第頁考點06函數(shù)的概念1、判斷所給的對應關系是否為函數(shù)的方法(1)先觀察兩個數(shù)集A，B是否非空；(2)驗證對應關系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．注：①函數(shù)的定義要求第一個非空數(shù)集A中的任何一個元素在第二個非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素．②構成函數(shù)的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同．同一函數(shù)需滿足定義域和對應關系均相同2、根據(jù)圖形判斷對應關系是否為函數(shù)的步驟(1)任取一條垂直于x軸的直線l；(2)在定義域內(nèi)平行移動直線l；③若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．3、判斷兩個函數(shù)為同一個函數(shù)應注意的三點(1)定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一個函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個函數(shù)．(2)函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．(3)在化簡解析式時，必須是等價變形．4、求函數(shù)定義域要滿足的原則(1)若f(x)是分式，則應考慮使分母不為零；(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零；(3)零次冪：中底數(shù)；(4)若f(x)是由幾個式子構成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集；(5)若f(x)是實際問題的解析式，則應符合實際問題，使實際問題有意義．5、已知函數(shù)的定義域，求參數(shù)范圍問題需運用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，常轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決．不等式的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當時，；當時，；不等式的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當時，；當時，．6、求函數(shù)值的方法(1)先要確定出函數(shù)的對應關系f的具體含義；(2)然后將變量取值代入解析式計算，對于f(g(x))型函數(shù)的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進行，要注意f(g(x))與g(f(x))的區(qū)別．7、求函數(shù)值域的常用方法(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；(2)配方法：此法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法；(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；(4)換元法：即運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．考點一函數(shù)定義的理解1．【多選】下列各圖中，可能是函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．【解析】B選項，時每一個x的值都有兩個y值與之對應，不是函數(shù)圖象，B錯誤，其他選項均滿足函數(shù)的概念，是函數(shù)的圖象．故選：ACD．2．若函數(shù)的定義域為，值域為，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．【解析】選項A中，當時，，不符合題意，排除A；選項C中，存在一個x對應多個y值，不是函數(shù)的圖象，排除C；選項D中，x取不到0，不符合題意，排除D.故選：B.3．函數(shù)與軸的交點個數(shù)為（

）A．至少1個 B．至多一個C．有且只有一個 D．與有關，不能確定【解析】由函數(shù)定義可知，定義域包含時，則與軸有1個交點，當定義域不包含時，則與軸無交點，所以函數(shù)與軸的交點個數(shù)為0個.故選：B考點二同一個函數(shù)的判斷4．中文“函數(shù)（function）”一詞，最早是由近代數(shù)學家李善蘭翻譯出來的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．與C．與 D．，【解析】對于A，函數(shù)定義域是R，定義域是，A不是；對于B，函數(shù)定義域是R，定義域是Z，B不是；對于C，函數(shù)定義域R，定義域是R，與的對應法則相同，C是；對于D，函數(shù)定義域是，定義域是，D不是.故選：C5．下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．，B．，C．，D．，【解析】由題意得：對于選項A：的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：的定義域為，的定義域為，這兩函數(shù)的定義域相同，且對應關系也相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；對于選項D：的定義域為，的定義域為或，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故D錯誤.故選：C6．【多選】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．f(t)=t2與g(x)=x2 B．f(x)=x+2與g(x)=C．f(x)=|x|與g(x)= D．f(x)=x與g(x)=2【解析】A選項，與定義域都為，定義域、解析式均相同，是同一函數(shù)；B選項，的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)；C選項，，與定義域、解析式均相同，是同一函數(shù)；D選項，的定義域為，，定義域為兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù).故選：AC7．和函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【解析】的定義域為，值域為，對于A，與的對應法則不同，故不是同一個函數(shù)；對于B，的值域為，故不是同一個函數(shù)；對于C，的定義域為，故不是同一個函數(shù)；對于D,，故與是同一個函數(shù).故選：D考點三求函數(shù)的定義域求具體函數(shù)的定義域8．函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【解析】由，得且，所以函數(shù)的定義域為，故選：B.9．函數(shù)的定義域為________．【解析】由，得，，解得，所以函數(shù)的定義域為故答案為：10．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【解析】由題設可得：，故，故選：D.11．函數(shù)的定義域是___________.【解析】要使函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：12．函數(shù)的定義域是______．【解析】由二次根式的定義可知：，所以該函數(shù)的定義域為：，故答案為：13．已知集合A為函數(shù)的定義域，集合，．(1)用區(qū)間表示集合A；(2)從下面的三個條件中任選其中一個：①；②；③，求解實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)根據(jù)被開方數(shù)的范圍得，解得，用區(qū)間表示；(2)由于．若選①，，則只需，則；若選②，，則只需，得，則；若選③，，只需，則．求抽象函數(shù)的定義域14．已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B．C． D．【解析】依題意函數(shù)的定義域為，，所以，解得或，所以的定義域為.故選：B15．已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【解析】∵函數(shù)的定義域為，∴，則，即的定義域為，由，得，∴的定義域是，故選：A16．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．17．已知f(x)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【解析】因f(x)的定義域是，則在中有：，解得且，所以函數(shù)的定義域是.答案：B18．已知函數(shù)的定義域為．(1)求的定義域；(2)對于（1）中的集合，若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）∵的定義域為，∴．∴，則．（2）令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值為，∴實數(shù)的取值范圍是．逆用函數(shù)的定義域19．（1）若函數(shù)在區(qū)間上有意義，則實數(shù)的取值范圍為______；（2）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值為______．【解析】（1）由題意知：當時，恒成立；當時，恒成立，滿足題意；當時，設，由一次函數(shù)性質(zhì)知：，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.（2）由題意知：的解集為；當時，顯然不合題意；當時，的解集為，，解得：.綜上所述：實數(shù)的值為.故答案為：；.20．若函數(shù)的定義域為，則的范圍是__________.【解析】依題意，，成立，當時，成立，即，當時，，解得，因此得，所以的范圍是.故答案為：21．若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是__________.【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，對任意的，恒成立.①當時，則有，合乎題意；②當時，由題意可得，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.22．已知函數(shù)(1)若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當時，解關于x的不等式．【解析】（1）由題設，令，由的定義域為R，∴，可得.∴a的取值范圍為.（2）由題意，，當，即時，解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為；實際問題中的定義域23．已知一等腰三角形的周長為12，則將該三角形的底邊長y（單位：）表示為腰長x（單位：）的函數(shù)解析式為___________.（請注明函數(shù)的定義域）【解析】根據(jù)題意得，由三角形兩邊之和大于第三邊得，所以，即，又因為，解得，所以該三角形的底邊長y（單位：）表示為腰長x（單位：）的函數(shù)解析式為故答案為：24．周長為定值a的矩形，它的面積S是這個矩形的一邊長x的函數(shù)，則這個函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【解析】依題意知，矩形的一邊長為x，則該邊的鄰邊長為，由得，故這個函數(shù)的定義城是.故選：D25．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬為2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°．（無水狀態(tài)不考慮）(1)試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數(shù)；(2)確定函數(shù)的定義域和值域；(3)畫出函數(shù)的圖象．【解析】（1）依題意，水深(m)的灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，其下底為2m，上底為(2+2h)m，高hm，于是得水的面積為(m2)，所以，()．（2）由(1)知，函數(shù)的定義域是，顯然在上A(h)隨h增大而增大，，，所以函數(shù)的定義域為，值域為．（3）由(2)知，是二次函數(shù)，其圖象對稱軸，頂點為，而，于是得函數(shù)()的圖象是拋物線的一部分，如圖所示.考點四求函數(shù)值26．已知，則______．【解析】因為，所以，故答案為：6.27．已知，則（

）A． B． C． D．【解析】，，，故選：B28．已知函數(shù)的定義域和值域都是集合，其定義如表所示，則____________．x012012【解析】由表可知，.故答案為：.29．已知函數(shù).(1)求的定義域和的值；(2)當時，求，的值.【解析】(1)由，則定義域為，且.(2)由，結合（1）知：，有意義.所以，.30．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且.(1)求的值；(2)若，解不等式.【解析】(1)令則有.(2)∵∴，則可化為，即則，∵在上單調(diào)遞增∴，解得.即不等式的解集為.考點五求函數(shù)的值域（一）求函數(shù)的值域（1）觀察法31．函數(shù)的值域是______.【解析】，，故答案為32．下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．【解析】對于,，故A不正確；對于，，故B正確;對于，故C不正確；對于，，故D不正確；故選：B33．【多選】下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．【解析】A.函數(shù)的值域為，所以該選項不符合題意；B.因為，所以函數(shù)的值域為，所以該選項符合題意；C.因為，所以函數(shù)的值域為，所以該選項符合題意；D.函數(shù)的值域為，所以該選項不符合題意.故選：BC（2）配方法34．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【解析】，解得或，所以.，所以.所以.故選：B35．函數(shù)的值域是_________.【解析】由題意：函數(shù)，開口向上，對稱軸，畫出函數(shù)如下，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.故答案為：36．函數(shù)的定義域是__________，值域是__________.【解析】對于函數(shù)，有，即，解得，且.因此，函數(shù)的定義域為，值域為.故答案為：；.37．函數(shù)的值域為________.【解析】由題得且.因為,且.所以原函數(shù)的值域為.故答案為：38．函數(shù)y＝的值域是________.【解析】通過配方可得函數(shù)，，故0＜y≤8.故函數(shù)y＝的值域為(0,8].（3）分離常數(shù)法39．若函數(shù)的值域是____.【解析】，，函數(shù)的值域是：.故答案為：40．函數(shù)的值域是__________．【解析】，因為，所以，所以，所以，故答案為：41．函數(shù)，的最大值為__________．【解析】因為在上單調(diào)遞減，所以故答案為342．【多選】世界公認的三大著名數(shù)學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學王子”美譽的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知，，則函數(shù)的值可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】，當時，，，，此時的取值為1；當時，，，，此時的取值為2，3．綜上，函數(shù)的值可能為．故選：BCD．（4）換元法43．函數(shù)的值域為___________．【解析】因為，令，則，則，所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域為；故答案為：44．求函數(shù)的值域．【解析】令，則．∴原函數(shù)可化為．∵當，即時，；且原函數(shù)無最小值．故原函數(shù)的值域為．45．求函數(shù)的值域______．【解析】令，則，所以．又，所以，即函數(shù)的值域是．故答案為：.判別式法46．求函數(shù)的值域.【解析】因為，所以當時，；當時，原函數(shù)化為，所以，整理得，解得即或，∴綜上，函數(shù)的值域為.47．求函數(shù)的值域______________．【解析】由解析式知：函數(shù)的定義域為，且，∴整理可得：，即該方程在上有解，∴當時，，顯然成立；當時，有，整理得，即，∴綜上，有函數(shù)值域為.故答案為：.基本不等式法48．求下列函數(shù)的最值.(1)的最大值.(2)的最大值.【解析】（1），當且僅當，即時取等號，所以的最大值是.（2）設，則，，當且僅當，即，即時，等號成立.故的最大值為.49．求函數(shù)的值域.【解析】，因，即，則，當且僅當，即時等號成立，于是得，所以原函數(shù)的值域為.50．求函數(shù)的值域？若是求的值域呢？【解析】（1）由題意得，此式可看成是關于的方程在上有解，故得，整理可得在上有解當時，；當時，，得；綜上所述：（2），在單調(diào)遞增，，值域.單調(diào)性法51．函數(shù)的值域為__________．【解析】，由，得，因為在上單調(diào)遞增，所以，即的值域為.故答案為：52．函數(shù)的值域為_______________．【解析】因為，所以此函數(shù)的定義域為，又因為是減函數(shù)，當當所以值域為故答案為：．53．已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求在區(qū)間上的值域．【解析】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：，且，有．因為，且，所以，．于是，即．故在區(qū)間上單調(diào)遞增．(2)由第（1）問結論可知，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增,，，．所以在區(qū)間上的值域為．（二）逆用函數(shù)的值域54．若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】當時，，即值域為，滿足題意；若，設，則需的值域包含，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故選：C.55．已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由于函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域包含.當時，，此時函數(shù)的值域為，合乎題意；當時，，要使得二次函數(shù)的值域包含.則，解得或.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.56．若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】，當時，；當或時，.因此當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.57．若函數(shù)的定義域和值域都是，則（

）A．1 B．3 C． D．1或3【解析】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，且定義域和值域都是，所以，，解得或（舍），故選：B58．已知函數(shù)具有以下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍是_______