第頁江門市2025年普通高中高二調(diào)研測試（一）數(shù)學(xué)（理科）2025.1參考答案及解析一、選擇題：1．A【解析】M＝{x|－1≤x≤4}，N＝{x|x2―x―6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，∴M∩N＝{x|3＜x≤4}，故選A.2．B【解析】由題意，知a＋b＝(－2，2，1)，∴|a＋b|＝eq\r((－2)2＋22＋12)＝3，故選B.3．D【解析】等差數(shù)列{an}中，a1，a3，a5也成等差數(shù)列，由a1＝1，a3＝5，得a5＝9，故選D.4．B【解析】拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F(eq\f(1,2)，0)，準(zhǔn)線為直線l：x＝－eq\f(1,2)，點(diǎn)F到直線l的距離為1，故選B.5．D【解析】在△ABD中，由中位線定理得EF＝eq\f(1,2)BD，∴EF·BC＝eq\f(1,2)BD·BC＝eq\f(1,2)|BD||BC|cos60°＝eq\f(1,4)a2，故選D.6．B【解析】A：①當(dāng)x＞1時，lgx＞0，則lgx＋eq\f(1,lgx)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)lgx＝eq\f(1,lgx)，即x＝10時取“＝”；②當(dāng)0＜x＜1時，lgx＜0，lgx＋eq\f(1,lgx)＝－[(－lgx)＋(eq\f(1,－lgx))]≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)－lgx＝eq\f(1,－lgx)，即x＝eq\f(1,10)時取“＝”；綜合①②所述，A選項(xiàng)錯誤.B：當(dāng)x＞0時，eq\r(x)＞0，則eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))，即x＝1時取“＝”；B選項(xiàng)正確.C：當(dāng)x＞0時，ex＞1，則ex＋eq\f(1,ex)＞2，故C選項(xiàng)錯誤.D：函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)增，則在(0，2]上有最大值f(2)＝eq\f(3,2)，故錯誤.7．C【解析】由a，b，c成等比數(shù)列，得b2＝ac且b≠0，則Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2＜0，所以函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c8．C【解析】設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(y2,－λ)－eq\f(x2,－2λ)＝1（焦點(diǎn)在y軸上），由題意，得(－λ)＋(－2λ)＝36，解得λ＝－12，∴所求雙曲線的方程為eq\f(y2,12)－eq\f(x2,24)＝1，故選C.【注意】本題要注意要對焦點(diǎn)位置進(jìn)行討論，否則會錯選D；當(dāng)然也可以直接用雙曲線的定義進(jìn)行求解.9．D【解析】由正弦定理，得sinA·cosA＝sinB·cosB，∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).則△ABC是等腰三角形或直角三角形，故選D.10．C【解析】由“關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋a＜0的解集為R”得，eq\s(a＜0,Δ＝4－4a2＜0)，解得a＜－1，∴“a＜－1”是“關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋a＜0的解集為R”的充要條件，故選C.11．A【解析】設(shè)甲，乙，丙，丁，戊所得的錢數(shù)分別為a1，a2，a3，a4，a5，且組成公差為d的等差數(shù)列，此數(shù)列的前5項(xiàng)和為S5，由題意，得S5＝5.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得S5＝5a3，∴a3由題意，得a1＋a2＝a3＋a4＋a5，即2a1＋d＝1＋2a1＋7由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1＋a5＝2a3，即2a1＋4聯(lián)立①②，得a1＝eq\f(4,3)，即甲所得為eq\f(4,3)錢，故選A.12．D【解析】設(shè)P(x1，x12－1)，Q(x2，x22－1)，則有AP＝(x1＋1，x12－1)，PQ＝(x2－x1，x22－x12)由PA⊥PQ，得AP·PQ＝0，∴(x1＋1)(x2－x1)＋(x12－1)(x22－x12)＝0∴(x1＋1)(x2－x1)＋(x1＋1)(x1－1)(x2－x1)(x2＋x1)＝0∴1＋(x1－1)(x2＋x1)＝0∴x2＝－(eq\f(1,x1－1)＋x1－1)―1①當(dāng)x1＞1時，x2＝－(eq\f(1,x1－1)＋x1－1)―1≤－3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,x1－1)＝x1－1，即x1＝2時，取“＝”；②當(dāng)x1＜1時，x2＝－(eq\f(1,x1－1)＋x1－1)―1≥1，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,x1－1)＝x1－1，即x1＝0時，取“＝”；綜合①②所述，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)x2的取值范圍是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故選D.二、填空題：13．14．eq\f(4,5)【解析】由題意，得a1＝－eq\f(1,4)，a2＝5，a3＝－eq\f(4,5)，a4＝－eq\f(1,4)，易觀察，得an＋3＝an，∴a2025＝a672×3＝a3＝－eq\f(4,5).15．4【解析】由題意，得x，y的線性約束條件為eq\s(0≤x≤2,y－2≤0,x－y≤1)，其表示區(qū)域如右圖陰影部分所示.易觀察，陰影部分面積及正方形OABC的面積相等，則其面積為2×2＝4.16．eq\f(\r(10),10)【解析】以D1為原點(diǎn)，D1A、D1C1、D1D方向分別為x軸、y軸、z軸建系，不妨假設(shè)AD＝2，則A(2，0，2)，C(0，2，2)，C1(0，2，0)，E(0，1，2)，∴AC＝(－2，2，0)，C1E＝(0，－1，2).∴cos<AC，C1E>＝eq\f(AC·C1E,|AC||C1E|)＝eq\f(－2,2\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10)，故異面直線AC及C1E所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).三、解答題：【注意】（Ⅰ）中當(dāng)cosC＝0時，cosC不能被約掉，故要討論這種情況；而題目沒有注明△ABC是什么三角形，故C可為銳角或鈍角；（Ⅱ）中由于c＜a，由大邊對大角可知C的大小只能是eq\f(π,6).（Ⅱ）【另寫法】令g(a)＝(x2―x)a―x＋1，（變換主元法）原題意等價(jià)于g(a)＝(x2―x)a―x＋1＞0對任意的a∈[－1，1]恒成立只要滿足eq\s(g(－1)＝－x2＋1＞0,g(1)＝x2－2x＋1＞0)即可，解得－1＜x＜1，即x的取值范圍是(－1，1).（Ⅱ）【法二】由題意知，直線AB的斜率必定存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋2（k≠0），即x＝eq\f(1,k)(y－2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB交x軸于點(diǎn)P，則P(－eq\f(2,k)，0)，其草圖如右所示.聯(lián)立直線AB及橢圓C，得eq\s(x2＋2y2＝2,x＝eq\f(1,k)(y－2))，消去x，得(2k2＋1)y2－4y＋4－2k2＝0令Δ＝16＋4(2k2＋1)(2k2－4)＞0，得k2＞eq\f(3,2)，由韋達(dá)定理，得y1＋y2＝eq\f(4,2k2＋1)，y1y2＝eq\f(4－2k2,2k2＋1),∴|y1－y2|＝eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝|k|eq\r(\f(8(2k2－3),(2k2＋1)2))