第六講有理數(shù)的加減法提升【課程解讀】————初中課程解讀————初中課程1.理解有理數(shù)的加法法則、減法法則、運(yùn)算律；2.熟練掌握有理數(shù)加減法的混合運(yùn)算，總結(jié)計(jì)算技巧；3.復(fù)習(xí)絕對(duì)值的幾何意義，絕對(duì)值與有理數(shù)的混合運(yùn)算的綜合運(yùn)用；4.理解有理數(shù)的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用；5.有理數(shù)混合運(yùn)算與數(shù)軸的綜合運(yùn)用；【知識(shí)銜接】————初中知識(shí)與典例鏈接————1、有理數(shù)加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；②異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí),和為0；絕對(duì)值不等時(shí),取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；③一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)．注：一個(gè)有理數(shù)由符號(hào)和絕對(duì)值兩部分組成，所以進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，必須分別確定和的符號(hào)和絕對(duì)值．計(jì)算技巧：“先算符號(hào)”，“再算絕對(duì)值”2、有理數(shù)加法運(yùn)算律（1）加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。符號(hào)語(yǔ)言：a＋b＝b＋a；加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。符號(hào)語(yǔ)言：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．由此可見(jiàn)，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算．這是一道有理數(shù)的加減混合運(yùn)算題，你會(huì)做嗎？探究歸納：（1）上題可以按照運(yùn)算順序，從左到右逐一加以計(jì)算；（2）上題通常也可以用有理數(shù)減法法則，把它改寫(xiě)：統(tǒng)一為只有加法運(yùn)算的和式．把加減法統(tǒng)一寫(xiě)成加法的式子，有時(shí)也叫做代數(shù)和．（3）在一個(gè)和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)，省略不寫(xiě)．如上式可寫(xiě)成省略加號(hào)的和的形式：﹣8＋10－6－4.象這樣的式子仍看作和式，讀作“負(fù)8、正10、負(fù)6、負(fù)4的和”，按運(yùn)算意義也可讀作“負(fù)8加10減6減4”，在這里把除第一個(gè)數(shù)外的數(shù)字前面的符號(hào)都可看作為運(yùn)算符號(hào)，又可看作性質(zhì)符號(hào)，這樣，性質(zhì)符號(hào)與運(yùn)算符號(hào)既有區(qū)別，又有聯(lián)系，有時(shí)可以互相轉(zhuǎn)化?！踔兄仉y點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)鏈接————【難點(diǎn)1有理數(shù)混合運(yùn)算】計(jì)算：﹣12＋6－8＋6（2）﹣7＋13－6＋20（3）﹣3－（﹣4）＋5－6（4）（5）（6）（8）【答案】（1）﹣8；（2）20；（3）0；（4）；（5）﹣10；（6）2；（7）﹣2；（8）22；【解析】（1）原式＝﹣12－8＋6＋6＝﹣8；（2）原式＝﹣7－6＋13＋20＝20；（3）原式＝﹣3＋4＋5－6＝0；（4）原式＝＝；（5）原式＝＝﹣1－9＝﹣10；（6）原式＝＝1－1＋2＝2；（7）原式＝＝﹣8＋6＝﹣2；（8）原式＝16－3－8＋12＋5＝22；【難點(diǎn)2絕對(duì)值的幾何意義與有理數(shù)的混合運(yùn)算】①絕對(duì)值的幾何意義：指的是數(shù)a到數(shù)b的距離；注意兩數(shù)之間的符號(hào)是“－”號(hào)②化簡(jiǎn)絕對(duì)值時(shí)，先判斷絕對(duì)值里的符號(hào)，如果是正，直接加括號(hào)，代入計(jì)算；如果是負(fù)，加括號(hào)，并改變絕對(duì)值前面的符號(hào)1.化簡(jiǎn)：(1)若1﹤x﹤2,則|x1|+|x2|=.(2)已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖,試化簡(jiǎn)代數(shù)式：|a|－|a+b|+|c－a|+|b－c|【答案】（1）1；（2）2c－a【解析】（1）∵1＜x＜2∴x－1＞0，x－2＜0∴原式＝x－1－（x－2）＝x－1－x＋2＝1如數(shù)軸可知，a＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0∴原式＝﹣a＋（a＋b）＋（c－a）－（b－c）＝﹣a＋a＋b＋c－a－b＋c＝2c－a思路點(diǎn)撥：化簡(jiǎn)絕對(duì)值，第一步判斷正負(fù)，第二步去絕對(duì)值，正不變，負(fù)變號(hào)，第三步，去括號(hào)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|ab|．

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：

①數(shù)軸上表示3和6兩點(diǎn)之間的距離是______，數(shù)軸上表示1和5的兩點(diǎn)之間的距離是______．

②數(shù)軸上表示x和2的兩點(diǎn)之間的距離表示為_(kāi)_____．?dāng)?shù)軸上表示x和7的兩點(diǎn)之間的距離表示為_(kāi)_____．

③若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x2|+|x+4|的最小值=______．

④若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x+1|+|x4|=5，則滿足條件的所有整數(shù)x的是______．

⑤若x表示一個(gè)有理數(shù)，當(dāng)x為_(kāi)_____，式子|x+2|+|x|+|x5|有最小值為_(kāi)_____．【答案】（1）3；6；（2）；；（3）6；（4）﹣1,0,1,2,3,4；（5）0；7【解析】（1）6－3＝3；1－（﹣5）＝6；（2）＝；；（3）原式＝，可以看成是在求解，數(shù)軸上點(diǎn)x到2與x到﹣4的距離和，如下圖所示，當(dāng)x在﹣4和2之間時(shí)，距離最短，等于2－（﹣4）＝6（4）原式＝＝5，就是點(diǎn)x到﹣1和到4的距離和等于5，則x應(yīng)該在﹣1到4之間的點(diǎn)，題目要求所有整數(shù)，所以是﹣1,0,1,2,3,4；（5）原式＝，就是求到﹣2，到0，到5三個(gè)點(diǎn)距離和最小的點(diǎn)，根據(jù)上兩問(wèn)可以知道，點(diǎn)x在﹣2和5之間，x到﹣2和到5的距離和最小，還需要再加一個(gè)到0的距離，所以x在0時(shí)，到三個(gè)點(diǎn)的距離最小思路點(diǎn)撥：①數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式就是兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的絕對(duì)值，如果一直大小，則用數(shù)軸右側(cè)的點(diǎn)減去左側(cè)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；②求一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離和最小，則該點(diǎn)在另兩個(gè)點(diǎn)之間的所有點(diǎn)，且最小值等于另兩個(gè)點(diǎn)的距離；③求一個(gè)點(diǎn)到另外三個(gè)點(diǎn)的距離和最小，則該點(diǎn)在另三點(diǎn)的中間那個(gè)點(diǎn)的位置，最小值等于兩端兩點(diǎn)的距離；即先將三點(diǎn)進(jìn)行從小到大排序，取中間點(diǎn)，即所求點(diǎn)，再計(jì)算兩端點(diǎn)間的距離即為最小值。3.點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距AB=|ab|.回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是________,數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是________。(2)數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離表示為_(kāi)_________.(3)若表示一個(gè)有理數(shù),則有最小值=，此時(shí)符合條件的整數(shù)有(4)的最小值=【答案】（1）3；4；（2）；（3）4；1，0，﹣1，﹣2，﹣3；（4）7；【解析】（1）5－2＝3；1－（﹣3）＝4；（2）＝；（3）原式＝，求點(diǎn)到1和﹣3的距離最小值，則當(dāng)x在1和﹣3之間任意位置即可，最小值＝1－（﹣3）＝4；整數(shù)解為：1，0，﹣1，﹣2，﹣3；（4）原式＝，求點(diǎn)到﹣1,3,6的距離和最小值，中間點(diǎn)為3，所以x＝3，最小值＝6－（﹣1）＝7；4.我們知道，表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A、B，分別用a，b表示，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離為AB=|a—b|．(思考一下，為什么？)，利用此結(jié)論，回答以下問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示－2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是．(2)若，則x＝______．(3)的最小值是；（4）的最小值是．【答案】（1）3；4；（2）；（3）5；（4）7；【解析】（1）＝3；＝4；（2）由等式可知，求x到2的距離是3的點(diǎn)是﹣1或5，位置如下圖所示；原式＝，求點(diǎn)到﹣2和3的距離最小值，則當(dāng)x在﹣2和3之間任意位置即可，最小值＝3－（﹣2）＝5；原式＝，求點(diǎn)到﹣1,2,6的距離和最小值，中間點(diǎn)為2，所以當(dāng)x＝2時(shí)，最小值＝6－（﹣1）＝7；【難點(diǎn)3有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】1.南朗鎮(zhèn)出租車(chē)司機(jī)小李，一天下午以車(chē)站為出發(fā)點(diǎn)，在南北走向的路上營(yíng)運(yùn)，如果規(guī)定向北為正，向南為負(fù)，他這天下午行車(chē)?yán)锍蹋▎挝唬呵祝┤缦拢?11，﹣2，+9，﹣6，+10，﹣14，﹣8，+12，+7，﹣5，+3（1）將最后一名乘客送到目的地時(shí)，小李距下午出車(chē)時(shí)的出發(fā)車(chē)站多遠(yuǎn)？在車(chē)站的什么方向？（2）若每千米的價(jià)格為3元，這天下午小李的營(yíng)業(yè)額是多少？【答案】（1）17，北；（2）261元【解析】（1）＋11＋（﹣2）＋9＋（﹣6）＋10＋（﹣14）＋（﹣8）＋12＋7＋（﹣5）＋3＝11－2＋9－6＋10－14－8＋12＋7－5＋3＝＋17；所以在車(chē)站的北方；（2）11＋2＋9＋6＋10＋14＋8＋12＋7＋5＋3＝87千米；87×3＝261元思路點(diǎn)撥：此題注意什么時(shí)候帶符號(hào)計(jì)算，什么時(shí)候不需要帶符號(hào)計(jì)算；當(dāng)問(wèn)方向有關(guān)的問(wèn)題，都是需要帶符號(hào)的，符號(hào)代表的是方向，當(dāng)問(wèn)行程時(shí)，與方向無(wú)關(guān)，不需要帶符號(hào)。2.某檢修小組從A地出發(fā)，在東西方向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中七次行駛紀(jì)錄如下（單位：千米）：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次3+89+10+462求收工時(shí)距A地多遠(yuǎn)？

（2）在第______次紀(jì)錄時(shí)距A地最遠(yuǎn)．

（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需8元，問(wèn)檢修小組工作一天需汽油費(fèi)多少元？【答案】（1）2；（2）五；（3）67.2元；【解析】（1）﹣3＋8＋（﹣9）＋10＋4＋（﹣6）＋（﹣2）＝＋2；所以A地2千米；（2）第一次：﹣3；第二次：﹣3＋8＝5；第三次：﹣3＋8－9＝﹣4；第四次：﹣3＋8－9＋10＝6；第五次：﹣3＋8－9＋10＋4＝10；第六次：﹣3＋8－9＋10＋4－6＝4；第七次：﹣3＋8－9＋10＋4－6－2＝2；綜上第五天距A地最遠(yuǎn)，為10千米；（3）3＋8＋9＋10＋4＋6＋2＝42千米；42×0.2＝8.4升；8.4×8＝67.2元；2.某自行車(chē)廠一周計(jì)劃生產(chǎn)1400輛自行車(chē)，平均每天生產(chǎn)200輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：星期一二三四五六日增減+4﹣2﹣5+13﹣11+17﹣9（1）根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)輛；（2）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；（3）該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一輛車(chē)可得60元，若超額完成任務(wù)，則超過(guò)部分每輛另獎(jiǎng)15元；少生產(chǎn)一輛扣15元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？【答案】（1）597；（2）28輛；（3）84525元；【解析】（1）法一：第一天：204；第二天：198；第三天：195；204＋198＋195＝597輛；法二：200×3＋4－2－5＝597輛；（2）法一：產(chǎn)量最多為第六天：200＋17＝217輛；產(chǎn)量最小為第五天：200－11＝189輛；217－189＝28輛；法二：17－（﹣11）＝28輛；（3）法一：4－2－5＋13－11＋17－9＝7輛，由題意知，超產(chǎn)一輛車(chē)實(shí)際可得75元，所以1400×60＋75×7＝84525元；法二：60×（1400＋7）＋7×15＝84525元；思路點(diǎn)撥：①每天都有產(chǎn)能標(biāo)準(zhǔn)為200，所以表格中的增減是根據(jù)200浮動(dòng)的，彼此間沒(méi)有聯(lián)系，與股票類(lèi)問(wèn)題不一樣；②本題最后一問(wèn)為每周計(jì)件工資制，與每天計(jì)件工資制不一樣③超過(guò)任務(wù)的自行車(chē)每輛價(jià)值是60元＋獎(jiǎng)勵(lì)15元，不要當(dāng)成多生產(chǎn)的就是15元一輛；注意理解一下法一與法二的區(qū)別?！倦y點(diǎn)4數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】動(dòng)點(diǎn)鋪墊：①動(dòng)點(diǎn)三要素：起點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向、運(yùn)動(dòng)速度②動(dòng)點(diǎn)該如何表示：起點(diǎn)位置±速度×?xí)r間；（其中±看方向而定，在數(shù)軸上，向右＋，向左－）③數(shù)軸上描述兩點(diǎn)間距離用右側(cè)的點(diǎn)減去左側(cè)的點(diǎn)，不用絕對(duì)值表示，如果遇到不確定左右的，分類(lèi)討論1.如圖，是一個(gè)半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，現(xiàn)將圓片上的點(diǎn)A放在原點(diǎn)，并把圓片沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)1周，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A′的位置，則點(diǎn)A′表示的數(shù)是．【答案】±2π【解析】路程＝周長(zhǎng)＝πd＝2π，因?yàn)轭}目沒(méi)有明確方向，所以需要分類(lèi)，向左：0－2π＝﹣2π；向右：0＋2π＝2π；思路點(diǎn)撥：①注意圓滾動(dòng)一周實(shí)際走的路程是它的周長(zhǎng)；②解析中0－2π中的0指的是點(diǎn)A的起點(diǎn)位置，如果A在其他位置，只要將0改成對(duì)應(yīng)的數(shù)即可，這是動(dòng)點(diǎn)的思想；2.已知數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，分別代表12，5，5，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，甲的速度是每秒2個(gè)單位，乙的速度是每秒3個(gè)單位

（1）若甲、乙相向而行，問(wèn)甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？

（2）若甲、乙相向而行，問(wèn)多少秒后甲到A，B，C的距離和為20個(gè)單位？

（3）在（2）的條件下，當(dāng)甲到A，B，C的距離和為20個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回，問(wèn)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）5.2；（2）2或5；（3）﹣22；【解析】（1）5－（﹣12）＝17；17÷5＝3.4；﹣12＋3.4×2＝﹣5.2甲對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣12＋2t1°當(dāng)甲在AB段時(shí)（0＜t≤3.5）：A甲：﹣12＋2t－（﹣12）＝2tB甲：﹣5－（﹣12＋2t）＝7－2tC甲：5－（﹣12＋2t）＝17－2t所以2t＋7－2t＋17－2t＝20；t＝22°當(dāng)甲在BC段時(shí)（3.5＜t≤8.5）：A甲：﹣12＋2t－（﹣12）＝2tB甲：﹣12＋2t－（﹣5）＝2t－7C甲：5－（﹣12＋2t）＝17－2t所以2t＋2t－7＋17－2t＝20；t＝53°當(dāng)甲在C的右側(cè)時(shí)，不存在綜上：t＝2或5當(dāng)t＝2時(shí)，甲對(duì)應(yīng)：﹣8，乙對(duì)應(yīng)：﹣1；此時(shí)甲向左，乙還是向左；從甲調(diào)頭，設(shè)此后運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m，則甲：﹣8－2m；乙：﹣1－3m因?yàn)橄嘤?，所以?－2m＝﹣1－3m；m＝7甲：﹣8－2m＝﹣8－2×7＝﹣22當(dāng)t＝5時(shí)，甲對(duì)應(yīng)：﹣2；乙對(duì)應(yīng)﹣10；此時(shí)甲向左，乙還是向左，但甲的速度小于乙的速度，所以追不上乙，所以不可能相遇。3.已知數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為28個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，距離原點(diǎn)8個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)．（2）數(shù)軸上點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)C處追上了點(diǎn)A，求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．（3）已知，數(shù)軸上點(diǎn)M從點(diǎn)A向左出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B向左出發(fā)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，經(jīng)t秒后點(diǎn)M、N、O（O為原點(diǎn)）其中的一點(diǎn)恰好到另外兩點(diǎn)的距離相等，求t的值．【答案】（1）A：﹣8；B：20；（2）﹣22；（3）t＝4或16【解析】（1）A：0－8＝﹣8；B：﹣8＋28＝20A：﹣8－t；B：20－3t﹣8－t＝20－3t；t＝14﹣8－t＝﹣8－14＝﹣22M：﹣8－t；N：20－2t；O：01°如下圖，當(dāng)O是中點(diǎn)時(shí)：（﹣8－t＋20－2t）÷2＝0；t＝42°如下圖，