第十二章自主檢測范圍:分式和分式方程滿分100分限時(shí)40分鐘一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2025湖南懷化期中)下列各式:

,

(x-y),

,

,

.其中分式有

()A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)B解析分式有

,

,共2個(gè),故選B.2.(2025河北邯鄲期末)若分式

的值為0,則x應(yīng)滿足的條件是

()A.x=-2

B.x=2

C.x≠-2

D.x=±2

A

解析依題意得|x|-2=0且x-2≠0,解得x=-2.故選A.3.(2024甘肅中考)計(jì)算:

-

=

()A.2

B.2a-b

C.

D.

A解析原式=

=

=2.故選A.4.(2024河北中考)已知A為整式,若計(jì)算

-

的結(jié)果為

,則A=

()A.x

B.y

C.x+y

D.x-yA解析∵

-

=

,∴

=

+

,∴

=

+

,∴Ax=(x-y)(x+y)+y2,∴Ax=x2,由題意知x≠0,∴A=x.故選A.5.(2024河北石家莊正定期中)若分式

中的x,y都擴(kuò)大為原來的3倍,那么分式的值

()A.擴(kuò)大為原來的9倍

B.擴(kuò)大為原來的3倍C.不變

D.縮小為原來的

C

解析分式中的x,y都擴(kuò)大為原來的3倍,變?yōu)?/p>

=

=

,即x,y都擴(kuò)大為原來的3倍后分式的值不變,故選C.6.(2025河北邯鄲一模)小敏在做數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí),不小心將式子

“

÷*”中除號(hào)后邊的代數(shù)式污染,通過查看答案知,答案為

,則被污染的代數(shù)式*為

()A.

B.

C.

D.

C

解析根據(jù)題意,可得被污染的代數(shù)式*為

÷

=

·(1-a)=

·[-(a-1)]=

,故選C.7.(2025河北石家莊期末)對于實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算“☆”

為a☆b=

.例如:1☆3=

=-

,則方程x☆(-2)=

-1的解是

()A.x=7

B.x=6

C.x=5

D.x=4

C

解析∵x☆(-2)=

-1,∴

=

-1,∴

=

-1,方程兩邊同乘(x-4),得1=2-(x-4),解得x=5,檢驗(yàn):當(dāng)x=5時(shí),x-4≠

0,∴分式方程的解是x=5,故選C.8.瓜達(dá)爾港是中巴共建“一帶一路”重大先行先試項(xiàng)目,為了

增進(jìn)中巴友誼,促進(jìn)全球經(jīng)濟(jì)一體化發(fā)展,我國施工隊(duì)預(yù)計(jì)把

距離港口420km的普通公路升級成同等長度的高速公路,升

級后汽車行駛的平均速度比原來提高50%,行駛時(shí)間縮短2h,

那么汽車原來的平均速度為

()A.80km/hB.70km/h

C.75km/h

D.65km/h

B

解析設(shè)汽車原來的平均速度是xkm/h,則升級后汽車的平均

速度為(1+50%)xkm/h,根據(jù)題意得

-

=2,解得x=70,經(jīng)檢驗(yàn),x=70是原方程的解,且符合題意,即汽車原來的平均速度為70km/h.故選B.二、填空題(每小題5分,共20分)9.(2024江蘇鎮(zhèn)江中考)要使分式

有意義,則x的取值范圍是___________.

x≠2

解析當(dāng)分母x-2≠0,即x≠2時(shí),分式

有意義.故答案為x≠2.10.(2025河南新鄉(xiāng)月考)計(jì)算

·

÷

的結(jié)果是_____.-解析

·

÷

=

·

·

=-

.11.(2024河北保定曲陽期中)若關(guān)于x的分式方程

-1=

無解,則m的值為_________.

3

解析方程兩邊同乘(x-2),得3x-x+2=m+3,∴2x=m+1,∵分式方

程無解,∴x-2=0,解得x=2,把x=2代入整式方程2x=m+1,得4=m+

1,解得m=3.12.我們可以將一些只含有一個(gè)字母且分子、分母

的次數(shù)都為一次的分式變形,轉(zhuǎn)化為整數(shù)或整式與新的分式

的和的形式,其中新的分式的分子中不含字母,如

=

=1+

,

=

=2-

.參考上面的方法,解決問題:(1)將

變形為滿足題意要求的形式:

=_________.(2)若

為正整數(shù),且a也為正整數(shù),則a的值為___________.2或6

a-2-解析

(1)原式=

=

-

=a-2-

.(2)原式=

=

+

=3+

,∵原式的值為正整數(shù),且a為正整數(shù),∴a-1=1或5,解得a=2或6.三、解答題(共40分)13.(8分)解分式方程:(1)

=

+2.(2)

+

=

.解析

(1)方程兩邊同時(shí)乘3(x-3),得2x+9=3(4x-7)+6(x-3),解得x=3,檢驗(yàn):當(dāng)x=3時(shí),3(x-3)=0,所以x=3是方程的增根,原方程無解.(2)方程兩邊同時(shí)乘(x2-4),得(x-2)2-40=(x+2)2,去括號(hào),得x2-4x+4-40=x2+4x+4,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得-8x=40,解得x=-5,檢驗(yàn):當(dāng)x=-5時(shí),x2-4=21≠0,所以x=-5是原分式方程的解.14.(2025河北保定期末)(8分)先化簡

÷

,再從不等式-2<a<3的取值范圍中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)代入求值.解析

÷

=

·

=

.∵-2<a<3且a≠±1,a為整數(shù),∴a可取0或2.當(dāng)a=0時(shí),原式=

=-1.

15.(10分)已知關(guān)于x的分式方程

+

=

.(1)若這個(gè)方程的解是負(fù)數(shù),求m的取值范圍.(2)若這個(gè)方程無解,求m的值.解析分式方程

+

=

,去分母得2(x+2)+mx=3(x-2),整理得(m-1)x=-10.(1)∵原方程的解是負(fù)數(shù),且x≠±2,∴m-1>0,且m-1≠±5,∴m>1且m≠6.(2)當(dāng)m-1≠0時(shí),∵原方程無解,∴m-1=±5,∴m=-4或6.當(dāng)m-1=0時(shí),整式方程無解,故原分式方程無解,此時(shí)m=1.綜上,m=1或-4或6.16.(2025廣東深圳質(zhì)檢)(14分)某商店準(zhǔn)備購買A,B兩種商品,

_______,并且花費(fèi)300元購買A商品和花費(fèi)100元購買B商品

的數(shù)量相等.請先在橫線上補(bǔ)充條件:從“①購買1個(gè)A商品比購買1個(gè)B商

品多花10元”和“②A,B兩種商品各購買1個(gè)共需20元”這

兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充條件后,再解答下列問題.(注:如果

選擇兩個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分)(1)求購買一個(gè)A商品和一個(gè)B商品各需要多少元.(2)商店準(zhǔn)備購買A,B兩種商品共80個(gè),若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍,并且購買A,B兩種商品的總費(fèi)用不低于1000

元且不高于1050元,則該商店有哪幾種購買方案?解析

(1)選①,設(shè)購買一個(gè)B商品需要x元,則購買1個(gè)A商品需

要(x+10)元,根據(jù)題意得

=

,解得x=5,經(jīng)檢驗(yàn),x=5是原方程的解,且符合題意,∴x+10=15.答:購買一個(gè)A商品需要15元,購買一個(gè)B商品需要5元.選②,設(shè)購買一個(gè)B商品需要x元,則購買1個(gè)A商品需要(20-x)元,根據(jù)題意得

=

,解得x=5,