內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟三縣聯(lián)考2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．2．如圖，實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是（

）

A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)3．在中，與邊上的中線長(zhǎng)分別為，，則的面積不可能為（）A． B． C． D．4．物理實(shí)驗(yàn)中，同學(xué)們分別測(cè)量電路中經(jīng)過(guò)甲、乙、丙、丁四個(gè)用電器的電流和它們兩端的電壓，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，在如圖的坐標(biāo)系中依次畫(huà)出相應(yīng)的圖象，根據(jù)圖象及物理學(xué)知識(shí)，可判斷這四個(gè)用電器中電阻最大的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．式子的結(jié)果不可能是（

）A．奇數(shù) B．正數(shù) C．偶數(shù) D．整數(shù)6．設(shè)備每年都需要檢修，該設(shè)備使用年數(shù)n（單位：年，n為正整數(shù)且）與第1年至第n年該設(shè)備檢修支出的費(fèi)用總和y（單位：萬(wàn)元）滿足關(guān)系式，下列結(jié)論正確的是（

）A．從第2年起，每年的檢修費(fèi)用比上一年增加萬(wàn)元B．從第2年起，每年的檢修費(fèi)用比上一年減少萬(wàn)元C．第1年至第5年平均每年的檢修費(fèi)用為萬(wàn)元D．第6年至第10年平均每年的檢修費(fèi)用為萬(wàn)元7．一次團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，某小組6名同學(xué)的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖（有三個(gè)數(shù)據(jù)被遮蓋），則眾數(shù)與中位數(shù)是（）組員ABCDEF平均成績(jī)眾數(shù)中位數(shù)得分7781■80827980■■A．81，81 B．80，81 C．81，80.5 D．80，81.58．如圖，四邊形是正方形，以為邊長(zhǎng)向正方形外作等邊，與相交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．9．如圖，四邊形是矩形，E，F(xiàn)分別為邊，上兩定點(diǎn)，，G為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿的方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接，．設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度相同，且運(yùn)動(dòng)路程均為x，的面積為S，圖是S隨x變化的關(guān)系圖象，連接，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．310．如圖，在中，，，分別平分，，，，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的為（）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題11．計(jì)算的結(jié)果是．12．已知a，b均為實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算：，若，，，，則的值為．13．兩個(gè)日常生活現(xiàn)象如下圖所示．能用“垂線段最短”來(lái)解釋的是（填“A”或“B”）．14．函數(shù)的自變量的取值范圍是．15．某課題組在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)、，在直線上存在點(diǎn)，使得的值最?。夥ǎ鹤鼽c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：（1）幾何應(yīng)用：如圖，等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為，是斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖，中，，，若在、上各取一點(diǎn)、使的值最小，求這個(gè)最小值；（3）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式的最小值．16．等邊中，，D是上一點(diǎn)，沿折疊得到．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為三、解答題17．如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，，，．求證：．18．2023年9月21日，“天宮課堂”第四課在中國(guó)空間站開(kāi)講了，精彩的直播激發(fā)了學(xué)生探索科學(xué)奧秘的興趣．某單位為滿足學(xué)生的需求，充實(shí)物理小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，需要購(gòu)買甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝．經(jīng)了解，每款甲款實(shí)驗(yàn)套裝的零售價(jià)比乙款實(shí)驗(yàn)套裝的零售價(jià)多7元，該單位以零售價(jià)分別用750元和540元購(gòu)買了相同數(shù)量的甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝．(1)甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝每個(gè)的零售價(jià)分別為多少元？(2)由于物理興趣小組人數(shù)增加，該單位需再次購(gòu)買兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝共200個(gè)，且甲款實(shí)驗(yàn)套裝的個(gè)數(shù)不少于乙款實(shí)驗(yàn)套裝的個(gè)數(shù)的一半，由于購(gòu)買量大，甲乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝分別獲得了20元/每個(gè)、15元/每個(gè)的批發(fā)價(jià)．求甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝分別購(gòu)買多少個(gè)時(shí)，所用資金最少．19．計(jì)算：(1)(2)20．閱讀與思考下面是小悅同學(xué)的一篇數(shù)學(xué)周記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．應(yīng)用所學(xué)知識(shí)證明直線對(duì)稱問(wèn)題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)和的圖象，觀察這兩條直線，我發(fā)現(xiàn)它們關(guān)于直線對(duì)稱，如何證明這個(gè)結(jié)論呢？經(jīng)過(guò)思考我想到了兩種方法：設(shè)直線和直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上除點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．方法一：在圖1中作點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，則，（依據(jù)）．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，．．．將代入，得．點(diǎn)在直線上．直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱．

方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．將代入，得．．．．點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱．任務(wù)：(1)小悅周記中得到，的依據(jù)是______；(2)小悅所用方法主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是______；A．公理化思想

B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

C．分類討論思想(3)請(qǐng)你選擇小悅周記中的一個(gè)方法利用圖3證明直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱．21．某校為了解七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)“疫情防護(hù)”安全知識(shí)的掌握情況從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽出50名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試并對(duì)成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析，部分信息如下：．七年級(jí)成績(jī)頻數(shù)分布直方圖如圖（每組成績(jī)包含最低分，不包含最高分）；．七年級(jí)成績(jī)?cè)谶@一組的數(shù)據(jù)如下：7072747576767777777879．七、八年級(jí)成績(jī)平均數(shù)、中位數(shù)如下：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)七年級(jí)76.8八年級(jí)79.279.5根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題．(1)在這次測(cè)試中，七年級(jí)在80分以上（含80分）的有人；(2)表中的值為；(3)在這次測(cè)試中，七年級(jí)學(xué)生甲和八年級(jí)學(xué)生乙的成績(jī)都是78分，則甲、乙兩位學(xué)生在各自年級(jí)的排名更靠前；(4)該校七年級(jí)學(xué)生有600人，假設(shè)全部參加此次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)學(xué)生成績(jī)不低于80分的人數(shù)．22．如圖，在正方形中，與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M．

(1)求證：；(2)求證：；(3)當(dāng)時(shí)，求的值．23．已知，四邊形中，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖（1），易證：．當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖（2）和圖（3）中這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．參考答案1．B解：，故A不符合題意；，故B符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選B2．B解：∵，∴，∴實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是點(diǎn)；故選B．3．D解：如圖，根據(jù)題意，為邊上的中線，過(guò)A作于M，

由垂線段最短知，，∴，∴，∴的面積不可能為．故選：D．4．C解：根據(jù)圖象，得，又，故．故選：C．5．A解：．則1012不可能是奇數(shù)．故選：A．6．D由題意得，前n年支出總費(fèi)用為萬(wàn)元，前年支出總費(fèi)用為：萬(wàn)元；前年支出總費(fèi)用為：萬(wàn)元；易知，前n年和前年差值為萬(wàn)元，前年和年差值為萬(wàn)元，故第二年起，每年檢修費(fèi)比上一年保持不變，故A,B錯(cuò)誤；第一到第五年總支出費(fèi)用為萬(wàn)元，故平均每年檢修費(fèi)用為萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤．年總支出為萬(wàn)元，年總支出為萬(wàn)元，所以年平均每年檢測(cè)費(fèi)用為萬(wàn)元，故D正確．故選D．7．C解：C的得分為：，這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是81，共出現(xiàn)2次，因此眾數(shù)是81，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，中位數(shù)的第3、第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)，則中位數(shù)是；故選：C．8．B解：∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，故選：B9．A解：根據(jù)函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，，，則點(diǎn)到的距離為，，，當(dāng)時(shí)，，，必須與垂直，根據(jù)函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，的面積S與成一次函數(shù)，時(shí)，點(diǎn)到的距離不變，點(diǎn)的位置如圖所示，，，當(dāng)時(shí)，的面積為，，，，，四邊形為矩形，，，故選：A．10．C解：∵∴，，∵平分∴∵平分，，∴．∵，∴∴，故①錯(cuò)誤；∵平分，∴，∵，∴，即，∴，∵∴∴，故②正確；∵BD平分，∴∵，∴，故③正確；過(guò)點(diǎn)D作于N，于G，于H，如圖，

∵平分，，，∴∵平分，，，∴∴∴為外角的平分線，∴∵，∴∵∴，∵，∴，∵，∴即，故④正確．故選：C．11．3解：，故答案為：312．2解：，，，，∴，故答案為：2．13．A解：A：跳遠(yuǎn)測(cè)量需要測(cè)量出腳印到起跳線的最短距離，故符合題意；B：道路改到是應(yīng)用的兩點(diǎn)直線，線段最短，故不符合題意；故選：A．14．/解：依題意有，解得．故答案為：15．5（1）解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交AC于點(diǎn)P，連接∵點(diǎn)B和點(diǎn)關(guān)于AC對(duì)稱，∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，∴在△中，∠=90°，∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴AE=，∴，∵PB=，∴=+PE=，故答案為：．（2）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接交AC于點(diǎn)O，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，⊥AC，∵，，∠AOB=90°，∴BO=，∠=60°，∴=2BO=2，在Rt△中，∠=60°，∴∠=30°，∴NB=，∴，∵BM=，∴=+MN=，故答案為：．（3）如圖，構(gòu)造圖形，點(diǎn)P是AB邊上一點(diǎn)，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接交AB于點(diǎn)P，延長(zhǎng)DB，過(guò)點(diǎn)作⊥BD，垂足為O，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，AC==1，CP=，∵AB=4，=1，∴=4，BO==1，∴DO=3，在Rt△中，，∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，∴，，∵CP+DP=+DP==5，∴的最小值為5．故答案為：5．16．或解：折疊性質(zhì)可知：，當(dāng)在外部時(shí)，如圖1，∵在等邊中，，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作，垂足為H，∴，，∴，設(shè)，則，∴∵，∴，∴，∴.當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖2，∵在等邊中，，∴，∴，∴過(guò)點(diǎn)作，垂足為，同理可求，故，故答案為：或.17．見(jiàn)解析證明：，．即．，，．18．(1)甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝每個(gè)的零售價(jià)分別為25元，18元(2)甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝分別購(gòu)買67個(gè)，133個(gè)時(shí)，所用資金最少（1）解：設(shè)乙款物理實(shí)驗(yàn)套裝的零售價(jià)每個(gè)為x元，由題意得：解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，∴答：甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝每個(gè)的零售價(jià)分別為25元，18元．（2）設(shè)購(gòu)買甲款物理實(shí)驗(yàn)套裝m個(gè)，則購(gòu)買乙款物理實(shí)驗(yàn)套裝個(gè)，所用金額為y元，由題意得：解得：，∵，∴y隨m的增大而增大，∴時(shí)，y取最小值，此時(shí)（個(gè)），答：甲、乙兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝分別購(gòu)買67個(gè)，133個(gè)時(shí)，所用資金最少．19．(1)1(2)（1）解：，，．（2）解：，，．20．(1)軸對(duì)稱的性質(zhì)(2)B(3)見(jiàn)解析（1）解：由題意得，小悅周記中得到，的依據(jù)是軸對(duì)稱的性質(zhì)，故答案為：軸對(duì)稱的性質(zhì)；（2）解：由題意得，小悅所用方法主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：B．（3）解：方法一：如圖所示，在直線上取一點(diǎn)異于A點(diǎn)的，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于D，∴由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，∴，∴，在中，當(dāng)時(shí)，，∴在直線上，∴直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱；方法二：如圖所示，在直線上取一點(diǎn)異于A點(diǎn)的，過(guò)點(diǎn)C作直線的垂線，垂足為D，交直線于，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，把代入中得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱．21．(1)23(2)77.5(3)甲(4)276（1）解：在這次測(cè)試中，七年級(jí)在80分以上（含80分）的人數(shù)有（人；故答案為：23；（2）解：七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)（分；故答案為：77.5；（3）解：七年級(jí)學(xué)生甲的成績(jī)更靠前，因?yàn)槠吣昙?jí)學(xué)生甲的成績(jī)大于其中位數(shù)；故答案為：甲；（4）解：（人，答：估計(jì)七年級(jí)學(xué)生成績(jī)不低于80分的人數(shù)為276人．22．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)．（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，；（2）證明：如圖①，連接、，

四邊形是正方形，∴，，，，，，、分別是和的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，∴，，，，，，，由（1）可知，，，，，，，∴，為的中點(diǎn)，