人教新版

九上

數(shù)學(xué)同步課件

2025年秋人教九上數(shù)學(xué)情境課堂教學(xué)課件第二十一章

一元二次方程21.3實(shí)際問題與一元二次方程第3課時(shí)

面積問題

1.能通過構(gòu)建一元二次方程模型解決幾何圖形面積問題.2.能正確分析問題中的數(shù)量關(guān)系，找出可以作為列方程依據(jù)的主要相等關(guān)系.點(diǎn)擊播放視頻觀看上邊視頻，我們了解到了為什么要給字畫進(jìn)行裝裱，那么如何設(shè)計(jì)裝裱的寬度呢？這節(jié)課讓我們一起來學(xué)習(xí)如何利用一元二次方程解決生活中的面積問題.探究

如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27

cm，寬21

cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)？27cm21cm封面長

：封面寬=9：7中央圖形長

：中央圖形寬=9a

：7a中央圖形長×中央圖形寬=分析：封面的長寬之比是27:21＝9:7，中央的矩形的長寬之比也應(yīng)是9:7.設(shè)中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是解：設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，左、右邊襯的寬均為7xcm，則中央的矩形的長為(27-18x)cm，寬為(21-14x)cm.

要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央的矩形的面積是封面面積的四分之三.于是可列出方程整理，得16x2-48x+9=0.解方程，得

，x1≈2.8(不符合題意，舍去)，x2≈0.2.所以上、下邊襯的寬均為_______cm，左、右邊襯的寬均為_______cm.1.81.4思考

如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？請你試一試．27cm21cm解：設(shè)正中央的矩形兩邊長分別為9xcm，7xcm.

依題意得解得

，思考

如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？請你試一試．27cm21cm故上、下邊襯的寬度為:左、右邊襯的寬度為：設(shè)未知數(shù)的方法直接設(shè)元法：題中問什么就設(shè)什么，即直接設(shè)待求量為未知數(shù)，如探究中的第一種設(shè)法.間接設(shè)元法：設(shè)待求量之外的量為未知數(shù)，將待求量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，如探究中的第二種設(shè)法.方法總結(jié)拓展

動(dòng)點(diǎn)問題

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)

A開始沿邊AB向終點(diǎn)

B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t秒．(1)用含t的式子表示△PBQ的面積；思路點(diǎn)撥：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t

秒時(shí)，根據(jù)點(diǎn)

P

，

Q

的運(yùn)動(dòng)方向及運(yùn)動(dòng)速度，可用含

t

的代數(shù)式表示出各線段的長度，從而表示△PBQ的面積.(1)用含t的式子表示△PBQ的面積；解：由題意可得

BQ

＝

2t

，

PB

＝AB-AP＝

5-

t

，0≤

t

≤3，所以S△PBQ＝

×2t×(5-t)=

-t2＋5t

(2)是否存在

t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2？若存在，請求出此時(shí)

t的值；若不存在，請說明理由．解：由(1)可得S△PBQ＝

-t2＋5t=4

整理得：t2-5t+4=0.解得t1=1，t2=4(不符合題意，舍去)答：當(dāng)t=1時(shí)，△PBQ的面積等于4cm2．方法總結(jié)解決幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)問題的方法：(1)審清題意：明確動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)、路線和速度等；(2)表示：用含有時(shí)間t的式子正確表示有關(guān)線段的長度；(3)列出方程：根據(jù)題目中給出的等量關(guān)系(多為圖形的面積)列出方程；(4)求解：解出方程并進(jìn)行驗(yàn)證，舍去不合題意的根.1.(2024西寧)如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個(gè)長60m，寬22m的矩形場地ABCD上，修建一個(gè)小型停車場，陰影部分為停車位所在區(qū)域，兩側(cè)是寬xm的道路，中間是寬2xm的道路．如果陰影部分的總面積是600m2，那么x滿足的方程是()A.

x2－41x＋180=0

B.x2－41x＋225=0C.

x2－41x＋30=0D.

x2－41x－270=0A2.(2024青島)

如圖，某小區(qū)要在長為16m，寬為12m的矩形空地上建造一個(gè)花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為______m.2

分析：設(shè)小路寬為xm，根據(jù)花壇所占面積為空地面積的一半得：(16﹣2x)(12﹣2x)=×12×16，解方程即可得到小路的寬．3.在寬為28m，長為30m的矩形地面上修筑同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為675m2，則這種方案下的道路的寬為多少？點(diǎn)撥：利用“圖形經(jīng)過移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使圖形變成規(guī)則的，列方程就容易些.解得x1=3，x2=55，當(dāng)x=55時(shí)，30–x=-25，不合題意，舍去.∴取x=3.答：道路的寬為3米.解：設(shè)道路的寬為x米.整理，得x2–58x+165=0，(30–x)(28–x)=675，可列方程為4.如圖，老李想用長為70

m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2

m寬的門(建在EF處，另用其他材料)．(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640

m2的羊圈？解：(1)設(shè)矩形ABCD的邊AB＝x

m，則邊BC＝70－2x＋2＝(72－2x)

m，根據(jù)題意，得

x(72－2x)＝640，化簡，得

x2－36x＋320＝0，解得

x1＝16，x2＝20，當(dāng)x＝16時(shí)，72－2x＝72－32＝40；當(dāng)x＝20時(shí)，72－2x＝72－40＝32.答：當(dāng)羊圈的長為40

m，寬為16

m或長為32

m，寬為20

m時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640

m2的羊圈.4.如圖，老李想用長為70

m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2

m寬的門(建在EF處，另用其他材料)．(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640

m2的羊圈？(2)羊圈的面積能達(dá)到650

m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請說明理由．(2)不能.理由如下：由題意，得

x(72－2x)＝650.化簡，得

x2－36x＋325＝0.∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4

<

0，∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．∴羊圈的面積不能達(dá)到650

m2.直接設(shè)元法：題中問什么就設(shè)什么，即直接設(shè)待求量為未知數(shù).