本章內(nèi)容力的投影與分解力矩力偶及其性質(zhì)力的平移定理一般力系的簡化3.1力的投影與分解一、力在軸上的投影設(shè)有力F和n軸，從力矢F的始點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別向n軸引垂線，得垂足a、b，則線段ab冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號稱為力F在n軸上的投影，記作Fn。符號約定：當(dāng)力F的始點(diǎn)垂足到終點(diǎn)垂足的指向與規(guī)定的n軸正向一致時(shí)取正號，反之取負(fù)號。nABFabFn

力在軸上的投影等于力的大小乘以與該軸正向間夾角的余弦值，通常取銳角計(jì)算，通過觀察判斷正負(fù)號。：力F與n軸的夾角（通常取銳角）力在軸上的投影：力與該投影軸單位矢量的標(biāo)量積，是代數(shù)量。一、力在軸上的投影力在平面上的投影：從力矢F的始點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別向平面（oxy）引垂線，得垂足a、b，則由a到b所構(gòu)成的矢量稱為力F在平面上的投影，記作Fxy。投影的大小為：θ：力F與平面oxy的夾角xABFabFxyθyo二、力在平面上的投影三、力在直角坐標(biāo)軸上的投影1、直接投影法：——已知力F和x、y、z軸正向間的夾角分別為α、β、γ，則力F在各軸上的投影分別為：i、j、k——x、y、z軸的單位向量ozyxFFxFzFyγβα2、二次投影法：已知力F與某平面（oxy）的夾角θ以及力F在該平面上的投影Fxy與x軸正向間的夾角

方法：①先把力F投影到平面oxy上，得到Fxy

②再把Fxy分別投影到x、y軸ozyxFFxFzFyFxy三、力在直角坐標(biāo)軸上的投影θ力的投影與分力有怎樣的聯(lián)系和區(qū)別呢？思考四、投影與分力的比較1、聯(lián)系：

分力：將力F沿空間直角坐標(biāo)軸分解為三個(gè)正交分力Fx

、Fy

、Fz，則有F=Fx+Fy+FzFx=Fx

i,，F(xiàn)y=Fy

j，F(xiàn)z=Fzk

力F在直角坐標(biāo)系中的解析表達(dá)式：——力F在直角坐標(biāo)軸上的投影（代數(shù)量）與其沿相應(yīng)軸分力的模相等，且投影的正負(fù)號與分力的指向?qū)?yīng)一致。已知力F在直角坐標(biāo)軸上的三個(gè)投影，則力F的大小和方向分別為注意：以上各式是在直角坐標(biāo)系中推導(dǎo)的，在非直角坐標(biāo)系中并不成立。四、投影與分力的比較2、區(qū)別：力沿坐標(biāo)軸的分力是矢量，有大小、方向、作用線；而力在軸上的投影是代數(shù)量。在斜坐標(biāo)系中，力沿坐標(biāo)軸的分力的模不等于力在相應(yīng)軸上的投影。四、投影與分力的比較力F2在各坐標(biāo)軸上的投影（直接投影）：力F3在各坐標(biāo)軸上的投影（二次投影）：例3-1圖中a=b=m，c=m。力F1=100N，F(xiàn)2=200N，F(xiàn)3=300N，方向如圖。求各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。解：力F1在各坐標(biāo)軸上的投影（直接投影）：F1F3F23.1力的投影與分解N3.2力矩一、平面力系中力對點(diǎn)之矩1、定義：是力對物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量

2、平面力系中力對點(diǎn)之矩的表示：如圖，力F的大小與O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離h的乘積，再冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號，來表示力F對O點(diǎn)的矩。記作O點(diǎn)稱為力矩中心，簡稱矩心。h為矩心到力的作用線的垂直距離，稱為力臂。力F與矩心O所在的平面稱為力矩平面。3、符號約定：通常規(guī)定力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為正，順時(shí)針為負(fù)。

+_4、單位：牛?米[N?m]或千牛?米[kN?m]

5、力矩的幾何意義：力F對O點(diǎn)之矩的大小在數(shù)值上等于以力F為底邊，矩心O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積的兩倍，即：Mo(F)=±Fh=±2S

OAB一、平面力系中力對點(diǎn)之矩6、幾點(diǎn)注意：力矩的三要素：力矩的大小、力矩平面的方位、力矩在力矩平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。對平面力系而言，力對點(diǎn)之矩只取決于力矩的大小和轉(zhuǎn)向，因而是代數(shù)量力F對O點(diǎn)之矩不僅取決于力的大小，同時(shí)還與矩心的位置有關(guān)，因此必須指明矩心。當(dāng)力的大小為零或力的作用線通過矩心時(shí)，力矩等于零。力F對任一點(diǎn)之矩，不會因該力沿其作用線移動而改變,因?yàn)榇藭r(shí)力臂和力的大小均未改變。作用于物體上的力可以對物體內(nèi)外任意點(diǎn)取矩計(jì)算。互相平衡的二力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。一、平面力系中力對點(diǎn)之矩式中O點(diǎn)稱為矩心，r為矩心O引向力F的作用點(diǎn)A的矢徑，力對點(diǎn)之矩定義為：矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與力矢的矢量積。二、空間力系中力對點(diǎn)之矩

作用于物體的力F對空間任意一點(diǎn)O的力矩定義為:（1）MO(F)的大小即它的模式中θ為r和F正方向間的夾角，h為矩心到力作用線的垂直距離，稱為力臂。MO(F)=r×FFrAOhθ二、空間力系中力對點(diǎn)之矩力對點(diǎn)之矩矢MO(F)的三要素力矩矢的三要素為大小、方位和指向。MO(F)=r×FFrAOh（2）MO

(F)的方位：垂直于r和F所確定的平面（3）MO

(F)的指向：指向由右手法則確定。由于力矩矢的大小和方向都與矩心的位置有關(guān)，故力對點(diǎn)之矩矢的始端必須在力矩中心，不可任意挪動，這種矢量稱為定位矢量。θ二、空間力系中力對點(diǎn)之矩力對點(diǎn)之矩在坐標(biāo)軸上的投影

為了計(jì)算力矩矢在坐標(biāo)軸上的投影，以矩心O為原點(diǎn)引進(jìn)直角坐標(biāo)系Oxyz，并用i、j、k表示沿各坐標(biāo)軸的單位矢量，則二、空間力系中力對點(diǎn)之矩于是投影二、空間力系中力對點(diǎn)之矩FFzFxy為了量度力對其所作用的物體繞某固定軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，引入力對軸之矩的概念。三、力對軸之矩空間力對軸之矩歸結(jié)為平面上的力對點(diǎn)之矩，即：力F對任一軸z之矩，等于這力在垂直于z軸的平面內(nèi)的分力Fxy對該平面和z軸交點(diǎn)O之矩。1、作用于物體的力F對z軸的矩定義為

Mz(F

)＝MO(Fxy)＝±Fxyh

三、力對軸之矩2、正負(fù)號的規(guī)定

按右手法則與Z軸的指向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。Mz(F)

>0

Mz(F)

<0

zz

當(dāng)力的作用線與z軸平行(Fxy=0)或相交(h=0)時(shí)，即當(dāng)力與軸共面時(shí)，力對軸的矩等于零。力沿作用線移動，不改變力對給定軸之矩。力對軸之矩是力使物體繞軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是代數(shù)量，其絕對值等于力在與軸垂直的平面上的投影對軸與平面交點(diǎn)的矩3、注意三、力對軸之矩4、力對直角坐標(biāo)軸之矩的

解析表達(dá)式：

式中：x、y、z是力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)，F(xiàn)x、Fy、Fz分別是F在各坐標(biāo)軸上的投影。三、力對軸之矩

四、力矩關(guān)系定理上式說明：力對點(diǎn)之矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對該軸之矩。——力矩關(guān)系定理小結(jié)力在軸上的投影是代數(shù)量；力在平面上的投影是矢量；力在直角坐標(biāo)系中的投影可以采用直接投影或二次投影；力的解析式在直角坐標(biāo)系中才成立；小結(jié)5.力對點(diǎn)之矩是力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量；6.力對點(diǎn)之矩的大小是力的大小與力臂的乘積；7.力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于力對點(diǎn)之矩的三要素；8.平面中力對點(diǎn)之矩用代數(shù)量表示；9.空間中力對點(diǎn)之矩必須用矢量表示，通常采用解析計(jì)算。3.3力偶及其性質(zhì)一、力偶及力偶矩矢1、基本概念力偶：大小相等、方向相反、作用線相互平行但不重合的一對力，記作（F，F(xiàn)'）力偶作用面：構(gòu)成力偶的兩個(gè)力所在的平面力偶臂：構(gòu)成力偶的兩個(gè)力的作用線間的垂直距離，記作h注意：力偶是一種基本力學(xué)量，不能再進(jìn)一步簡化，力偶不能與一個(gè)力相平衡；力偶對剛體具有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，因此力偶不是一個(gè)平衡力系。FF'力偶實(shí)例一、力偶及力偶矩矢2、力偶的三要素力偶三要素：大小、作用面、轉(zhuǎn)動方向。大?。旱扔诹Φ拇笮∨c力偶臂的乘積F·h作用面：力偶作用面的方位轉(zhuǎn)動方向：在力偶作用面內(nèi)力偶的轉(zhuǎn)向FF'一、力偶及力偶矩矢力偶三要素：大小、作用面、轉(zhuǎn)動方向。表示方法：從任一點(diǎn)作垂直于力偶作用面的矢量M矢的長度：表示力偶矩的大小，矢的方位：與力偶作用面的法線方位相同，矢的指向：與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則3、力偶矩矢一、力偶及力偶矩矢力偶的三個(gè)要素可以用一個(gè)矢量來表示，這個(gè)矢量稱為力偶矩矢，用矢量符號M表示。

在平面中，力偶矩矢退化為力偶矩代數(shù)量正負(fù)號表示力偶在其作用平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向，一般規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向取正。3、力偶矩矢

設(shè)力偶中二力作用點(diǎn)分別為A、B，作A點(diǎn)相對于B點(diǎn)的位置矢徑，則力偶矩矢可用矢量積表示為——力偶矩矢等于力偶中的一個(gè)力對另一個(gè)力的作用點(diǎn)的力矩矢。一、力偶及力偶矩矢性質(zhì)一、力偶不能與一個(gè)力等效，即力偶沒有合力，因此力偶也不能與一個(gè)力相平衡，力偶只能與力偶平衡。力偶中的兩個(gè)力在任一軸上的投影的代數(shù)和等于零，但力偶不是平衡力系，力偶是最簡單的力系。二、力偶的性質(zhì)FF'yxo性質(zhì)二：力偶中的兩力對任意點(diǎn)之矩之和恒等于力偶矩矢在該軸方位上的投影，而與矩心位置無關(guān)。二、力偶的性質(zhì)性質(zhì)二：力偶中的兩力對任意軸之矩之和恒等于力偶矩矢在該軸方位上的投影，而與矩軸位置無關(guān)。二、力偶的性質(zhì)性質(zhì)三、力偶等效性質(zhì)——力偶矩矢是力偶對剛體作用效應(yīng)的惟一度量，因而作用在同一個(gè)剛體上力偶矩矢相等的力偶等效推論：只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)動，也可以從一個(gè)平面平行移動到另一個(gè)平行平面中去，甚至還可以同時(shí)改變組成力偶的力的大小和力偶臂的長度，都不會改變原力偶對剛體的作用效應(yīng)。FF′FF′FF′F/2F′/2二、力偶的性質(zhì)由力偶的性質(zhì)，力偶中力、力偶臂、力偶在作用面的位置都不是力偶的特征量，力偶矩矢是力偶對剛體作用效應(yīng)的惟一度量。力偶矩矢是自由矢量。常用一段帶箭頭的平面弧線表示力偶，其中弧線所在平面代表力偶作用面，箭頭表示力偶在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向，M表示力偶矩大小。二、力偶的性質(zhì)3.4力的平移定理AB如圖，剛體上A點(diǎn)處作用有力F，現(xiàn)在要把力F平行移動到剛體上的另一點(diǎn)B點(diǎn)處，該怎么做？結(jié)果如何？思考根據(jù)加減平衡力系公理，在B點(diǎn)處加兩個(gè)相互平衡的力F′和F″，使F＝F′＝F″，顯然，這三個(gè)力對剛體的作用與原力F對剛體的作用等效。再由力偶的定義，力F和F″組成一個(gè)力偶，用一段帶箭頭的弧線表示。

力的平移定理AFBAFBF′F"AMBF′AFBAFBF′F"AMBF′力F從A點(diǎn)向B點(diǎn)平移的結(jié)果：一個(gè)力和一個(gè)力偶，即一個(gè)大小和方向均與原力相同的力和一個(gè)力偶M，力偶的大小M＝Fh，h為B點(diǎn)到力F的作用線的垂直距離。hh

力的平移定理力的平移定理：作用于剛體上的力F，可以平移至同一剛體的任一點(diǎn)，但必須增加一個(gè)附加力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F對于平移點(diǎn)的力矩。注：力的平移定理只適用于剛體，且只能在同一剛體上平移。

力的平移定理反之，同平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶可以合成一個(gè)合力小結(jié)力偶對剛體只有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，沒有移動效應(yīng)；力偶對剛體的作用效應(yīng)，取決于力偶的三要素；力偶矩矢與矩心位置無關(guān)，區(qū)別于力對點(diǎn)之矩；力偶矩矢是力偶對剛體作用效應(yīng)的惟一度量；剛體上的力F平移至同一剛體的任一點(diǎn)，但必須增加一個(gè)相應(yīng)的附加力偶。3.5一般力系的簡化1、簡化過程一、空間一般力系向任一點(diǎn)簡化1、簡化過程

匯交于O點(diǎn)的空間匯交力系可合成為作用線通過O點(diǎn)的一個(gè)力——稱為原力系的主矢空間力偶系可合成為一合力偶，其力偶矩矢MO——稱為原力系對簡化中心O的主矩一、空間一般力系向任一點(diǎn)簡化FR′與簡化中心的位置無關(guān)。MO一般與簡化中心的位置有關(guān)，故應(yīng)表明簡化中心。

注：2、主矢

FR′

空間匯交力系（F1′，F(xiàn)2′，…，F(xiàn)n′）的合力矢等于原力系中各力的矢量和。FR′=∑Fi′=∑Fi一、空間一般力系向任一點(diǎn)簡化投影：

FRx′＝∑Fix，

FRy′＝∑Fiy，F(xiàn)Rz′＝∑Fiz大小:方向:

2、主矢

FR′一、空間一般力系向任一點(diǎn)簡化若力系為xy面內(nèi)的平面一般力系，則

主矢的解析式為：

一、空間一般力系向任一點(diǎn)簡化3、主矩

MO空間力偶系的合力偶矢，稱為力系對簡化中心的主矩MO。任意個(gè)空間分布的力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即

MO=∑Mi=∑MO(Fi)一、空間一般力系向任一點(diǎn)簡化

投影：大小：方向：一、空間一般力系向任一點(diǎn)簡化

特例

在平面力偶系的特殊情況下，各力偶矩矢量平行，力偶的轉(zhuǎn)向完全可以用正負(fù)號確定，力偶矩可用代數(shù)量表示。通常規(guī)定從平面上方俯視，逆時(shí)針為正，反之為負(fù)。這樣，力偶矩的矢量和就變成了力偶矩的代數(shù)和。主矩的解析式為：一、空間一般力系向任一點(diǎn)簡化F1F1F2F2F3F3空間任意力系向任一點(diǎn)簡化可能出現(xiàn)下列四種情況，即（1）FR′＝0，MO≠0；（2）FR′≠0，MO＝0；（3）FR′≠0，MO≠0；（4）FR′＝0，MO＝0?，F(xiàn)分別加以討論。二、空間一般力系簡化結(jié)果分析（1）FR′＝0，MO≠0

由于力偶矩矢與矩心位置無關(guān)（若向不同的簡化中心簡化，也將得到彼此等效的力偶），因此，在這種情況下，主矩與簡化位置無關(guān)。

即力系可簡化為一合力偶，顯然這合力偶與原力系等效，這合力偶矩矢就等于原力系對簡化中心的主矩MO。二、空間一般力系簡化結(jié)果分析

即原力系合成為一合力，合力的作用線通過簡化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。當(dāng)簡化中心O恰好選在合力作用線上時(shí)，就會出現(xiàn)這種情況。（2）FR′≠0，MO＝0二、空間一般力系簡化結(jié)果分析（3.1）FR′≠0，MO≠0，而且FR′⊥MO

——原力系可進(jìn)一步簡化為一個(gè)合力FR

，且FR=F'R=∑Fi

OOO'O'O合力作用線到簡化中心O的垂直距離OO

’=d＝二、空間一般力系簡化結(jié)果分析（3.1）FR′≠0，MO≠0，而且FR′⊥MO

由圖可知，力偶（FR″、FR

）的矩MO等于合力FR對點(diǎn)O的矩，即MO=MO（FR

）又有

MO=∑Mi＝∑MO（Fi）故得關(guān)系式

MO（FR

）=∑MO（Fi）二、空間一般力系簡化結(jié)果分析空間一般力系的合力對任一點(diǎn)O的矩等于各分力對同一點(diǎn)之矩的矢量和——空間一般力系的合力矩定理（3.1）FR′≠0，MO≠0，而且FR′⊥MO

MO（FR

）=∑MO（Fi）若為平面力系，該定理可描述為：平面一般力系的合力對任一點(diǎn)O的矩等于各分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。投影到過O點(diǎn)的任一軸x上，可得即：空間一般力系的合力對任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。二、空間一般力系簡化結(jié)果分析

這種結(jié)果稱為力螺旋，如圖所示。（3.2）FR′≠0，MO(F)≠0，而且FR′∥MO

所謂力螺旋就是由一個(gè)力和一力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。右手力螺旋左手力螺旋二、空間一般力系簡化結(jié)果分析

力螺旋是由靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素力和