第5章離散時間系統(tǒng)的z域分析5.1概述5.2離散時間序列的Z變換5.3Z反變換5.4離散系統(tǒng)的z域分析5.5MATLAB在z域分析中的應用小結(jié)習題5

5.1概述

Z變換對于分析離散線性時不變系統(tǒng)是一個強有力的工具。它在求解差分方程時，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，使計算過程簡化。Z變換在求解差分方程時所起的作用和拉普拉斯變換在求解微分方程中的作用相同。

5.2離散時間序列的Z變換

5.2.1Z變換的定義

為了便于理解，這里不妨從拉普拉斯變換推演出Z變換。由第2章可知，對連續(xù)時間信號進行均勻沖激取樣后就得到離散時間信號。設(shè)有連續(xù)時間信號f(t)，每隔時間Ts取樣一次，這相當于連續(xù)時間信號f(t)乘以沖激序列δTs(t)。利用

沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)，取樣信號fs(t)可寫為

(5-1)取上式的雙邊拉普拉斯變換，考慮到L［δ(t－nTs)］=

e－nsTs，可得fs(t)的雙邊拉普拉斯Z變換為

(5-2)

令z=esTs，F(xiàn)s(s)=F(z)，這樣，fs(t)的拉普拉斯變換式就可以變換成另一復變量z的變換式，即

(5-3)將f(nTs)換為f(n)，有

(5-4)

式(5-4)定義了序列f(n)的Z變換?？梢婋x散信號的Z變換是取樣信號fs(t)的拉普拉斯變換中將變量s換為z的結(jié)果。為了書寫的方便，對序列f(n)取Z變換和對F(z)作Z反變換常常記作

f(n)與F(z)是一對變換對，它們之間的對應關(guān)系可表示為式(5-4)中，因從－∞到∞求和，故稱之為雙邊Z變換。如果給定序列f(n)從n=0開始求和，即

(5-5)

則上式稱為序列f(n)的單邊Z變換,并且以后就把它稱為Z

變換。由單邊Z變換的定義式(5-5)可知，Z變換是一個復數(shù)項級數(shù)。由于z=rejω，單邊Z變換的定義又可以寫成

(5-6)只有當f(n)r－n符合絕對求和的收斂條件，即

<∞時，f(n)的Z變換才有意義。使f(n)的Z變換收斂的所有z的集合稱為Z變換F(z)的收斂域，簡記為ROC(RegionofConvergence)。

假設(shè)單邊Z變換在|z|>|z1|處絕對收斂，即只要|z|>|z1|，必有所以單邊序列的Z變換的收斂域可以寫成|z1|<|z|<∞，因為復數(shù)z可表示為z=rejω，所以單邊Z變換的收斂域為半徑為r以外的所有區(qū)域(包括無窮大區(qū)域)的z平面?？梢岳斫猓瑔芜?/p>

Z變換的收斂域應在以極點(令F(z)分母等于零的根)為半徑的圓(不包含此圓)外的所有區(qū)域，如圖5-1(a)所示。由于單邊Z變換的收斂域比較簡單，故后面一般情況下不再加注其收斂域。附帶指出，對于雙邊Z變換，收斂域是在z平面內(nèi)以原點為圓心的一個圓環(huán)區(qū)域，如圖5-1(b)所示。圖5-1Z變換的收斂域例如單邊序列

a為正實數(shù)。其單邊Z變換為它是一個僅含有z的負冪的無窮級數(shù)，只有當|az－1|<1或|z|>a時，該無窮級數(shù)絕對收斂，即

才能以閉合形式表示為

|z|>a稱為F(z)的收斂條件。在z平面(復數(shù)平面)中，F(xiàn)(z)的對應的收斂域(ROC)是圓心在原點、半徑為a的一個圓的圓外區(qū)域，半徑a稱為收斂半徑。下面討論單邊Z變換收斂域與拉普拉斯變換收斂域的關(guān)系：

考察復變量

這是一個s域到z域的變換。復變量s=σ+jω經(jīng)變換后也是一個復數(shù)

它將s平面σ>σ0的右半平面映射到z平面上半徑為

的圓外區(qū)域，如圖5-2所示。圖5-2單邊Z變換的收斂域與拉普拉斯變換收斂域的關(guān)系下面討論單邊Z變換與傅里葉變換的關(guān)系。

由于則s平面的虛軸s=jω映射到z平面的單位圓|z|=e0=r=1。正像虛軸上的拉普拉斯變換對應于連續(xù)時間信號的傅里葉變換一樣，單位圓上的Z變換對應于離散時間信號的傅里葉變換。因此，如果一個離散時間信號的傅里葉變換存在，則它在z平面的收斂域應包含單位圓。5.2.2常用序列的Z變換

許多序列的Z變換可直接由Z變換的定義式求出。

1.單位序列δ(n)

因為將δ(n)代入式(5-5)，得

即

(5-7)

上式表明，不論復數(shù)z為何值，當|z|≥0時，其和式均收斂，這種情況稱Z［δ(n)］的收斂域為整個z平面。

2.階躍序列ε(n)

因為

故有上式為等比級數(shù)求和問題，當|z－1|<1，即|z|>1時，上式收斂，其結(jié)果為

即

(5-8)

3.指數(shù)序列anε(n)

由定義得

當|az－1|<1，即|z|>|a|時，級數(shù)收斂，其結(jié)果為

即

(5-9)這就是說，對指數(shù)序列，其Z變換的收斂域為z平面上半徑為|z|=|R|=|a|的圓外區(qū)域。這里R稱為收斂半徑。

單位階躍序列ε(n)、指數(shù)系列anε(n)以及許多序列的Z變換表明，單邊序列的Z變換其收斂域總在半徑為某一R的圓外區(qū)域。例如對于ε(n)，收斂半徑R＝1；對于2nε(n)，收斂半徑為R＝2。圖5-3示出了這種情況。

由于單邊Z變換的收斂域總是在|z|>R的區(qū)域，故今后不再一一說明。

常用序列的Z變換列于表5-1，供查閱。圖5-3單邊Z變換的收斂域5.2.3Z變換的性質(zhì)

1.線性性質(zhì)

若

則

(5-10)

式中，a1、a2為任意常數(shù)。

例5-1

求序列cos(nω0)的Z變換。

解根據(jù)歐拉公式

由表5-1有由線性性質(zhì)可得

2.移位性質(zhì)

若

則

(5-11)對于因果序列，n<0時的序列值為零，因而有

(5-12)

Z變換的移位性質(zhì)使我們能將f(n)的差分方程轉(zhuǎn)化為F(z)的代數(shù)方程，從而大大簡化計算。

這里值得注意的是，對于單邊序列f(n)，如右移N位，應表示為f(n－N)ε(n－N)而不是f(n－N)。

例5-2

已知求f(n)=5·(2)n－1ε(n－1)的Z變換。

解根據(jù)式(5-12)，得

3.尺度變換性質(zhì)

若

則

(5-13)上述性質(zhì)表明，信號乘以an，相當于在z域等效進行尺度變換。這里a通常是一個復數(shù)。如果a=r0ejω，z域尺度變換就是零極點的位置在z平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一個角度，并在徑向位置有一個r0倍的變化。由于存在徑向變化，因此收斂域隨之發(fā)生變化。

例5-3

求序列βnsinnω0·ε(n)的Z變換。

解由表5-1知于是，由式(5-13)可得

于是

4.z域微分性質(zhì)

若

則

(5-14)

例5-4

試求nanε(n)的Z變換及其收斂域。

解已知

利用z域微分性質(zhì)可得

例5-5

利用z域微分求下述F(z)的反變換。

解可以求得而上式的Z反變換為

于是

5.時域卷積定理

若f1(n)和f2(n)均為因果序列，f1(n)F1(z)，f2(n)F2(z),其收斂域分別為A、B，則

(5-15)

其收斂域為A∩B。

利用卷積定理求解離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，可以把在時域的卷積計算轉(zhuǎn)化為z域的乘積計算。

例5-6

求下列兩個單邊指數(shù)序列的卷積：

解由于應用時域卷積定理得把Y(z)展開成部分分式，得

其逆變換為

一般情況下，兩序列卷積的Z變換的收斂域為兩序列Z變換收斂域的重疊部分，若在相乘過程中有零、極點相消，則收斂域可能擴大。

例5-7

如果f1(n)=ε(n)，

ε(n－1),且y(n)=f1(n)*f2(n)，求y(n)的Z變換Y(z)。

解先分別求f1(n)、f2(n)的Z變換F1(z)、F2(z)：因此

F1(z)的極點z=1在相乘過程中與F2(z)的零點相消，所以Y(z)的收斂域比F1(z)和F2(z)收斂域的重疊部分大。

6.初值定理

如果因果序列f(n)的Z變換為F(z)，而且存在，則

(5-16)

例5-8

已知

試利用初值定理求f(0)。

解將F(z)部分分式展開為

F(z)的極點：z=0.5,z=2。如果f(n)為因果序列，則F(z)的收斂域為|z|>2的所有區(qū)域。這時，因果序列f(n)的初值為

7.終值定理

若f(n)是因果序列，且f(n)的Z變換為F(z)，即

則

(5-17)

Z變換還有許多性質(zhì)，現(xiàn)將Z變換的主要性質(zhì)及定理列于表5-2。

5.3Z

反變換

在離散系統(tǒng)分析中，常常需要從z域的變換函數(shù)(象函數(shù))求出原序列f(n)，即求Z反變換。同一F(z)在不同的收斂域?qū)诓煌脑瘮?shù)f(n)。若F(z)在某收斂域(RoC)時的反變換為f(n)，記為

(5-18)5.3.1冪級數(shù)展開法(長除法)

許多序列的Z變換F(z)通?？梢员硎緸槿缦滦问降挠欣?/p>

函數(shù)：

(5-19)

式中，ai、bi為實數(shù)。如果F(z)的收斂域是|z|>R的一個圓外區(qū)域，則f(n)是一個右邊序列，此時F(z)的分子和分母都按照z的降冪(或z－1的升冪)次序進行排列。利用長除法，就可以將F(z)展開成z－1的冪級數(shù)，從而得到f(n)。

例5-9

求的Z反變換f(n)(收斂域為|z|>1)。

解由于F(z)的收斂域為|z|>1，因而f(n)必然是因果序列。此時F(z)按照z的降冪排列再進行長除，即進行長除所以

這樣就得到f(n)=nε(n)。

這里需要指出的是，用長除法得到的商級數(shù)，一般很難找到它的一般項的通式，所以用長除法求Z反變換，一般只能得到f(n)的前幾項，很難得到它的閉式解。5.3.2部分分式展開法

當序列的Z變換為有理函數(shù)時，即

(5-20)

可以像拉普拉斯反變換那樣，先將上式分解為部分分式之和，然后求反變換f(n)。式(5-20)中通常m≤n。為了方便，可以先將F(z)/z展開成部分分式，然后再對每個分式乘以z。這樣做不但m=n的情況可直接展開，而且展開的基本分式為的形式，它所對應的序列為K(zi)nε(n)。

式(5-20)中D(z)=0的根稱為F(z)的極點。下面就F(z)/z的不同極點情況介紹展開方法。

1.F(z)僅含有一階極點

若z1,z2,…,zn為F(z)的n個一階極點，則F(z)/z可以展開為式中z0=0。上式兩邊同時乘以z，得

(5-21)

確定系數(shù)Ki的方法與拉普拉斯反變換中部分分式法一樣，即

(5-22)

顯然故式(5-22)又可以寫成

(5-23)

取上式的反變換得

(5-24)

例5-10

設(shè)Z變換

求其原序列f(n)。

解因為

故由式(5-22)得故

對上式取反變換，得

2.F(z)僅含有重極點

設(shè)F(z)在z＝z1處有m階極點，例如

則仿照拉普拉斯反變換的方法，可展開為式中，項是由于F(z)除以z以后自動增加了z=0的極點所致。上式的各系數(shù)按以下公式確定：

(5-25)式中，n=1，2，…，m。各系數(shù)確定后，則有

(5-26)

由Z變換對

可以容易地得到上式的反變換。

例5-11

求的反變換f(n)。

解

其中所以

由于

故有序列

例5-12

求象函數(shù)

的Z反變換。

解

F(z)的極點為z1=－1，z2,3=±j2=可展開為按式(5-25)可求得于是得

取上式的反變換得

5.4離散系統(tǒng)的z域分析

這一節(jié)討論用Z變換分析離散時間系統(tǒng)的方法。在分析離散時間系統(tǒng)時，可以通過Z變換，把描述離散時間系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，由差分方程的Z變換引出離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)，利用離散系統(tǒng)函數(shù)能夠較為方便地分析離散時間系統(tǒng)的特性。5.4.1應用Z變換求解差分方程

應用Z變換求解差分方程，是根據(jù)Z變換的線性性質(zhì)和移位性質(zhì)，把差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。線性時不變離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為

(5-27)設(shè)輸入f(n)為因果序列(即單邊序列)，對上式兩邊取Z變換，并利用移位性質(zhì)(式(5-11))，得到

(5-28)

由上式解出Y(z)，然后再取反變換可得輸出序列y(n)。

例5-13

設(shè)系統(tǒng)的差分方程為

起始狀態(tài)y(－1)=3，y(－2)=2，當f(n)=2ε(n)時，求系統(tǒng)的響應y(n)。

解對差分方程取Z變換，得

即從而有

故解得

則有

得全響應

離散時間系統(tǒng)的Z變換分析法和時域分析法一樣，可以分別求出零輸入響應和零狀態(tài)響應，再相加得到全響應。

例5-14

已知差分方程

初始值y(－1)=5，輸入f(n)=(0.6)nε(n)，求響應y(n)。

解先求零輸入響應yzi(n)。輸入為零時，差分方程右端為零，求Z變換后有顯然，零輸入響應為

再求零狀態(tài)響應yzs(t)。假設(shè)初始條件為零，則把它用部分分式展開，得

則零狀態(tài)響應為

將零輸入響應與零狀態(tài)響應相加，全響應為5.4.2離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

下面討論用Z變換求零狀態(tài)響應的方法。

在2.4節(jié)離散時間系統(tǒng)的時域分析法中，我們已經(jīng)導出零狀態(tài)響應等于激勵函數(shù)與單位序列響應的卷積和，即

對上式進行Z變換，應用卷積定理，則有

(5-29)沖激響應h(t)的拉普拉斯變換H(s)是連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，單位序列響應h(n)的Z變換H(z)是離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，簡稱離散系統(tǒng)函數(shù)。

連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)可以直接由微分方程的拉普拉斯變換求出。同樣地，離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)也可以直接從差分方程的Z變換求出。當離散系統(tǒng)的差分方程給出時，設(shè)為

(5-30)在零狀態(tài)條件下，對上式兩邊取Z變換，系統(tǒng)函數(shù)為

(5-31)

可見，系統(tǒng)函數(shù)的一般形式是z的多項式之比。

例5-15

設(shè)有二階數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)的差分方程為

(1)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；

(2)求單位序列響應h(n)；

(3)若激勵f(n)=0.4nε(n)，求其零狀態(tài)響應。

解

(1)求H(z)。在零狀態(tài)下對方程求Z變換

故

(2)求h(n)。由于

故系數(shù)

從而有

所以

(3)當f(n)=0.4nε(n)時，有

由卷積和定理得故有

解得系數(shù)K1=－2.2,K2=－0.8,K3=4。從而

最后反變換得5.4.3離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.時域判別法

與連續(xù)時間系統(tǒng)類似，離散時間系統(tǒng)的單位序列響應h(n)或系統(tǒng)函數(shù)決定了系統(tǒng)的特性。

如果對任一有界輸入f(n)只能產(chǎn)生有界輸出y(n)，則稱系統(tǒng)在有界輸入、有界輸出意義下是穩(wěn)定的。根據(jù)該定義，對所有n，當

時(其中M為實常數(shù))，若有|y(n)|<∞，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明：根據(jù)卷積公式因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件(也可證明是必要條件)為

(5-32)

即離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是單位序列響應h(n)絕對可和。對因果系統(tǒng)，上式求和從n=0開始，即

(5-33)

2.z域判別法

根據(jù)Z變換的定義

(5-34)

在z=ejw處，有如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，上式為有限值，則H(z)在z=ejω(也即|z|=1)處必收斂。鑒于z平面上|z|=1的重要性，把該圓取名為單位圓。因此，H(z)的收斂域必須包括單位圓。對單邊Z變換，H(z)的所有極點在收斂域的內(nèi)圓以內(nèi)，因而因果、穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域是包括單位圓并一直延伸到∞的廣泛區(qū)域，即收斂域可表示為：1≤|z|≤∞。換言之，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)其極點必須在單位圓內(nèi)，如圖5-4所示。圖5-4穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)的極點分布和收斂域

3.系統(tǒng)函數(shù)的零極點與時域響應的關(guān)系

如果從系統(tǒng)函數(shù)的極點與時域響應之間的對應關(guān)系考慮，對單極點p，其z域和時域響應分量分別為

(5-35)如果p是二階的，則有

(5-36)當|p|<1時，式(5-35)和式(5-36)響應分量的總趨勢隨n的增大而衰減，h(∞)=0，滿足絕對可和的條件。

當|p|>1時，式(5-35)和式(5-36)響應分量的總趨勢隨n的增大而增大，h(∞)=∞，不滿足絕對可和的條件。

當|p|＝1時，也不滿足絕對可和的條件。

綜上所述，只有當H(z)的所有極點在單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。

H(z)的極點在z平面中各不同位置所對應的單位序列響應模式大體如圖5-5所示。由此可見，在離散系統(tǒng)中，單位序列響應的幅度和振蕩頻率分別取決于特征根的模和幅角；而在

連續(xù)時間系統(tǒng)中，它們分別取決于特征根的實部和虛部。圖5-5極點位置與單位序列響應模式的關(guān)系

例5-16

如圖5-6所示為一離散反饋控制系統(tǒng)。已知正向傳輸為

反向傳輸為

問K為何值時系統(tǒng)穩(wěn)定。圖5-6一離散反饋控制系統(tǒng)

解該閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與連續(xù)系統(tǒng)的求法相同，即

為保證極點在單位圓內(nèi)，應有

|2(1－K)|<1

解得

0.5<K<1.55.4.4離散系統(tǒng)的頻域分析

1.離散系統(tǒng)的頻率響應

和連續(xù)系統(tǒng)類似，頻率響應或稱頻率特性也是離散系統(tǒng)的一個重要特性。本節(jié)主要研究線性時不變穩(wěn)定離散系統(tǒng)的頻率響應及在激勵為正、余弦信號時的系統(tǒng)響應。

現(xiàn)在我們來研究離散系統(tǒng)的頻率響應特性(簡稱頻響特性)，它反映了離散系統(tǒng)在正弦序列sin(ωnTs)或cos(ωnTs)(n為－∞<n<∞整數(shù)，Ts為采樣周期)激勵下的穩(wěn)態(tài)響應隨頻率變化的情況。由于正弦序列是由虛指數(shù)序列疊加組成，為了簡化運算，可以考慮虛指數(shù)序列激勵下的穩(wěn)態(tài)響應。離散系統(tǒng)在虛指數(shù)序列激勵下的零狀態(tài)響應為

(5-37)式中

(5-38)

式(5-37)表明，離散系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應仍是正弦序列，但乘以。是正弦序列包絡(luò)頻率ω(模擬域頻率)的連續(xù)函數(shù)，它反映了離散系統(tǒng)在正弦序列激勵下的穩(wěn)態(tài)響應隨頻率變化的情況，稱為離散系統(tǒng)的頻率響應特性(頻響特性)。它的模稱為離散系統(tǒng)的幅頻特性，它的幅角j(ω)稱為離散系統(tǒng)的相頻特性。由式(5-38)可知，對于穩(wěn)定系統(tǒng)，只要把離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)中的復數(shù)z取在單位圓上，即可得離散系統(tǒng)的頻率特性。定義數(shù)字域角頻率w=ωTs，則z=ejw。由于ejw為w的周期函數(shù)，周期為2π，因而頻響特性

也是w的周期函數(shù)。

2.系統(tǒng)幅頻特性與選頻濾波器

離散系統(tǒng)在不同頻率(模擬域頻率ω或數(shù)字域頻率w)的序列作用下響應的幅度為

或當|H(ejw)|在某些頻率范圍內(nèi)幅值較大時，這個頻率的輸入信號就會傳遞到輸出端，這樣的頻率范圍就叫做頻率通帶；當|H(ejw)|在某些頻率范圍內(nèi)幅值較小時，這個頻率的輸入信號就不能被傳遞到輸出端，即|Y(ejw)|≈0，這樣的頻率范圍就叫做頻率阻帶。所以離散系統(tǒng)像連續(xù)系統(tǒng)一樣，也具有對不同頻率的選擇能力，我們常將這種離散系統(tǒng)稱為數(shù)字濾波器。有關(guān)數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)和實現(xiàn)將在第7章中詳細介紹。

例5-17

求圖5-7所示系統(tǒng)的頻率特性。

解由系統(tǒng)框圖得圖5-7例5-17的圖系統(tǒng)函數(shù)

極點z=1/2在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定，頻率響應為幅頻特性為

相頻特性為

幅頻特性和相頻特性分別如圖5-8所示。圖5-8圖5-7所示系統(tǒng)的幅頻和相頻特性

5.5MATLAB在z域分析中的應用

5.5.1用MATLAB求Z變換和Z反變換

MATLAB的數(shù)學工具箱提供了計算Z正變換的ztrans函數(shù)和Z反變換iztrans函數(shù)，其調(diào)用形式為：

F=ztrans(f)

f=iztrans(F)上述兩式中，右端的f和F應分別為時域表示式和z域表示式的符號表示，序列f缺省的時間變量是n，返回的函數(shù)F的缺省變量是z。當然也可用其他符號，讀者可在MATLAB命令窗

中輸入helpztrans和helpiztrans查看。表達式的輸入可應用sym來實現(xiàn)，其調(diào)用形式為：

S=sym(A)

式中，A為待分析的表達式的字符串，S為符號化的數(shù)字或變量。

1.用MATLAB求Z變換

例5-18

用MATLAB求例5-3的序列f(n)=βnsinnω0·ε(n)的Z變換。

解源程序如下：

%program5_18forexample5_3Ztransusingztransfunction

f=sym(′B∧n*sin(n*w0)′)；

%Bisefpressedassymbol“beita”

F=ztrans(f)；運行結(jié)果為：

－sin(w0)*z/B/(－z∧2/B∧2+2*z/B*cos(w0)－1)

即有

與例5-3的理論計算的結(jié)果一致。

2.用MATLAB求Z反變換

1)用MATLAB函數(shù)iztrans來求

例5-19

用MATLAB求例5-10中

的Z反變換。

解

MATLAB源程序如下：

F=sym(′(5*z∧(－1))/(1－3*z∧(－1)+2*z∧(－2))′);

f=iztrans(F)；運行結(jié)果如下：

f=－5+5*2∧n

即

f(n)=5·2n－5

結(jié)果與例5-10的理論計算相同。

2)用MATLAB的長除函數(shù)impz來求

在MATLAB中，用長除法求Z反變換的指令是impz。在計算之前，應先把有理分式F(z)的分子、分母多項式用z的負冪形式表示，即

(5-39)式(5-39)中，a0≠0，但b0、b1等有可能為零。利用分子系數(shù)向量b和分母系數(shù)向量a求反變換f(n)在各處的值用impz指令，基本格式是

impz(b，a)

該指令使用的參數(shù)請查閱impz幫助文件。

例5-20

求例5-12中的Z反變換f(n)。

解

MATLAB程序為

b=［100］；

a=［1-21］；

［fn，n］=impz(b，a，50)；

%取50點樣值

stem(n，fn)； %畫出f(n)的波形(如圖5-9所示)

由圖5-9可見，序列圖形與例5-12的理論計算結(jié)果一致。圖5-9例5-12的序列f(n)

3)用部分分式展開法求Z反變換

離散系統(tǒng)的z域表達式通常用如下有理分式來表述：

MATLAB信號處理工具箱提供了一個對上式進行部分分式展開的函數(shù)residuez，其調(diào)用形式為

［r,p,k］=residuez(num,den)式中，num和den分別為F(z)的分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量，r為部分分式的系數(shù)向量，p為極點向量，k為多項式的系數(shù)向量。也就是說，借助于residuez函數(shù)，可以將上述分式F(z)展開為

例5-21

利用MATLAB計算的部分分式展開式(例5-10)，再寫出其反變換f(n)。

解先將F(z)寫成分子分母按z的降冪次排列：MATLAB程序為

num=［111］；

den=［132］；

［r，p，k］=residuez(num，den)；

運行結(jié)果為

r=［1.5000-1.0000］T

p=［-2-1］T

k=0.5000所以，F(xiàn)(z)的部分分式展開表達式為

Z反變換為

可見用MATLAB計算和用理論計算(例5-10)的結(jié)果相同。

例5-22

用MATLAB的部分分式展開函數(shù)residuez展開

解先將F(z)寫成分子分母按z的降冪次排列：MATLAB程序為

num=［1］；

den=［1-21］；

［r，p，k］=residuez(num，den)；

運行結(jié)果為

r=［01］

p=［11］

k=［］從運行結(jié)果中可以看出，p(1)=p(2)，說明這個系統(tǒng)有一個二重極點p1,2＝1，而r(1)為一階極點的系數(shù)，r(2)為二階極點的系數(shù)。所以，F(xiàn)(z)的部分分式展開表達式為5.5.2利用MATLAB計算H(z)的零極點與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)用有理分式表示為

(5-40)那么，系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點可以借助tf2zp函數(shù)來直接表示，其調(diào)用形式為

［z,p,k］=tf2zp(b,a)

式中，b和a分別為式(5-39)所示H(z)有理分式中分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量，該函數(shù)的作用是將H(z)有理分式轉(zhuǎn)換為用零、極點和增益常數(shù)組成的表示式，即

(5-41)

例5-23

已知離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

試繪出系統(tǒng)的零、極點分布圖并求單位序列響應h(n)。

解方法一：用系統(tǒng)函數(shù)變換函數(shù)［z,p,k］=tf2zp(b,a)求零、極點。首先把系統(tǒng)函數(shù)改寫成式(5-40)的形式：再用tf2zp函數(shù)求系統(tǒng)的零、極點，MATLAB程序為

b=［121］；

a=［1-0.5-0.0050.3］；

［z，p，k］=tf2zp(b，a)；[ZK)]

運行結(jié)果為

z=［－1，－1］T

p=［0.5198+0.5346i，0.5198-0.5346i，-0.5396］T

k=1方法二：已知H(z)，若要獲得系統(tǒng)的零、極點分布圖，可直接應用zplane函數(shù)，其調(diào)用形式為

zplane(b，a)

該函數(shù)直接在z平面上畫出單位圓及系統(tǒng)的零極點。H(z)可表示為

MATLAB程序為

b=［0121］；

a=［1-0.5-0.0050.3］；

figure(1)

zplane(b，a)； %畫零極點分布和單位圓

holdon

h=impz(b，a)； %求單位序列響應h(n)

figure(2)

stem(h)； %畫單位序列響應圖

運行結(jié)果如圖5-10所示。圖5-10例