從而為實(shí)際應(yīng)用提供可靠的理論依據(jù)。如果能夠明確在何種條件下問(wèn)題存在解，以及解具有怎樣的性質(zhì)，工程師和科學(xué)家們就可以根據(jù)這些結(jié)論來(lái)優(yōu)化物理模型和工程設(shè)計(jì)，提高系統(tǒng)的性能和可靠性。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究在國(guó)內(nèi)外都取得了一定的進(jìn)展，眾多學(xué)者從不同角度、運(yùn)用多種方法對(duì)其進(jìn)行了深入探索。在國(guó)外，早期的研究主要集中在有限區(qū)間上微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題。Vailin和Eimoiseev率先提出了有限區(qū)間上二階線性微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題，為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。隨后，C.P.Gupta針對(duì)非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題展開研究，眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用Leray-Schauder連續(xù)定理和迭合度理論等方法，對(duì)非線性有限區(qū)間多點(diǎn)邊值問(wèn)題進(jìn)行了廣泛而深入的探討，發(fā)表了大量研究成果。隨著研究的不斷深入，半直線上的邊值問(wèn)題逐漸進(jìn)入學(xué)者們的視野。HairongLian和WeigaoGe研究了半直線上三點(diǎn)邊值問(wèn)題，在\vertf(t,u,v)\vert\leqp(t)\vertu\vert+q(t)\vertv\vert+r(t)條件下，通過(guò)建立Green函數(shù)，利用Leray-Schauder連續(xù)定理，得到了其解的存在性。在國(guó)內(nèi)，許多學(xué)者也積極投身于半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究。周金艷利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，考慮半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題，其中非線性項(xiàng)在z=0和z'=0奇異且變號(hào)。相較于HairongLian和WeigaoGe的研究，不僅增加了非線性項(xiàng)奇異且變號(hào)的情況，還進(jìn)一步減弱了對(duì)f的限制條件，從而得到了正解的存在性，拓展了半直線上三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在性理論的研究范圍。BinLiu研究了特定方程一個(gè)及多個(gè)正解的存在性，周金艷則將該問(wèn)題推廣到無(wú)窮區(qū)間進(jìn)行研究，通過(guò)構(gòu)造極限函數(shù)以及提出新的條件，克服了區(qū)間無(wú)界性和非線性項(xiàng)奇異所帶來(lái)的困難，給出了半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在的簡(jiǎn)單判定準(zhǔn)則。目前的研究仍存在一些不足。一方面，雖然已有一些關(guān)于半直線上多點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究成果，但整體上相關(guān)文章數(shù)量較少，研究的廣度和深度有待進(jìn)一步拓展。另一方面，對(duì)于非線性項(xiàng)既依賴于z'又奇異變號(hào)的情況，研究還不夠充分，已有的研究成果相對(duì)有限，許多問(wèn)題尚未得到有效解決。同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用方面，雖然半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題具有廣泛的應(yīng)用背景，但目前將理論研究成果與具體實(shí)際問(wèn)題緊密結(jié)合的研究還比較缺乏，如何將理論更好地應(yīng)用于解決物理、工程等領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題，仍需進(jìn)一步探索。本文旨在彌補(bǔ)現(xiàn)有研究的部分不足，通過(guò)深入研究半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題，在以下方面進(jìn)行創(chuàng)新：一是進(jìn)一步拓展研究方法，嘗試運(yùn)用新的數(shù)學(xué)理論和工具，深入探討非線性項(xiàng)既依賴于z'又奇異變號(hào)時(shí)問(wèn)題解的存在性和性質(zhì)；二是加強(qiáng)理論與實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合，通過(guò)建立更加符合實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型，將研究成果應(yīng)用于解決具體的物理、工程問(wèn)題，為相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展提供更有力的理論支持。1.3研究方法與思路本文綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法對(duì)所研究的半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題展開深入探討，旨在揭示該問(wèn)題解的存在性和相關(guān)性質(zhì)。具體研究方法如下：不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論：不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論在研究非線性方程解的存在性問(wèn)題中具有重要作用。本文將其應(yīng)用于半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題的研究。通過(guò)巧妙構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆e分算子，將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為算子方程的形式。然后，依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，對(duì)算子在特定區(qū)域內(nèi)的不動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行分析，從而判斷原邊值問(wèn)題解的存在性。例如，在研究非線性項(xiàng)既依賴于z'又奇異變號(hào)的情況時(shí)，利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論可以有效克服奇異性和變號(hào)帶來(lái)的困難，為解的存在性證明提供有力的工具。在第一章中考慮半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題z''+a(t)f(t,z,z')=0，z(0)=\alphaz(\eta)，\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0，其中0<\alpha<1，\eta\in(0,+\infty)，f在z=0和z'=0奇異且變號(hào)，通過(guò)構(gòu)造積分算子，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論得到了正解的存在性。格林函數(shù)構(gòu)造：格林函數(shù)是解決微分方程邊值問(wèn)題的重要工具之一。對(duì)于半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題，構(gòu)造合適的格林函數(shù)是關(guān)鍵步驟。通過(guò)建立格林函數(shù)，可以將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程的形式，從而便于后續(xù)的分析和求解。在建立格林函數(shù)時(shí)，需要充分考慮方程的奇異性和邊界條件。利用格林函數(shù)與邊值問(wèn)題解的密切關(guān)系，將原問(wèn)題的解表示為格林函數(shù)與非線性項(xiàng)的積分形式。這樣，就可以通過(guò)對(duì)積分方程的研究來(lái)探討原邊值問(wèn)題解的性質(zhì)。在研究半直線上三點(diǎn)邊值問(wèn)題z''+a(t)f(t,z,z')=0，z(0)=\alphaz(\eta)，\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0時(shí)，通過(guò)建立格林函數(shù)，結(jié)合Leray-Schauder連續(xù)定理，得到了其解的存在性。極限函數(shù)構(gòu)造：針對(duì)半直線上區(qū)間無(wú)界性給研究帶來(lái)的困難，構(gòu)造極限函數(shù)是一種有效的解決方法。通過(guò)精心構(gòu)造極限函數(shù)，能夠?qū)o(wú)界區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有界區(qū)間上的問(wèn)題進(jìn)行研究，從而簡(jiǎn)化分析過(guò)程。在構(gòu)造極限函數(shù)時(shí)，需要根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)和要求，合理選取函數(shù)形式。通過(guò)對(duì)極限函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行深入研究，為半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性和性質(zhì)研究提供重要的理論支持。在研究半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題z''+a(t)f(t,z)=0，z(0)=\alphaz(\eta)，\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0時(shí)，為了克服區(qū)間的無(wú)界性，構(gòu)造了極限函數(shù)f_{\infty}，f_{0}等，為后續(xù)討論提供了重要的理論條件。錐理論：錐理論在非線性泛函分析中占據(jù)重要地位，它為研究非線性算子的性質(zhì)提供了有力的框架。在本文中，利用錐上的相關(guān)理論，如錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理等，來(lái)研究半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題。通過(guò)在錐中定義合適的算子和范數(shù)，運(yùn)用錐理論的相關(guān)結(jié)論，判斷算子在錐內(nèi)是否存在不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而確定原邊值問(wèn)題正解的存在性和多重性。例如，在第二章中研究半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題時(shí)，主要利用錐上的Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了正解存在的簡(jiǎn)單判定準(zhǔn)則。本文的研究思路和結(jié)構(gòu)安排如下：第一章：主要運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，深入研究半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性。首先，全面研究該問(wèn)題正解不存在時(shí)的情況，通過(guò)嚴(yán)密的推理和分析，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。然后，分別細(xì)致討論非線性項(xiàng)f在z'=0奇異但在z=0不奇異時(shí)正解的存在性，以及在z=0和z'=0都奇異時(shí)正解的存在性。在研究過(guò)程中，嚴(yán)格按照先構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆e分算子，再提出新的條件克服奇異和變號(hào)，最后利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論得到所研究方程近似解的步驟進(jìn)行。通過(guò)這些步驟，逐步揭示該問(wèn)題正解的存在規(guī)律。第二章：給出半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在的簡(jiǎn)單判定準(zhǔn)則。首先，為了有效克服區(qū)間的無(wú)界性給研究造成的困難，精心構(gòu)造極限函數(shù)f_{\infty}，f_{0}等。針對(duì)非線性項(xiàng)奇異所造成的困擾，提出新的條件加以解決。然后，在不同條件下，如f_{0}=0，f_{\infty}>0或者f_{0}>0，f_{\infty}=0等，深入研究問(wèn)題至少一個(gè)正解的存在性。在f_{0}=f_{\infty}=+\infty或者f_{0}=f_{\infty}=0的前提下，給出問(wèn)題兩個(gè)正解的存在性條件。接著，給出f_{0}，f_{\infty}，f_{0,\infty}，f_{\infty,0}取不同值時(shí)，問(wèn)題正解存在性的判別準(zhǔn)則。最后，通過(guò)具體例子進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性和有效性。二、半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題的理論基礎(chǔ)2.1奇異微分方程的基本概念奇異微分方程是一類具有特殊性質(zhì)的微分方程，與一般微分方程相比，其在解的性質(zhì)和求解方法上存在顯著差異。在一般微分方程中，方程的系數(shù)和右端項(xiàng)通常在定義域內(nèi)是連續(xù)且有界的，這使得方程的解具有較好的光滑性和穩(wěn)定性。例如，常見的一階線性微分方程y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)在給定區(qū)間上連續(xù)，通過(guò)積分因子法等常規(guī)方法可以較為容易地求解其通解和特解。而奇異微分方程則不同，其在某些點(diǎn)或區(qū)域上，方程的系數(shù)或右端項(xiàng)可能出現(xiàn)無(wú)界或不連續(xù)的情況，這些點(diǎn)被稱為奇異點(diǎn)。以二階奇異微分方程y''+\frac{p(x)}{x-x_0}y'+\frac{q(x)}{(x-x_0)^2}y=f(x)為例，x=x_0就是該方程的奇異點(diǎn)，當(dāng)x趨近于x_0時(shí)，方程的系數(shù)\frac{p(x)}{x-x_0}和\frac{q(x)}{(x-x_0)^2}會(huì)趨于無(wú)窮大，這導(dǎo)致方程在奇異點(diǎn)附近的行為變得復(fù)雜。奇異點(diǎn)的存在對(duì)奇異微分方程解的影響是多方面的。在解的存在性方面，由于奇異點(diǎn)處方程的奇異性，解在該點(diǎn)附近的存在性需要特殊的條件來(lái)保證。在一些情況下，方程在奇異點(diǎn)處可能不存在經(jīng)典意義下的解，需要引入廣義解的概念來(lái)討論解的存在性。對(duì)于一階奇異微分方程\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x-x_0}，在x=x_0處，方程的右端項(xiàng)無(wú)界，經(jīng)典的解在該點(diǎn)不存在，但在廣義函數(shù)的框架下，可以定義其解的形式。解的唯一性也會(huì)受到奇異點(diǎn)的影響。在一般微分方程中，滿足一定的初值條件時(shí)，解通常是唯一的。然而，對(duì)于奇異微分方程，由于奇異點(diǎn)的存在，即使給定了初值條件，解的唯一性也可能無(wú)法保證。在某些奇異微分方程中，可能存在多個(gè)解滿足相同的初值條件，這與一般微分方程的性質(zhì)形成了鮮明對(duì)比。解的性質(zhì)也會(huì)因奇異點(diǎn)的存在而發(fā)生改變。在奇異點(diǎn)附近，解可能會(huì)出現(xiàn)振蕩、發(fā)散等特殊行為。一些奇異微分方程的解在奇異點(diǎn)附近會(huì)呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)或衰減的特性，這使得解的漸近行為變得復(fù)雜，給分析和研究帶來(lái)了困難。在研究某些物理問(wèn)題時(shí)，奇異微分方程的解在奇異點(diǎn)附近的特殊行為可能對(duì)應(yīng)著物理系統(tǒng)的奇異現(xiàn)象，如爆炸、分形、混沌等，因此深入研究奇異點(diǎn)對(duì)解的影響具有重要的理論和實(shí)際意義。2.2三點(diǎn)邊值問(wèn)題的定義與常見類型三點(diǎn)邊值問(wèn)題是微分方程研究中的重要內(nèi)容，它在許多實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于常微分方程，三點(diǎn)邊值問(wèn)題的數(shù)學(xué)定義如下：設(shè)給定常微分方程F(t,z,z',\cdots,z^{(n)})=0，其中t為自變量，z是關(guān)于t的未知函數(shù)，z',\cdots,z^{(n)}分別是z的一階到n階導(dǎo)數(shù)。同時(shí)給定三個(gè)不同的點(diǎn)t_1,t_2,t_3（其中t_1,t_2,t_3可以是有限值，也可以其中某個(gè)或多個(gè)為無(wú)窮大，在半直線上的三點(diǎn)邊值問(wèn)題中，通常會(huì)涉及到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）以及關(guān)于z(t_1),z'(t_1),\cdots,z^{(n-1)}(t_1)，z(t_2),z'(t_2),\cdots,z^{(n-1)}(t_2)，z(t_3),z'(t_3),\cdots,z^{(n-1)}(t_3)的條件，要求找到滿足該常微分方程以及這三個(gè)點(diǎn)處給定條件的函數(shù)z(t)，這樣的問(wèn)題就稱為三點(diǎn)邊值問(wèn)題。常見的三點(diǎn)邊值條件有多種形式。在二階常微分方程中，一種常見的三點(diǎn)邊值條件為z(0)=\alphaz(\eta)，z'(\xi)=\beta，\lim_{t\to+\infty}z(t)=\gamma（其中0<\alpha<1，\eta,\xi\in(0,+\infty)，\beta,\gamma為給定常數(shù)）。在這種邊值條件中，z(0)=\alphaz(\eta)表示在t=0和t=\eta這兩個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值之間存在線性關(guān)系；z'(\xi)=\beta給定了在t=\xi點(diǎn)處函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)值；\lim_{t\to+\infty}z(t)=\gamma則規(guī)定了函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限值。再如，對(duì)于二階常微分方程，還可能出現(xiàn)z(0)=0，z(\eta)=\alphaz(\xi)，z'(\infty)=0（其中\(zhòng)eta,\xi\in(0,+\infty)，0<\alpha<1）這樣的邊值條件。z(0)=0指定了函數(shù)在t=0點(diǎn)的函數(shù)值為0；z(\eta)=\alphaz(\xi)建立了t=\eta和t=\xi兩點(diǎn)處函數(shù)值的線性聯(lián)系；z'(\infty)=0表示函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，這在描述一些物理現(xiàn)象時(shí)具有重要意義，比如在研究某些擴(kuò)散過(guò)程中，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，擴(kuò)散速度趨近于0。與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題相比，三點(diǎn)邊值問(wèn)題在條件設(shè)定上更為復(fù)雜。兩點(diǎn)邊值問(wèn)題通常只涉及區(qū)間端點(diǎn)處的條件，例如對(duì)于二階常微分方程，常見的兩點(diǎn)邊值條件為z(a)=\alpha，z(b)=\beta（a,b為區(qū)間端點(diǎn)，\alpha,\beta為常數(shù)），其條件僅依賴于兩個(gè)端點(diǎn)，相對(duì)簡(jiǎn)單直接。而三點(diǎn)邊值問(wèn)題引入了第三個(gè)點(diǎn)的條件，使得問(wèn)題的約束更加多樣化，解的結(jié)構(gòu)也更為復(fù)雜。由于多了一個(gè)點(diǎn)的條件約束，三點(diǎn)邊值問(wèn)題的解需要同時(shí)滿足三個(gè)不同位置的條件，這增加了求解的難度和復(fù)雜性。在某些情況下，三點(diǎn)邊值問(wèn)題的解可能存在多個(gè)，而兩點(diǎn)邊值問(wèn)題在一定條件下解往往是唯一的。與多點(diǎn)邊值問(wèn)題相比，雖然它們都涉及多個(gè)點(diǎn)的條件，但三點(diǎn)邊值問(wèn)題相對(duì)較為特殊。多點(diǎn)邊值問(wèn)題一般涉及三個(gè)及以上點(diǎn)的條件，隨著點(diǎn)數(shù)的增加，問(wèn)題的復(fù)雜性呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。多點(diǎn)邊值問(wèn)題需要考慮更多點(diǎn)之間的相互關(guān)系和約束條件，其解的存在性、唯一性以及求解方法都與三點(diǎn)邊值問(wèn)題有所不同。在求解多點(diǎn)邊值問(wèn)題時(shí)，可能需要運(yùn)用更復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具和方法，如矩陣分析、變分法等，而三點(diǎn)邊值問(wèn)題則主要通過(guò)構(gòu)造格林函數(shù)、運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)理論等方法來(lái)求解。2.3相關(guān)數(shù)學(xué)工具與理論不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論：不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論是研究非線性算子不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的重要工具，在微分方程邊值問(wèn)題解的存在性研究中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。對(duì)于一個(gè)定義在Banach空間E上的閉凸子集P上的全連續(xù)算子A，不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)i(A,P)是一個(gè)整數(shù)，它反映了算子A在集合P內(nèi)不動(dòng)點(diǎn)的某種拓?fù)湫再|(zhì)。其定義基于拓?fù)涠壤碚?，通過(guò)對(duì)算子在邊界上的行為進(jìn)行分析來(lái)確定。若i(A,P)\neq0，則可以推斷出算子A在P內(nèi)至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。在研究半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題時(shí)，常常通過(guò)將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分方程的形式，進(jìn)而構(gòu)造出相應(yīng)的積分算子A。然后，利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論判斷該積分算子在特定集合內(nèi)是否存在不動(dòng)點(diǎn)，若存在，則說(shuō)明原邊值問(wèn)題存在解。在第一章中研究半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題z''+a(t)f(t,z,z')=0，z(0)=\alphaz(\eta)，\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0（其中0<\alpha<1，\eta\in(0,+\infty)，f在z=0和z'=0奇異且變號(hào)）時(shí)，就是通過(guò)構(gòu)造積分算子，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論得到了正解的存在性。格林函數(shù)：格林函數(shù)是解決線性微分方程邊值問(wèn)題的重要工具，它在數(shù)學(xué)物理和工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于給定的線性微分方程Lz=f（其中L為線性微分算子）以及相應(yīng)的邊界條件，格林函數(shù)G(t,s)滿足LG(t,s)=\delta(t-s)（\delta(t-s)為狄拉克\delta函數(shù)），并且滿足與原方程相同的邊界條件。格林函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)。它具有對(duì)稱性，即G(t,s)=G(s,t)，這一性質(zhì)在許多計(jì)算和分析中都非常有用。格林函數(shù)與微分方程的解有著密切的聯(lián)系，原微分方程的解可以表示為z(t)=\int_{a}^G(t,s)f(s)ds（其中a,b為積分區(qū)間）。在研究半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造合適的格林函數(shù)是關(guān)鍵步驟。通過(guò)建立格林函數(shù)，將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程，從而便于利用積分方程的理論和方法來(lái)研究邊值問(wèn)題解的性質(zhì)。在研究半直線上三點(diǎn)邊值問(wèn)題z''+a(t)f(t,z,z')=0，z(0)=\alphaz(\eta)，\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0時(shí)，通過(guò)建立格林函數(shù)，結(jié)合Leray-Schauder連續(xù)定理，得到了其解的存在性。錐理論：錐理論是非線性泛函分析的重要組成部分，它為研究非線性算子的性質(zhì)提供了有力的框架。在Banach空間E中，錐P是滿足以下條件的非空閉凸集：對(duì)于任意x\inP和\lambda\geq0，有\(zhòng)lambdax\inP；并且若x\inP且-x\inP，則x=0。在錐P上，有許多重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，如Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理。該定理指出，若A是錐P上的全連續(xù)算子，并且存在兩個(gè)正數(shù)r和R（r<R），使得在\{x\inP:\|x\|=r\}上有\(zhòng)|Ax\|\geq\|x\|，在\{x\inP:\|x\|=R\}上有\(zhòng)|Ax\|\leq\|x\|，或者在\{x\inP:\|x\|=r\}上有\(zhòng)|Ax\|\leq\|x\|，在\{x\inP:\|x\|=R\}上有\(zhòng)|Ax\|\geq\|x\|，則算子A在\{x\inP:r\leq\|x\|\leqR\}內(nèi)至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。在研究半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題時(shí)，利用錐理論可以有效地判斷正解的存在性和多重性。通過(guò)在錐中定義合適的算子和范數(shù)，運(yùn)用錐理論的相關(guān)結(jié)論，判斷算子在錐內(nèi)是否存在不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而確定原邊值問(wèn)題正解的存在情況。在第二章中研究半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題時(shí)，主要利用錐上的Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了正解存在的簡(jiǎn)單判定準(zhǔn)則。三、半直線上奇異微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性3.1問(wèn)題的數(shù)學(xué)表述考慮半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題：\begin{cases}z''+a(t)f(t,z,z')=0,&0<t<+\infty\\z(0)=\alphaz(\eta),&0<\alpha<1,\\eta\in(0,+\infty)\\\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0\end{cases}其中，a(t)是定義在(0,+\infty)上的已知函數(shù)，它反映了方程中與自變量t相關(guān)的系數(shù)特征，其性質(zhì)對(duì)問(wèn)題的解有著重要影響。若a(t)在某些區(qū)間上取值較大，可能導(dǎo)致方程的解在該區(qū)間上變化較為劇烈；反之，若a(t)取值較小，則解的變化相對(duì)平緩。f(t,z,z')是定義在(0,+\infty)\times(0,+\infty)\times(0,+\infty)上的非線性函數(shù)，它在z=0和z'=0處奇異且變號(hào)。這種奇異性和變號(hào)特性使得問(wèn)題的研究變得復(fù)雜，需要特殊的方法來(lái)處理。在一些物理模型中，f(t,z,z')可能表示某種非線性的相互作用或源項(xiàng)，其奇異和變號(hào)性質(zhì)對(duì)應(yīng)著物理過(guò)程中的特殊現(xiàn)象。對(duì)于函數(shù)a(t)，假設(shè)其滿足以下條件：a(t)在(0,+\infty)上連續(xù)，且a(t)>0，\forallt\in(0,+\infty)。這保證了a(t)在整個(gè)半直線上有良好的定義且恒為正，使得方程的性質(zhì)在正半軸上具有一定的一致性。在研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，如果a(t)表示熱傳導(dǎo)系數(shù)，其連續(xù)性和正性是保證熱傳導(dǎo)過(guò)程穩(wěn)定且符合實(shí)際物理規(guī)律的重要條件。\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty。該條件限制了a(t)在無(wú)窮區(qū)間上的積分是有限的，這對(duì)于后續(xù)研究解的存在性和性質(zhì)至關(guān)重要。在某些擴(kuò)散模型中，這個(gè)條件可以保證擴(kuò)散過(guò)程在無(wú)窮時(shí)間內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)無(wú)限增長(zhǎng)或發(fā)散的情況，使得問(wèn)題在數(shù)學(xué)上是可解的。對(duì)于非線性函數(shù)f(t,z,z')，由于其奇異且變號(hào)的特性，對(duì)其進(jìn)行如下分析：當(dāng)z\to0^{+}或z'\to0^{+}時(shí)，f(t,z,z')可能趨于無(wú)窮大，這體現(xiàn)了函數(shù)在z=0和z'=0處的奇異性。在研究一些具有邊界層效應(yīng)的物理問(wèn)題時(shí)，這種奇異性可能對(duì)應(yīng)著邊界附近物理量的急劇變化。f(t,z,z')在(0,+\infty)\times(0,+\infty)\times(0,+\infty)上變號(hào)，意味著其取值既有正值又有負(fù)值。在化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型中，f(t,z,z')的變號(hào)可能表示反應(yīng)在不同條件下的促進(jìn)或抑制作用。邊值條件z(0)=\alphaz(\eta)建立了t=0和t=\eta兩個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值之間的聯(lián)系，0<\alpha<1的限制使得這種聯(lián)系具有一定的比例關(guān)系，反映了系統(tǒng)在不同位置的狀態(tài)關(guān)聯(lián)。在研究彈性梁的振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，這個(gè)邊值條件可能表示梁在兩個(gè)不同位置的位移關(guān)系。\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0則規(guī)定了函數(shù)z(t)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的導(dǎo)數(shù)極限為0，這在許多實(shí)際問(wèn)題中具有重要意義。在研究物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，該條件可能表示物體在長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)后速度趨于穩(wěn)定，加速度趨近于0。3.2正解不存在的情況分析當(dāng)考慮半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題：\begin{cases}z''+a(t)f(t,z,z')=0,&0<t<+\infty\\z(0)=\alphaz(\eta),&0<\alpha<1,\\eta\in(0,+\infty)\\\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0\end{cases}在某些條件下，該問(wèn)題可能不存在正解。假設(shè)存在這樣的情況，當(dāng)t在(0,+\infty)上變化時(shí)，函數(shù)a(t)雖然滿足a(t)在(0,+\infty)上連續(xù)且a(t)>0，\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，但a(t)在無(wú)窮遠(yuǎn)處衰減得過(guò)快。具體來(lái)說(shuō)，若存在M>0，當(dāng)t>M時(shí)，a(t)滿足a(t)<\frac{1}{t^2}（這里只是一種假設(shè)的快速衰減形式，實(shí)際情況可能更復(fù)雜）。對(duì)于非線性函數(shù)f(t,z,z')，當(dāng)z和z'在一定范圍內(nèi)時(shí)，比如當(dāng)z\in(0,z_0]，z'\in(0,z_1]（z_0,z_1為正數(shù)），f(t,z,z')滿足f(t,z,z')\geq\frac{1}{z}。假設(shè)該問(wèn)題存在正解z(t)，對(duì)邊值問(wèn)題中的方程z''+a(t)f(t,z,z')=0從t到+\infty進(jìn)行積分，可得：-z'(t)=\int_{t}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds由于a(s)<\frac{1}{s^2}（s>M）且f(s,z(s),z'(s))\geq\frac{1}{z(s)}，則有：-z'(t)\geq\int_{t}^{+\infty}\frac{1}{s^2z(s)}ds因?yàn)閦(t)是正解，z(s)>0，設(shè)z(s)在(0,+\infty)上有最小值m>0（若z(s)無(wú)最小值，即\lim_{s\to+\infty}z(s)=0，情況會(huì)更復(fù)雜，此處先考慮有最小值的情況），則：-z'(t)\geq\int_{t}^{+\infty}\frac{1}{s^2m}ds=\frac{1}{mt}對(duì)-z'(t)\geq\frac{1}{mt}從t_0（t_0>M）到t再次積分：z(t_0)-z(t)\geq\frac{1}{m}\ln\frac{t}{t_0}當(dāng)t\to+\infty時(shí)，\frac{1}{m}\ln\frac{t}{t_0}\to+\infty，這意味著z(t)會(huì)趨于負(fù)無(wú)窮，與z(t)是正解矛盾。所以在這種情況下，半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題不存在正解。再?gòu)牧硪粋€(gè)角度分析，考慮非線性項(xiàng)f(t,z,z')的性質(zhì)。若當(dāng)z足夠大時(shí)，比如存在z_2>0，當(dāng)z\geqz_2時(shí)，f(t,z,z')滿足f(t,z,z')\leq-k（k>0為常數(shù)）。同樣對(duì)邊值問(wèn)題中的方程從t到+\infty積分：-z'(t)=\int_{t}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds因?yàn)閒(s,z(s),z'(s))\leq-k，所以：-z'(t)\leq-k\int_{t}^{+\infty}a(s)ds又因?yàn)閈int_{0}^{+\infty}a(s)ds<+\infty，設(shè)\int_{0}^{+\infty}a(s)ds=A（A為有限正數(shù)），則\int_{t}^{+\infty}a(s)ds=A-\int_{0}^{t}a(s)ds。當(dāng)t足夠大時(shí)，\int_{t}^{+\infty}a(s)ds會(huì)趨近于0，但由于k>0，-z'(t)會(huì)趨于一個(gè)非零的負(fù)數(shù)，即z'(t)會(huì)趨于一個(gè)正數(shù)。這意味著z(t)在t\to+\infty時(shí)會(huì)單調(diào)遞增且趨于正無(wú)窮，這與\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0矛盾，所以此時(shí)邊值問(wèn)題也不存在正解。3.3非線性項(xiàng)在z'=0奇異但在z=0不奇異時(shí)正解的存在性當(dāng)非線性項(xiàng)f(t,z,z')在z'=0奇異但在z=0不奇異時(shí)，我們通過(guò)構(gòu)造積分算子，并運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論來(lái)證明正解的存在性。首先，定義Banach空間E=C^1[0,+\infty)，其范數(shù)為\|z\|=\|z\|_{C[0,+\infty)}+\|z'\|_{C[0,+\infty)}，其中\(zhòng)|z\|_{C[0,+\infty)}=\sup_{t\in[0,+\infty)}|z(t)|，\|z'\|_{C[0,+\infty)}=\sup_{t\in[0,+\infty)}|z'(t)|。對(duì)于邊值問(wèn)題\begin{cases}z''+a(t)f(t,z,z')=0,&0<t<+\infty\\z(0)=\alphaz(\eta),&0<\alpha<1,\\eta\in(0,+\infty)\\\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0\end{cases}，通過(guò)對(duì)z''=-a(t)f(t,z,z')從t到+\infty積分，可得-z'(t)=\int_{t}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds，再對(duì)-z'(t)從0到t積分，得到z(t)-z(0)=-\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds。結(jié)合z(0)=\alphaz(\eta)，經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)（具體推導(dǎo)過(guò)程可參考相關(guān)文獻(xiàn)或根據(jù)積分性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)運(yùn)算），可以構(gòu)造積分算子Az(t)=\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds?？梢宰C明該積分算子A是全連續(xù)的。對(duì)于任意有界集B\subsetE，設(shè)\|z\|\leqM（M為正數(shù)），z\inB。因?yàn)閍(t)在(0,+\infty)上連續(xù)且\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，f(t,z,z')在(0,+\infty)\times(0,+\infty)\times(0,+\infty)上連續(xù)（在z'=0奇異但在z=0不奇異），所以\verta(t)f(t,z,z')\vert在(0,+\infty)\timesB上有界，設(shè)\verta(t)f(t,z,z')\vert\leqN（N為正數(shù)）。對(duì)于Az(t)，有\(zhòng)vertAz(t)\vert\leq\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds\leq\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}Nd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}Nd\tauds，由于\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，所以\int_{s}^{+\infty}Nd\tau是有限的，從而\vertAz(t)\vert有界。對(duì)于(Az)'(t)，(Az)'(t)=-\int_{t}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds，同樣因?yàn)閈verta(t)f(t,z,z')\vert\leqN，所以\vert(Az)'(t)\vert\leq\int_{t}^{+\infty}Nds是有界的。這表明A(B)是一致有界的。再證明等度連續(xù)。對(duì)于任意\epsilon>0，取\delta>0，當(dāng)\vertt_1-t_2\vert<\delta時(shí)，對(duì)于Az(t)，有\(zhòng)vertAz(t_1)-Az(t_2)\vert=\vert\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-(\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t_2}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds)\vert=\vert\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds\vert\leq\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds\leq\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}Nd\tauds。因?yàn)閈int_{s}^{+\infty}Nd\tau有限，所以當(dāng)\vertt_1-t_2\vert<\delta時(shí)，\vertAz(t_1)-Az(t_2)\vert<\epsilon。對(duì)于(Az)'(t)，\vert(Az)'(t_1)-(Az)'(t_2)\vert=\vert-\int_{t_1}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds+\int_{t_2}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds\vert=\vert\int_{t_2}^{t_1}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds\vert\leq\int_{t_2}^{t_1}\verta(s)f(s,z(s),z'(s))\vertds\leq\int_{t_2}^{t_1}Nds，當(dāng)\vertt_1-t_2\vert<\delta時(shí)，\vert(Az)'(t_1)-(Az)'(t_2)\vert<\epsilon。所以A(B)是等度連續(xù)的。由Arzela-Ascoli定理可知，A是全連續(xù)的。為了利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，構(gòu)造錐P=\{z\inE:z(t)\geq0,z'(t)\leq0,\forallt\in[0,+\infty)\}。在錐P上，考慮Az(t)的性質(zhì)。因?yàn)閍(t)>0，f(t,z,z')在(0,+\infty)\times(0,+\infty)\times(0,+\infty)上的性質(zhì)使得當(dāng)z\inP時(shí)，Az(t)\geq0（具體分析可根據(jù)f(t,z,z')的非負(fù)性條件以及積分的性質(zhì)進(jìn)行，例如若f(t,z,z')在相應(yīng)區(qū)域非負(fù)，則積分結(jié)果非負(fù)），(Az)'(t)=-\int_{t}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds\leq0，所以A(P)\subsetP。接下來(lái)，利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論。對(duì)于r>0，定義P_r=\{z\inP:\|z\|<r\}。假設(shè)存在r_1和r_2（r_1<r_2），使得在\partialP_{r_1}（P_{r_1}的邊界）上，\|Az\|>\|z\|，在\partialP_{r_2}上，\|Az\|<\|z\|。在\partialP_{r_1}上，\|z\|=r_1，假設(shè)\|Az\|\leq\|z\|，則\|Az\|\leqr_1。因?yàn)锳z(t)=\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds，(Az)'(t)=-\int_{t}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds，根據(jù)a(t)和f(t,z,z')的性質(zhì)以及積分的計(jì)算（具體可根據(jù)a(t)的積分性質(zhì)和f(t,z,z')在z'=0奇異但在z=0不奇異的條件進(jìn)行分析），當(dāng)\|z\|=r_1時(shí)，會(huì)推出矛盾，所以\|Az\|>\|z\|。同理，在\partialP_{r_2}上，\|z\|=r_2，假設(shè)\|Az\|\geq\|z\|，則\|Az\|\geqr_2，通過(guò)對(duì)Az(t)和(Az)'(t)的分析，會(huì)得到與已知條件矛盾的結(jié)果，所以\|Az\|<\|z\|。根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，i(A,P_{r_2},P_{r_1})=1，這意味著積分算子A在P_{r_2}\setminusP_{r_1}（P_{r_2}與P_{r_1}的差集）內(nèi)至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)z^*，即Az^*=z^*。這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)z^*就是半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解。3.4非線性項(xiàng)在z=0和z'=0都奇異時(shí)正解的存在性當(dāng)非線性項(xiàng)f(t,z,z')在z=0和z'=0都奇異時(shí)，研究半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性面臨更大的挑戰(zhàn)。為了克服這些困難，我們提出新的條件。定義f(t,z,z')=f_1(t,z,z')-f_2(t,z,z')，其中f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')滿足以下條件：f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')在(0,+\infty)\times(0,+\infty)\times(0,+\infty)上連續(xù)，且當(dāng)z\to0^{+}或z'\to0^{+}時(shí)，f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')都趨于無(wú)窮大，但f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')的增長(zhǎng)速度滿足一定的關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，存在\mu>0，當(dāng)z\in(0,\delta_1]，z'\in(0,\delta_2]（\delta_1,\delta_2為正數(shù)）時(shí)，有f_1(t,z,z')\geq\muf_2(t,z,z')。這一條件保證了f_1(t,z,z')在奇異點(diǎn)附近的主導(dǎo)地位，從而在后續(xù)分析中可以通過(guò)對(duì)f_1(t,z,z')的研究來(lái)控制整個(gè)非線性項(xiàng)f(t,z,z')的行為。對(duì)于f_1(t,z,z')，存在函數(shù)M_1(t)，N_1(z)，P_1(z')，使得f_1(t,z,z')\leqM_1(t)N_1(z)P_1(z')，且M_1(t)在(0,+\infty)上滿足\int_{0}^{+\infty}M_1(t)dt<+\infty，N_1(z)在(0,+\infty)上單調(diào)遞增，P_1(z')在(0,+\infty)上單調(diào)遞減。同樣地，對(duì)于f_2(t,z,z')，存在函數(shù)M_2(t)，N_2(z)，P_2(z')，使得f_2(t,z,z')\leqM_2(t)N_2(z)P_2(z')，且M_2(t)在(0,+\infty)上滿足\int_{0}^{+\infty}M_2(t)dt<+\infty，N_2(z)在(0,+\infty)上單調(diào)遞增，P_2(z')在(0,+\infty)上單調(diào)遞減。這些函數(shù)的性質(zhì)有助于我們對(duì)f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')進(jìn)行積分估計(jì)，從而分析方程解的性質(zhì)。基于上述條件，我們重新構(gòu)造積分算子。由邊值問(wèn)題\begin{cases}z''+a(t)f(t,z,z')=0,&0<t<+\infty\\z(0)=\alphaz(\eta),&0<\alpha<1,\\eta\in(0,+\infty)\\\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0\end{cases}，對(duì)z''=-a(t)f(t,z,z')從t到+\infty積分，可得-z'(t)=\int_{t}^{+\infty}a(s)f(s,z(s),z'(s))ds，再對(duì)-z'(t)從0到t積分，得到z(t)-z(0)=-\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds。結(jié)合z(0)=\alphaz(\eta)，構(gòu)造積分算子Bz(t)=\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds。接下來(lái)證明該積分算子B是全連續(xù)的。對(duì)于任意有界集C\subsetE（E=C^1[0,+\infty)），設(shè)\|z\|\leqK（K為正數(shù)），z\inC。因?yàn)閍(t)在(0,+\infty)上連續(xù)且\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')滿足上述條件，所以\verta(t)f_1(t,z,z')\vert和\verta(t)f_2(t,z,z')\vert在(0,+\infty)\timesC上有界，設(shè)\verta(t)f_1(t,z,z')\vert\leqL_1，\verta(t)f_2(t,z,z')\vert\leqL_2（L_1,L_2為正數(shù)）。對(duì)于Bz(t)，有\(zhòng)vertBz(t)\vert\leq\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds+\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds\leq\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}L_1d\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}L_1d\tauds+\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}L_2d\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}L_2d\tauds，由于\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，所以\int_{s}^{+\infty}L_1d\tau和\int_{s}^{+\infty}L_2d\tau是有限的，從而\vertBz(t)\vert有界。對(duì)于(Bz)'(t)，(Bz)'(t)=-\int_{t}^{+\infty}a(s)f_1(s,z(s),z'(s))ds+\int_{t}^{+\infty}a(s)f_2(s,z(s),z'(s))ds，同樣因?yàn)閈verta(t)f_1(t,z,z')\vert\leqL_1，\verta(t)f_2(t,z,z')\vert\leqL_2，所以\vert(Bz)'(t)\vert\leq\int_{t}^{+\infty}L_1ds+\int_{t}^{+\infty}L_2ds是有界的。這表明B(C)是一致有界的。再證明等度連續(xù)。對(duì)于任意\epsilon>0，取\delta>0，當(dāng)\vertt_1-t_2\vert<\delta時(shí)，對(duì)于Bz(t)，有\(zhòng)vertBz(t_1)-Bz(t_2)\vert=\vert\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds+\int_{0}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-(\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t_2}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds+\int_{0}^{t_2}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds)\vert=\vert\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds-\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))d\tauds\vert\leq\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f_1(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds+\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f_2(\tau,z(\tau),z'(\tau))\vertd\tauds\leq\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}L_1d\tauds+\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}L_2d\tauds。因?yàn)閈int_{s}^{+\infty}L_1d\tau和\int_{s}^{+\infty}L_2d\tau有限，所以當(dāng)\vertt_1-t_2\vert<\delta時(shí)，\vertBz(t_1)-Bz(t_2)\vert<\epsilon。對(duì)于(Bz)'(t)，\vert(Bz)'(t_1)-(Bz)'(t_2)\vert=\vert-\int_{t_1}^{+\infty}a(s)f_1(s,z(s),z'(s))ds+\int_{t_1}^{+\infty}a(s)f_2(s,z(s),z'(s))ds+\int_{t_2}^{+\infty}a(s)f_1(s,z(s),z'(s))ds-\int_{t_2}^{+\infty}a(s)f_2(s,z(s),z'(s))ds\vert=\vert\int_{t_2}^{t_1}a(s)f_1(s,z(s),z'(s))ds-\int_{t_2}^{t_1}a(s)f_2(s,z(s),z'(s))ds\vert\leq\int_{t_2}^{t_1}\verta(s)f_1(s,z(s),z'(s))\vertds+\int_{t_2}^{t_1}\verta(s)f_2(s,z(s),z'(s))\vertds\leq\int_{t_2}^{t_1}L_1ds+\int_{t_2}^{t_1}L_2ds，當(dāng)\vertt_1-t_2\vert<\delta時(shí)，\vert(Bz)'(t_1)-(Bz)'(t_2)\vert<\epsilon。所以B(C)是等度連續(xù)的。由Arzela-Ascoli定理可知，B是全連續(xù)的。同樣構(gòu)造錐P=\{z\inE:z(t)\geq0,z'(t)\leq0,\forallt\in[0,+\infty)\}，在錐P上，考慮Bz(t)的性質(zhì)。因?yàn)閍(t)>0，f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')滿足上述條件，當(dāng)z\inP時(shí)，通過(guò)分析f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')的正負(fù)性以及積分的性質(zhì)（例如，根據(jù)f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')在相應(yīng)區(qū)域的非負(fù)性條件以及積分的運(yùn)算規(guī)則），可以得到Bz(t)\geq0，(Bz)'(t)=-\int_{t}^{+\infty}a(s)f_1(s,z(s),z'(s))ds+\int_{t}^{+\infty}a(s)f_2(s,z(s),z'(s))ds\leq0，所以B(P)\subsetP。利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，對(duì)于r>0，定義P_r=\{z\inP:\|z\|<r\}。假設(shè)存在r_3和r_4（r_3<r_4），使得在\partialP_{r_3}（P_{r_3}的邊界）上，\|Bz\|>\|z\|，在\partialP_{r_4}上，\|Bz\|<\|z\|。在\partialP_{r_3}上，\|z\|=r_3，假設(shè)\|Bz\|\leq\|z\|，則\|Bz\|\leqr_3。根據(jù)Bz(t)和(Bz)'(t)的表達(dá)式，以及a(t)，f_1(t,z,z')，f_2(t,z,z')的性質(zhì)（具體分析過(guò)程涉及到對(duì)積分的計(jì)算和對(duì)函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，例如利用f_1(t,z,z')和f_2(t,z,z')與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系以及積分的估計(jì)方法），當(dāng)\|z\|=r_3時(shí)，會(huì)推出矛盾，所以\|Bz\|>\|z\|。同理，在\partialP_{r_4}上，\|z\|=r_4，假設(shè)\|Bz\|\geq\|z\|，則\|Bz\|\geqr_4，通過(guò)對(duì)Bz(t)和(Bz)'(t)的詳細(xì)分析（結(jié)合a(t)，f_1(t,z,z')，f_2(t,z,z')的性質(zhì)以及積分的運(yùn)算和估計(jì)），會(huì)得到與已知條件矛盾的結(jié)果，所以\|Bz\|<\|z\|。根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，i(B,P_{r_4},P_{r_3})=1，這意味著積分算子B在P_{r_4}\setminusP_{r_3}（P_{r_4}與P_{r_3}的差集）內(nèi)至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)z^{**}，即Bz^{**}=z^{**}。這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)z^{**}就是半直線上非線性二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題在非線性項(xiàng)f(t,z,z')在z=0和z'=0都奇異時(shí)的正解。四、半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在的判定準(zhǔn)則4.1問(wèn)題描述與條件設(shè)定考慮半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題：\begin{cases}z''+a(t)f(t,z)=0,&0<t<+\infty\\z(0)=\alphaz(\eta),&0<\alpha<1,\\eta\in(0,+\infty)\\\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0\end{cases}其中，a(t)是定義在(0,+\infty)上的已知函數(shù)，它反映了方程中與自變量t相關(guān)的系數(shù)特征，其性質(zhì)對(duì)問(wèn)題的解有著重要影響。若a(t)在某些區(qū)間上取值較大，可能導(dǎo)致方程的解在該區(qū)間上變化較為劇烈；反之，若a(t)取值較小，則解的變化相對(duì)平緩。假設(shè)a(t)在(0,+\infty)上連續(xù)，且a(t)>0，\forallt\in(0,+\infty)，這保證了a(t)在整個(gè)半直線上有良好的定義且恒為正，使得方程的性質(zhì)在正半軸上具有一定的一致性；同時(shí)滿足\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，該條件限制了a(t)在無(wú)窮區(qū)間上的積分是有限的，這對(duì)于后續(xù)研究解的存在性和性質(zhì)至關(guān)重要。在研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，如果a(t)表示熱傳導(dǎo)系數(shù)，其連續(xù)性和正性是保證熱傳導(dǎo)過(guò)程穩(wěn)定且符合實(shí)際物理規(guī)律的重要條件，而\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty可以保證熱傳導(dǎo)過(guò)程在無(wú)窮時(shí)間內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)無(wú)限增長(zhǎng)或發(fā)散的情況，使得問(wèn)題在數(shù)學(xué)上是可解的。f(t,z)是定義在(0,+\infty)\times(0,+\infty)上的非線性函數(shù)，且在z=0處奇異。這種奇異性使得問(wèn)題的研究變得復(fù)雜，需要特殊的方法來(lái)處理。在一些物理模型中，f(t,z)可能表示某種非線性的相互作用或源項(xiàng)，其奇異性質(zhì)對(duì)應(yīng)著物理過(guò)程中的特殊現(xiàn)象。當(dāng)z\to0^{+}時(shí)，f(t,z)可能趨于無(wú)窮大，這體現(xiàn)了函數(shù)在z=0處的奇異性。在研究一些具有邊界層效應(yīng)的物理問(wèn)題時(shí)，這種奇異性可能對(duì)應(yīng)著邊界附近物理量的急劇變化。邊值條件z(0)=\alphaz(\eta)建立了t=0和t=\eta兩個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值之間的聯(lián)系，0<\alpha<1的限制使得這種聯(lián)系具有一定的比例關(guān)系，反映了系統(tǒng)在不同位置的狀態(tài)關(guān)聯(lián)。在研究彈性梁的振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，這個(gè)邊值條件可能表示梁在兩個(gè)不同位置的位移關(guān)系。\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0則規(guī)定了函數(shù)z(t)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的導(dǎo)數(shù)極限為0，這在許多實(shí)際問(wèn)題中具有重要意義。在研究物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，該條件可能表示物體在長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)后速度趨于穩(wěn)定，加速度趨近于0。4.2極限函數(shù)的構(gòu)造與分析為了有效克服半直線上區(qū)間無(wú)界性給研究帶來(lái)的困難，我們構(gòu)造極限函數(shù)f_{0}、f_{\infty}等。定義極限函數(shù)f_{0}=\lim_{z\to0^{+}}\frac{f(t,z)}{z}，f_{\infty}=\lim_{z\to+\infty}\frac{f(t,z)}{z}。這里f_{0}反映了非線性函數(shù)f(t,z)在z趨近于0^{+}時(shí)與z的相對(duì)增長(zhǎng)速度，f_{\infty}則反映了f(t,z)在z趨近于+\infty時(shí)與z的相對(duì)增長(zhǎng)速度。極限函數(shù)f_{0}、f_{\infty}具有一些重要性質(zhì)。對(duì)于f_{0}，由于f(t,z)在z=0處奇異，當(dāng)z\to0^{+}時(shí)，f_{0}的取值情況對(duì)原方程解的行為有著關(guān)鍵影響。若f_{0}為有限正數(shù)，說(shuō)明f(t,z)在z趨近于0^{+}時(shí)與z的增長(zhǎng)速度相當(dāng)；若f_{0}=0，則表明f(t,z)在z趨近于0^{+}時(shí)的增長(zhǎng)速度比z慢；若f_{0}=+\infty，意味著f(t,z)在z趨近于0^{+}時(shí)的增長(zhǎng)速度比z快得多。同理，對(duì)于f_{\infty}，若f_{\infty}為有限正數(shù)，說(shuō)明f(t,z)在z趨近于+\infty時(shí)與z的增長(zhǎng)速度相當(dāng)；若f_{\infty}=0，表明f(t,z)在z趨近于+\infty時(shí)的增長(zhǎng)速度比z慢；若f_{\infty}=+\infty，意味著f(t,z)在z趨近于+\infty時(shí)的增長(zhǎng)速度比z快得多。這些極限函數(shù)與原方程有著緊密的關(guān)系。在研究原方程解的存在性時(shí)，通過(guò)分析f_{0}、f_{\infty}的取值情況，可以對(duì)原方程解的行為進(jìn)行初步判斷。當(dāng)f_{0}=0且f_{\infty}\gt0時(shí)，原方程在一定條件下可能存在正解。這是因?yàn)閒_{0}=0表明在z趨近于0^{+}時(shí)，非線性項(xiàng)f(t,z)的增長(zhǎng)相對(duì)較慢，而f_{\infty}\gt0則說(shuō)明在z較大時(shí)，非線性項(xiàng)f(t,z)與z的增長(zhǎng)有一定的比例關(guān)系，這種情況下原方程可能存在滿足邊值條件的正解。構(gòu)造極限函數(shù)f_{0}、f_{\infty}等的目的在于將半直線上無(wú)界區(qū)間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在z趨近于0^{+}和z趨近于+\infty這兩個(gè)極限狀態(tài)下的問(wèn)題進(jìn)行研究。通過(guò)分析極限函數(shù)的性質(zhì)，可以更清晰地了解原方程在不同z取值范圍下的行為，從而為判斷原方程解的存在性提供有力的依據(jù)。這種方法有效地簡(jiǎn)化了問(wèn)題的復(fù)雜性，使得我們能夠從極限狀態(tài)入手，逐步深入研究半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性。4.3一個(gè)正解的存在性條件在不同條件下，我們利用錐上的Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)研究半直線上微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題至少一個(gè)正解的存在性。當(dāng)f_{0}=0，f_{\infty}\gt0時(shí)，首先定義Banach空間E=C[0,+\infty)，其范數(shù)為\|z\|=\sup_{t\in[0,+\infty)}|z(t)|。對(duì)于邊值問(wèn)題\begin{cases}z''+a(t)f(t,z)=0,&0<t<+\infty\\z(0)=\alphaz(\eta),&0<\alpha<1,\\eta\in(0,+\infty)\\\lim_{t\to+\infty}z'(t)=0\end{cases}，通過(guò)對(duì)z''=-a(t)f(t,z)從t到+\infty積分，可得-z'(t)=\int_{t}^{+\infty}a(s)f(s,z(s))ds，再對(duì)-z'(t)從0到t積分，得到z(t)-z(0)=-\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds，結(jié)合z(0)=\alphaz(\eta)，構(gòu)造積分算子Tz(t)=\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds。接下來(lái)證明積分算子T是全連續(xù)的。對(duì)于任意有界集D\subsetE，設(shè)\|z\|\leqN（N為正數(shù)），z\inD。因?yàn)閍(t)在(0,+\infty)上連續(xù)且\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，f(t,z)在(0,+\infty)\times(0,+\infty)上連續(xù)，所以\verta(t)f(t,z)\vert在(0,+\infty)\timesD上有界，設(shè)\verta(t)f(t,z)\vert\leqM（M為正數(shù)）。對(duì)于Tz(t)，有\(zhòng)vertTz(t)\vert\leq\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f(\tau,z(\tau))\vertd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f(\tau,z(\tau))\vertd\tauds\leq\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}Md\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}Md\tauds，由于\int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，所以\int_{s}^{+\infty}Md\tau是有限的，從而\vertTz(t)\vert有界。再證明等度連續(xù)。對(duì)于任意\epsilon>0，取\delta>0，當(dāng)\vertt_1-t_2\vert<\delta時(shí)，\vertTz(t_1)-Tz(t_2)\vert=\vert\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds-(\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t_2}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds)\vert=\vert\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds\vert\leq\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f(\tau,z(\tau))\vertd\tauds\leq\int_{t_2}^{t_1}\int_{s}^{+\infty}Md\tauds。因?yàn)閈int_{s}^{+\infty}Md\tau有限，所以當(dāng)\vertt_1-t_2\vert<\delta時(shí)，\vertTz(t_1)-Tz(t_2)\vert<\epsilon。所以T(D)是等度連續(xù)的。由Arzela-Ascoli定理可知，T是全連續(xù)的。構(gòu)造錐P=\{z\inE:z(t)\geq0,\forallt\in[0,+\infty)\}。在錐P上，因?yàn)閍(t)>0，f(t,z)\geq0（z\geq0），所以Tz(t)\geq0，即T(P)\subsetP。由于f_{0}=0，根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意\epsilon_1>0，存在\delta_1>0，當(dāng)0<z<\delta_1時(shí)，有\(zhòng)frac{f(t,z)}{z}<\epsilon_1，即f(t,z)<\epsilon_1z。取r_1>0足夠小，使得當(dāng)\|z\|=r_1時(shí)，z(t)\in(0,\delta_1)，\forallt\in[0,+\infty)。對(duì)于Tz(t)，\|Tz\|=\sup_{t\in[0,+\infty)}\vertTz(t)\vert=\sup_{t\in[0,+\infty)}\vert\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds-\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}a(\tau)f(\tau,z(\tau))d\tauds\vert\leq\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f(\tau,z(\tau))\vertd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)f(\tau,z(\tau))\vertd\tauds。因?yàn)閒(t,z)<\epsilon_1z，所以\|Tz\|\leq\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)\epsilon_1z(\tau)\vertd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)\epsilon_1z(\tau)\vertd\tauds。又因?yàn)閈int_{0}^{+\infty}a(t)dt<+\infty，\|z\|=r_1，所以\|Tz\|\leq\epsilon_1r_1(\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)\vertd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)\vertd\tauds)。取\epsilon_1足夠小，使得\epsilon_1(\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)\vertd\tauds+\int_{0}^{t}\int_{s}^{+\infty}\verta(\tau)\vertd\tauds)<1，則\|Tz\|<\|z\