§11.1概述

§11.2兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力§11.3桿端約束的影響§11.4臨界應(yīng)力曲線§11.5提高壓桿承載能力的措施壓桿穩(wěn)定11.1概述壓桿：若一桿件因受軸向力而沿著軸線方向產(chǎn)生壓縮，這類(lèi)桿件稱為壓桿。壓桿的概念建筑施工-模板支架（壓桿）工程實(shí)例壓桿的概念工程實(shí)例建筑結(jié)構(gòu)中的柱子（壓桿）柱子柱子柱子柱子壓桿的概念桁架結(jié)構(gòu)中的壓桿工程實(shí)例液壓機(jī)構(gòu)中的壓桿液壓桿液壓桿壓桿壓桿壓桿穩(wěn)定的概念問(wèn)題的提出例：一長(zhǎng)為150mm的鋼板尺，橫截面尺寸為

19mm

1mm。鋼的許用應(yīng)力[]=196MPa。實(shí)際桿只能承受F<40N結(jié)論：鋼尺的承載能力并不取決于軸向壓縮的抗壓強(qiáng)度，而取決于鋼尺受壓時(shí)能否保持直線形態(tài)的平衡。

按強(qiáng)度條件計(jì)算得鋼板尺所能承受的軸向壓力理想壓桿理想壓桿：假設(shè)壓桿由均質(zhì)材料制成、軸線為直線且外加壓力的作用線與壓桿軸線重合，這種理想中心受壓直桿力學(xué)模型，簡(jiǎn)稱為理想壓桿。

細(xì)長(zhǎng)壓桿彎曲原因(缺陷)：在桿件軸向受壓變形過(guò)程中，往往伴隨著橫向彎曲。幾何缺陷：實(shí)際壓桿的軸線存在著初始曲率。荷載缺陷：作用在桿件上的外力作用線一般也不與桿件的軸線恰好相重合。材料缺陷：桿件的材料不可能達(dá)到理想的均勻性。理想壓桿的穩(wěn)定性當(dāng)F

較小時(shí)(F<Fcr)撤去橫向力FQ穩(wěn)定的當(dāng)F

較大時(shí)(F≥Fcr)撤去橫向力FQ不穩(wěn)定的小大F臨界壓力Fcr臨界壓力：理想壓桿在直線形態(tài)下的平衡，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定平衡時(shí)所受軸向壓力的臨界值稱為臨界壓力，記作Fcr。失穩(wěn)（曲屈）：理想壓桿當(dāng)軸向力F≥Fcr時(shí),外界微小擾動(dòng)將使壓桿產(chǎn)生彎曲變形，而且擾動(dòng)去除后壓桿不能回到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)的現(xiàn)象。理想壓桿的穩(wěn)定性穩(wěn)定性：理想壓桿的穩(wěn)定性是指壓桿保持直線平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。（當(dāng)F<Fcr時(shí)，壓桿處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)F≥Fcr時(shí)，壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。）壓桿失穩(wěn)事故

2005年9月5日晚10時(shí)10分左右，北京西西工程4號(hào)地模板支架在澆筑時(shí)整體垮塌，造成8死21傷重大安全事故。壓桿失穩(wěn)事故

2011年6月28日19時(shí)10分許，昆明新機(jī)場(chǎng)飛行區(qū)貨運(yùn)汽車(chē)通道東延長(zhǎng)段頂板在混凝土澆筑過(guò)程中支撐失穩(wěn)，造成11人受傷。11.2兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力一、壓桿臨界力計(jì)算模型

理想細(xì)長(zhǎng)壓桿，兩端球鉸支承，臨界力Fcr作用，橫向干擾力FQ去除后保持微彎平衡狀態(tài)，失穩(wěn)后材料仍然保持線彈性狀態(tài)，如圖（a）所示。

二、壓桿臨界力兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力

取分離體如圖(b)所示，任一x截面上沿y方向的位移為y(x)，該截面上的彎矩：

梁的撓曲線近似微分方程為(1)(2)式(1)代入式(2)，得(3)——壓桿微彎彈性曲線的微分方程。兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力二、壓桿臨界力壓桿微彎彈性曲線的微分方程(3)令代入式(3)二階常系數(shù)線性微分方程(4)通解為(5)A，B為待定常數(shù)，由撓曲線的邊界條件確定。(6)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力二、壓桿臨界力邊界條件：(6)邊界條件代入式(6)(7)(8)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力二、壓桿臨界力(8)

若A

=0，則與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)不符，因此可得：由式(4)

得(9)(10)(11)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力二、壓桿臨界力臨界壓力(n=1)：——臨界力的歐拉公式撓曲線方程：

假設(shè)壓桿中點(diǎn)處(x=l/2)最大撓度為δ，彈性失穩(wěn)撓曲線方程為：(12)(13)(14)——半波正弦曲線思考：最大撓度為δ

能否確定？?jī)啥算q支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力二、壓桿臨界力臨界力歐拉公式：(12)說(shuō)明：1、此公式是兩端鉸支理想細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界軸力計(jì)算公式；2、當(dāng)壓桿端部各個(gè)方向的約束相同時(shí)，I

取為壓桿橫截

面的最小形心主慣性矩，即I＝Imin3、兩端鉸支壓桿臨界平衡時(shí)的撓曲線為一半波正弦曲線。兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力三、壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題應(yīng)用例題：用三號(hào)鋼制成的細(xì)長(zhǎng)桿件，長(zhǎng)1m,截面是8mm×20mm的矩形，兩端為鉸支座。材料的屈服極限為σs=240MPa，彈性模量E=210GPa，試按強(qiáng)度觀點(diǎn)和穩(wěn)定性觀點(diǎn)分別計(jì)算其屈服荷載Fs

及臨界荷載Fcr

，并加以比較。解：(1)強(qiáng)度分析橫截面積：屈服荷載：

兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力二、壓桿臨界力

(2)穩(wěn)定性分析橫截面最小慣性矩：臨界力荷載：兩者之比：結(jié)論：對(duì)該桿的承載力起控制作用的是穩(wěn)定問(wèn)題，并非強(qiáng)度問(wèn)題。

小結(jié)小結(jié)1、壓桿及壓桿穩(wěn)定的概念；內(nèi)容小結(jié)：2、推導(dǎo)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力計(jì)算公式（歐拉公式）；3、壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題應(yīng)用舉例。

謝謝！11.3桿端約束的影響問(wèn)題1：考慮圖(a)所示一下端固定，上端自由的細(xì)長(zhǎng)理想壓桿的臨界力Fcr

。桿端約束的影響

取分離體如圖(b)所示，任一x截面上沿y方向的位移(撓度)為y(x)，該截面上的彎矩：壓桿的撓曲線近似微分方程為(1)(2)式(1)代入式(2)，得(3)式中，δ

為桿自由端的最大撓度。令(4)壓桿的撓曲線近似微分方程變?yōu)?5)通解為(6)邊界條件：(7)桿端約束的影響由式(7)知，若δ=0，則y=0,即壓桿未發(fā)生失穩(wěn)，與假設(shè)矛盾。撓曲線成立的條件為(8)滿足此條件的kl值為當(dāng)n=1時(shí)，存在最小臨界力(9)把式(9)代入式(4)(10)壓桿的撓曲線方程為(11)(12)桿端約束的影響桿端約束的影響一端固定，一端自由的理想壓桿臨界壓力兩端鉸支的理想壓桿臨界壓力結(jié)論：一端固定，一端自由理想壓桿其臨界壓力等于長(zhǎng)度為2l的兩端鉸支壓桿的臨界力。桿端約束的影響問(wèn)題2：考慮圖(a)所示一上端固定，下端鉸支的細(xì)長(zhǎng)理想壓桿的臨界力Fcr

。

壓桿在臨界軸力作用下，將在微彎情況下保持平衡。由于固定端

B

產(chǎn)生反力偶

MB，因此，簡(jiǎn)支端

A

必有反力

FAy=MB/l

。

取分離體如圖(b)所示，任一x截面上沿y方向的位移(撓度)為y(x)，該截面上的彎矩：(1)桿端約束的影響撓曲線近似微分方程(2)式(1)代入式(2)，得(3)令(4)壓桿的撓曲線近似微分方程變?yōu)?5)通解為(6)桿端約束的影響邊界條件：(7)由式(7)求得最小非零解壓桿的最小臨界力為(8)桿端約束的影響上端固定，下端鉸支的理想壓桿臨界壓力兩端鉸支的理想壓桿臨界壓力結(jié)論：一端固定，一端鉸支理想壓桿其臨界壓力等于長(zhǎng)度為0.7l的兩端鉸支壓桿的臨界力。桿端約束的影響理想壓桿臨界力統(tǒng)一表達(dá)式式中，l0=μl,稱為壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度或有效長(zhǎng)度。l是實(shí)際的長(zhǎng)度，μ

稱為長(zhǎng)度系數(shù)。表1壓桿長(zhǎng)度系數(shù)表2不同約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界軸力的歐拉公式桿端約束的影響桿端約束的影響例題：求下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。10mm圖(a)50mmFP解：壓桿上端鉸支，下端固定(μ1=0.7)

L=0.5m桿端約束的影響例題：求下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。圖(b)FP(45

45

6)(mm)

等邊角鋼yz解：壓桿上端自由，下端固定

(μ2=2)L=0.5m

小結(jié)小結(jié)1、推導(dǎo)出一端固定一端自由和一端固定一端鉸支理想壓桿的臨界力公式；內(nèi)容小結(jié)：2、類(lèi)比法得出不同約束條件下理想壓桿臨界力統(tǒng)一表達(dá)式。3、理想壓桿臨界力統(tǒng)一表達(dá)式應(yīng)用舉例。11.4臨界應(yīng)力曲線臨界應(yīng)力一、壓桿臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力：當(dāng)中心壓桿所受壓力等于臨界軸力而仍然直立時(shí)，

其橫截面上的平均壓應(yīng)力，記作：

cr

。(i

是慣性半徑)令：(

λ

是壓桿的長(zhǎng)細(xì)比或柔度

)臨界應(yīng)力：—?dú)W拉公式二、歐拉公式適用范圍σP

—材料的比例極限λp—可用歐拉公式最小長(zhǎng)細(xì)比

只有在

cr

σP

的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計(jì)算壓桿的臨界軸力Fcr（臨界應(yīng)力

cr）。歐拉公式的適用范圍:

≥

p。歐拉公式適用范圍定義

P二、歐拉公式適用范圍例：對(duì)于3號(hào)鋼，E≈210GPa,

σP

≈200MPa。鎳鋼(含鎳3.5%)，E≈2.15

105GPa,

σP

≈490MPa?！笕岫葪U（細(xì)長(zhǎng)桿）歐拉公式適用范圍歐拉公式

cr-

曲線三、臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式及曲線1、直線公式式中：a

、b是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出。材料a

(MPa)b

(MPa)Q235鋼3041.1210262硅鋼5783.7410060鉻鉬鋼9815.3055鑄鐵3321.4580硬鋁3722.1450表1常用材料

a、b

值臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式及曲線1、直線公式三、臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式及曲線塑性材料：根據(jù)柔度，臨界力計(jì)算公式歸納：(1)

p,壓桿為細(xì)長(zhǎng)桿，或大柔度桿，

采用歐拉公式計(jì)算臨界力；(2)

s<p

,壓桿稱為中柔度桿。采

用直線型經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界力；(3)<

s,壓桿稱為小柔度桿。這類(lèi)壓桿

將發(fā)生強(qiáng)度失效，按強(qiáng)度理論處理。臨界應(yīng)力曲線(

cr-

)臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式及曲線適用范圍：

s<p（

s為使用直線公式時(shí)的最小柔度）定義

s三、臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式及曲線2、拋物線公式式中：

a1

、b1是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出。Q235鋼：16Mn鋼：軋鋼臨界力公式：拋物線公式適用于結(jié)構(gòu)鋼與低合金鋼等制做的中柔度壓桿。臨界應(yīng)力曲線(

cr-

)臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式及曲線四、壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用例題1：

如圖1所示兩端鉸支(球形鉸)的圓截面壓桿，該桿用3號(hào)鋼制成，其彈性模量E＝210GPa，

材料比例極限

σp＝200MPa

。已知桿的直徑d

=100mm，問(wèn)：桿長(zhǎng)l為多大時(shí)，方可用歐拉公式計(jì)算該桿的臨界力？圖1壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用解：

用歐拉公式計(jì)算該桿臨界力的條件是λ

≥

λP。由λ

≥

λP，得即圖1壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用四、壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用例題2：如圖2兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度L=1.2m，材料為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，σp=200

MPa。已知截面的面積A=900mm2，若截面的形狀分別為圓形、d/D=0.7

的空心圓管。試分別計(jì)算各桿的臨界力。圖2壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用解：(1)圓形截面所以該桿屬細(xì)長(zhǎng)壓桿，可用歐拉公式計(jì)算臨界力：直徑

慣性半徑柔度壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用(2)空心圓管截面解得

D=47.4×10-3m

，

d=33.18×10-3m

由已知條件截面慣性矩慣性半徑柔度因?yàn)?/p>

λ<λP

，所以不再適用歐拉公式計(jì)算臨界力。壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用(2)空心圓管截面因?yàn)?/p>

λS

<λ<λP，所以屬中長(zhǎng)壓桿，用直線公式計(jì)算臨界力。直線經(jīng)驗(yàn)公式拋物線經(jīng)驗(yàn)公式(Q235鋼)Q235鋼a

=304Mpa，b=1.12MPa直線公式最小柔度壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用

小結(jié)小結(jié)1、臨界應(yīng)力及應(yīng)力形式的歐拉公式；內(nèi)容小結(jié)：2、歐拉公式的適用范圍；4、壓桿臨界力計(jì)算應(yīng)用舉例。3、臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式及臨界應(yīng)力曲線；11.5提高壓桿承載能力的措施壓桿的穩(wěn)定計(jì)算一、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算1、安全系數(shù)法穩(wěn)定條件：F

—壓桿的工作軸力；Fcr

—壓桿的臨界軸力；

cr

—壓桿橫截面的臨界應(yīng)力；nst—壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)（規(guī)范查表）。式中：

A

—壓桿的橫截面面積；壓桿的穩(wěn)定計(jì)算一、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算例題：

三角支架受力如圖（a）所示。其中BC桿為10號(hào)工字鋼，其彈性模量E＝200GPa，

比例極限

σP＝200MPa

。AB桿長(zhǎng)度為lAB=1.5m，若穩(wěn)定安全因數(shù)

nst

=2.2，試從BC桿的穩(wěn)定考慮，求結(jié)構(gòu)的許用荷載

[F]。壓桿的穩(wěn)定計(jì)算解：

計(jì)算BC桿其可用歐拉公式的最小長(zhǎng)細(xì)比λP。查表得10號(hào)工字鋼最小慣性半徑和橫截面積：BC桿兩端鉸接（長(zhǎng)度系數(shù)μ

=1），長(zhǎng)細(xì)比λ

為（滿足歐拉公式計(jì)算臨界力條件）壓桿的穩(wěn)定計(jì)算BC桿臨界力：鉸接點(diǎn)B受力如圖（b）所示。xy所以壓桿的穩(wěn)定計(jì)算2、穩(wěn)定系數(shù)法令：φ

—壓桿的穩(wěn)定系數(shù)或折減系數(shù)（

φ

<1）；[σ]

—材料的許用應(yīng)力。穩(wěn)定條件：或說(shuō)明：穩(wěn)定系數(shù)φ

由壓桿的材料、長(zhǎng)度、橫截面積和尺寸，桿端約束等決定。φ

值由設(shè)計(jì)規(guī)范中穩(wěn)定系數(shù)表查得。壓桿的穩(wěn)定計(jì)算例：如圖

(a)所示結(jié)構(gòu)是由兩根直徑相同的圓桿組成，桿的材料為Q235鋼，已知h=0.4m，桿直徑d=20mm，荷載F=15kN，其鋼材的抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值[σ]

=215MPa，試校核此結(jié)構(gòu)在圖平面內(nèi)的穩(wěn)定性。壓桿的穩(wěn)定計(jì)算解：鉸接點(diǎn)A受力如圖（b）所示。(b)xy解得：圓桿截面慣性半徑（圖c）:zyd(c)壓桿的穩(wěn)定計(jì)算桿AB

和AC

的長(zhǎng)細(xì)比:(b)xyzyd(c)查表得Q235鋼b類(lèi)截面中心受壓直桿穩(wěn)定系數(shù)φ:內(nèi)插法得

:壓桿的穩(wěn)定計(jì)算(b)xyzyd(c)壓桿穩(wěn)定條件:桿AB

穩(wěn)定性校核:桿AC

穩(wěn)定性校核:結(jié)論:此結(jié)構(gòu)在圖平面內(nèi)穩(wěn)定。提高壓桿穩(wěn)定性的措施二、提高壓桿穩(wěn)定性的措施壓桿臨界力:影響壓桿穩(wěn)定性的因素：(a)桿件的長(zhǎng)度—l;(b)橫截面的形狀及