2025年中考試卷：幾何圖形強(qiáng)化訓(xùn)練——立體幾何中的截面與投影定理考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在一個(gè)三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=2，若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，那么三棱錐P-ABC的體積是（）。A.2√2B.√6C.√3D.√22.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，若將這個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)扇形，那么這個(gè)扇形的圓心角是（）。A.90°B.120°C.180°D.240°3.在一個(gè)長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，若沿著長(zhǎng)方體的對(duì)角線將其切成兩個(gè)完全相同的四棱錐，那么每個(gè)四棱錐的體積是（）。A.(abc)/4B.(abc)/2C.(abc)/6D.(abc)/84.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為2，若將其截去一個(gè)角，使得截面是一個(gè)等邊三角形，那么剩余部分的體積是（）。A.4√3B.4√2C.8√3D.8√25.在一個(gè)直三棱柱中，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，高為3，那么這個(gè)直三棱柱的表面積是（）。A.18B.24C.30D.366.一個(gè)球的半徑為3，若將其切掉一個(gè)四分之一球，那么剩余部分的表面積是（）。A.18πB.24πC.30πD.36π7.在一個(gè)圓錐中，底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，若將這個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)扇形，那么這個(gè)扇形的面積是（）。A.15πB.20πC.25πD.30π8.在一個(gè)正四棱臺(tái)中，底面邊長(zhǎng)為2，高為3，那么這個(gè)正四棱臺(tái)的體積是（）。A.12B.16C.20D.249.一個(gè)圓柱的底面半徑為3，高為5，若將這個(gè)圓柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)矩形，那么這個(gè)矩形的面積是（）。A.15πB.20πC.25πD.30π10.在一個(gè)三棱臺(tái)中，上底面的邊長(zhǎng)分別為2、3、4，下底面的邊長(zhǎng)分別為3、4、5，高為2，那么這個(gè)三棱臺(tái)的體積是（）。A.10B.12C.14D.16二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。）1.在一個(gè)正方體中，若將其截去一個(gè)角，使得截面是一個(gè)等邊三角形，那么剩余部分的體積是正方體體積的幾分之幾？2.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，若將這個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)扇形，那么這個(gè)扇形的圓心角是多少度？3.在一個(gè)直三棱柱中，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，高為3，那么這個(gè)直三棱柱的表面積是多少？4.一個(gè)球的半徑為3，若將其切掉一個(gè)四分之一球，那么剩余部分的表面積是多少？5.在一個(gè)正四棱臺(tái)中，底面邊長(zhǎng)為2，高為3，那么這個(gè)正四棱臺(tái)的體積是多少？三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）1.在一個(gè)三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=2，若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求三棱錐P-ABC的體積。解：首先，我們?nèi)C的中點(diǎn)D，連接PD，由于D是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC=1。接著，我們可以通過勾股定理計(jì)算出PD的長(zhǎng)度。在三角形PBD中，根據(jù)勾股定理，我們有PD=√(PB^2-BD^2)=√(2^2-1^2)=√3。由于PD垂直于平面BCD，我們可以將三棱錐P-ABC的體積分解為兩個(gè)小三棱錐P-BCD和P-ABD的體積之和。由于三角形BCD是等邊三角形，其面積S_BCD=√3/4*BC^2=√3/4*2^2=√3。因此，小三棱錐P-BCD的體積V_PBCD=1/3*S_BCD*PD=1/3*√3*√3=1。同理，小三棱錐P-ABD的體積V_PABD也等于1。所以，三棱錐P-ABC的體積V_PABC=V_PBCD+V_PABD=1+1=2。2.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，將這個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)扇形，求這個(gè)扇形的圓心角。解：首先，我們知道圓錐的側(cè)面展開后得到的扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)。圓錐底面的周長(zhǎng)C=2πr=2π*3=6π。設(shè)扇形的圓心角為θ，扇形的半徑為圓錐的母線長(zhǎng)，即5。根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=θr，我們有6π=θ*5，解得θ=6π/5=72°。所以，這個(gè)扇形的圓心角是72°。3.在一個(gè)長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，若沿著長(zhǎng)方體的對(duì)角線將其切成兩個(gè)完全相同的四棱錐，求每個(gè)四棱錐的體積。解：首先，我們可以通過勾股定理計(jì)算出長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)度。設(shè)長(zhǎng)方體對(duì)角線為d，根據(jù)勾股定理，我們有d=√(a^2+b^2+c^2)。由于沿著對(duì)角線切割，每個(gè)四棱錐的底面是一個(gè)直角三角形，其兩條直角邊分別為a和b，斜邊為d。根據(jù)勾股定理，我們可以計(jì)算出這個(gè)直角三角形的面積S=1/2*a*b。由于四棱錐的高等于長(zhǎng)方體的第三條棱c，所以每個(gè)四棱錐的體積V=1/3*S*c=1/3*1/2*a*b*c=abc/6。所以，每個(gè)四棱錐的體積是abc/6。4.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為2，若將其截去一個(gè)角，使得截面是一個(gè)等邊三角形，求剩余部分的體積。解：首先，我們可以通過幾何關(guān)系計(jì)算出截去部分的體積。由于截面是一個(gè)等邊三角形，其邊長(zhǎng)等于正方體的棱長(zhǎng)，即2。根據(jù)等邊三角形的面積公式S=√3/4*a^2，我們可以計(jì)算出截面的面積S=√3/4*2^2=√3。由于截去的是一個(gè)角，所以截去部分的體積等于截面的面積乘以正方體的棱長(zhǎng)，即V_截去部分=S*2=√3*2=2√3。因此，剩余部分的體積V_剩余=V_正方體-V_截去部分=8-2√3。所以，剩余部分的體積是8-2√3。5.在一個(gè)直三棱柱中，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，高為3，求這個(gè)直三棱柱的表面積。解：首先，我們可以計(jì)算出底面的面積。由于底面是一個(gè)等邊三角形，其面積S_底面=√3/4*a^2=√3/4*2^2=√3。由于直三棱柱有兩個(gè)底面，所以兩個(gè)底面的面積之和為2*S_底面=2√3。接下來，我們計(jì)算側(cè)面的面積。側(cè)面由三個(gè)矩形組成，每個(gè)矩形的寬等于底面的邊長(zhǎng)，即2，高等于直三棱柱的高，即3。所以，每個(gè)矩形的面積S_側(cè)面=2*3=6。因此，三個(gè)矩形的面積之和為3*S_側(cè)面=3*6=18。所以，直三棱柱的表面積S_表面積=2*S_底面+3*S_側(cè)面=2√3+18。所以，這個(gè)直三棱柱的表面積是2√3+18。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：首先取BC的中點(diǎn)D，連接PD，由于D是BC的中點(diǎn)，BD=DC=1。接著在三角形PBD中，根據(jù)勾股定理，PD=√(PB^2-BD^2)=√(2^2-1^2)=√3。由于PD垂直于平面BCD，可以將三棱錐P-ABC的體積分解為小三棱錐P-BCD和P-ABD。三角形BCD是等邊三角形，面積S_BCD=√3/4*2^2=√3。因此V_PBCD=1/3*√3*√3=1。同理V_PABD也等于1。所以V_PABC=2。2.C解析：圓錐側(cè)面展開扇形弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，即6π。設(shè)圓心角為θ，半徑為5，根據(jù)l=θr，6π=5θ，解得θ=6π/5=120°。所以圓心角是120°。3.A解析：長(zhǎng)方體對(duì)角線d=√(a^2+b^2+c^2)。沿著對(duì)角線切割，每個(gè)四棱錐底面是直角三角形，面積S=1/2*a*b。四棱錐高為c。所以V=1/3*1/2*a*b*c=abc/6。4.C解析：截面等邊三角形邊長(zhǎng)為2，面積S=√3/4*2^2=√3。截去部分體積V_截去部分=S*2=2√3。正方體體積為8。所以剩余體積V_剩余=8-2√3。5.B解析：底面等邊三角形面積S_底面=√3/4*2^2=√3。兩個(gè)底面面積2√3。側(cè)面是三個(gè)矩形，每個(gè)面積6?？倐?cè)面積18。所以表面積S=2√3+18。6.B解析：球半徑為3，四分之一球表面積是1/4*4π*3^2+1/4*2π*3^2=9π+3π=12π。但題目要求的是剩余部分表面積，即3/4*4π*3^2=36π-12π=24π。7.A解析：扇形面積S=1/2*6π*5=15π。所以扇形面積是15π。8.A解析：正四棱臺(tái)體積V=(1/3)*(S_上+√S_上S_下+S_下)*h。這里S_上=2^2=4，S_下=4^2=16。V=(1/3)*(4+√4*16+16)*3=(1/3)*(4+8+16)*3=12*3=36。但需要注意到題目描述可能是正四棱錐，如果按正四棱錐計(jì)算V=(1/3)*4*3=12。9.B解析：圓柱側(cè)面展開矩形面積S=底面周長(zhǎng)*高=2π*3*5=30π。所以矩形面積是30π。10.B解析：三棱臺(tái)體積V=(1/3)*h*(S_上+√S_上S_下+S_下)。這里需要先計(jì)算上下底面面積。上底周長(zhǎng)2+3+4，可以構(gòu)成三角形。下底周長(zhǎng)3+4+5，也可以構(gòu)成三角形。但這里題目沒有明確三角形形狀，如果按等邊三角形計(jì)算，S_上=√3/4*2^2=√3，S_下=√3/4*3^2=9√3/4。V=(1/3)*2*(√3+√(√3*9√3/4)+9√3/4)=2/3*(√3+3+9√3/4)=2/3*(12√3/4+3)=8√3/3+2=12。二、填空題答案及解析1.7/8解析：正方體體積8，截去部分體積2√3。剩余體積8-2√3。所以剩余體積占比(8-2√3)/8=1-√3/4≈0.866。更精確計(jì)算(8-2√3)/8=1-√3/4=7-2√3/8。2.216°解析：圓錐側(cè)面展開扇形弧長(zhǎng)6π，半徑5。θ=6π/5*180°/π=216°。3.24+6√3解析：底面面積√3。側(cè)面積3*2*3=18。總表面積√3+18。4.24π解析：四分之一球剩余部分表面積36π-12π=24π。5.20解析：正四棱臺(tái)體積V=(1/3)*(4+8+16)*3=36。如果按正四棱錐計(jì)算V=(1/3)*4*3=12。三、解答題答案及解析1.在一個(gè)三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=BC=2，若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求三棱錐P-ABC的體積。解：首先取BC的中點(diǎn)D，連接PD。由于D是BC的中點(diǎn)，BD=DC=1。接著在三角形PBD中，根據(jù)勾股定理，PD=√(PB^2-BD^2)=√(2^2-1^2)=√3。由于PD垂直于平面BCD，可以將三棱錐P-ABC的體積分解為小三棱錐P-BCD和P-ABD。三角形BCD是等邊三角形，面積S_BCD=√3/4*2^2=√3。因此V_PBCD=1/3*√3*√3=1。同理V_PABD也等于1。所以V_PABC=2。2.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，將這個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)扇形，求這個(gè)扇形的圓心角。解：首先，我們知道圓錐的側(cè)面展開后得到的扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)。圓錐底面的周長(zhǎng)C=2πr=2π*3=6π。設(shè)扇形的圓心角為θ，扇形的半徑為圓錐的母線長(zhǎng)，即5。根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=θr，我們有6π=θ*5，解得θ=6π/5=72°。所以，這個(gè)扇形的圓心角是72°。3.在一個(gè)長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，若沿著長(zhǎng)方體的對(duì)角線將其切成兩個(gè)完全相同的四棱錐，求每個(gè)四棱錐的體積。解：首先，我們可以通過勾股定理計(jì)算出長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)度。設(shè)長(zhǎng)方體對(duì)角線為d，根據(jù)勾股定理，我們有d=√(a^2+b^2+c^2)。由于沿著對(duì)角線切割，每個(gè)四棱錐的底面是一個(gè)直角三角形，其兩條直角邊分別為a和b，斜邊為d。根據(jù)勾股定理，我們可以計(jì)算出這個(gè)直角三角形的面積S=1/2*a*b。由于四棱錐的高等于長(zhǎng)方體的第三條棱c，所以每個(gè)四棱錐的體積V=1/3*S*c=1/3*1/2*a*b*c=abc/6。所以，每個(gè)四棱錐的體積是abc/6。4.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為2，若將其截去一個(gè)角，使得截面是一個(gè)等邊三角形，求剩余部分的體積。解：首先，我們可以通過幾何關(guān)系計(jì)算出截去部分的體積。由于截面是一個(gè)等邊三角形，其邊長(zhǎng)等于正方體的棱長(zhǎng)，即2。根據(jù)等邊三角形的面積公式S=√3/4*a^2，我們可以計(jì)算出截面的面積S=√3/4*2^2=√3。由于截去的是一個(gè)角，所以截去部分的體積等于截面的面積乘以正方體的棱長(zhǎng)，即V_截去部分=S*2=√3*2=2√3。因此，剩余部分的體積V_剩余=V_正方體-V_截去部分=8-2√3。所以，剩余部分的體積是8-2√3。5.在一個(gè)直三棱柱中，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，高為3，求這個(gè)直三棱