2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：卡方檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)推斷的聯(lián)系與區(qū)別試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.卡方檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，下列哪種情況最適合使用卡方檢驗(yàn)？（）A.檢驗(yàn)一個(gè)連續(xù)變量的均值差異B.檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間的獨(dú)立性C.檢驗(yàn)一個(gè)分類變量的頻率分布是否符合預(yù)期D.檢驗(yàn)兩個(gè)連續(xù)變量之間的相關(guān)性2.在卡方檢驗(yàn)中，自由度的計(jì)算公式是（）A.行數(shù)加列數(shù)減1B.行數(shù)乘列數(shù)C.行數(shù)減列數(shù)D.總樣本量減13.如果卡方檢驗(yàn)的p值小于0.05，我們通常會(huì)做出怎樣的結(jié)論？（）A.兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)聯(lián)性B.兩個(gè)分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性C.數(shù)據(jù)不符合卡方檢驗(yàn)的假設(shè)D.需要更大的樣本量才能得出結(jié)論4.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5，我們應(yīng)該采取什么措施？（）A.直接進(jìn)行卡方檢驗(yàn)B.將該單元格與相鄰單元格合并C.使用費(fèi)舍爾精確檢驗(yàn)D.增加樣本量5.卡方檢驗(yàn)的假設(shè)條件之一是樣本量足夠大，通常要求每個(gè)單元格的期望頻數(shù)至少為（）A.1B.5C.10D.206.在卡方檢驗(yàn)中，如果檢驗(yàn)結(jié)果是顯著的，那么我們可以得出（）A.兩個(gè)分類變量之間存在線性關(guān)系B.兩個(gè)分類變量之間存在非線性關(guān)系C.兩個(gè)分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性D.兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)聯(lián)性7.卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量公式是（）A.Σ(觀察頻數(shù)-期望頻數(shù))^2/期望頻數(shù)B.Σ(觀察頻數(shù)-期望頻數(shù))/期望頻數(shù)C.(觀察頻數(shù)-期望頻數(shù))^2/總樣本量D.Σ(觀察頻數(shù)/總樣本量)8.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，如果樣本量較小，我們應(yīng)該采取什么措施？（）A.直接進(jìn)行卡方檢驗(yàn)B.使用費(fèi)舍爾精確檢驗(yàn)C.增加樣本量D.使用t檢驗(yàn)9.卡方檢驗(yàn)的p值表示的是（）A.觀察到的關(guān)聯(lián)性的概率B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率C.兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)聯(lián)性的概率D.兩個(gè)分類變量之間存在顯著關(guān)聯(lián)性的概率10.在卡方檢驗(yàn)中，如果檢驗(yàn)結(jié)果是不顯著的，那么我們可以得出（）A.兩個(gè)分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性B.兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)聯(lián)性C.數(shù)據(jù)不符合卡方檢驗(yàn)的假設(shè)D.需要更大的樣本量才能得出結(jié)論二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.請(qǐng)簡(jiǎn)述卡方檢驗(yàn)的基本原理。2.在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，為什么需要滿足樣本量足夠大的假設(shè)條件？3.請(qǐng)舉例說明卡方檢驗(yàn)在實(shí)際研究中的應(yīng)用。4.如果卡方檢驗(yàn)的p值小于0.05，我們應(yīng)該如何解釋這個(gè)結(jié)果？5.請(qǐng)比較卡方檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)的區(qū)別和聯(lián)系。三、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。請(qǐng)將計(jì)算過程和答案寫在答題紙上。）1.假設(shè)我們調(diào)查了100名消費(fèi)者，詢問他們對(duì)兩種不同品牌（品牌A和品牌B）的偏好，結(jié)果如下表所示。請(qǐng)使用卡方檢驗(yàn)判斷兩種品牌的偏好是否存在顯著差異（α=0.05）。||喜歡品牌A|不喜歡品牌A|合計(jì)||----------|------------|--------------|----------||喜歡品牌B|30|20|50||不喜歡品牌B|10|40|50||合計(jì)|40|60|100|2.某醫(yī)生想研究?jī)煞N不同的治療方法（方法1和方法2）對(duì)某種疾病的治療效果。他收集了60名患者的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表所示。請(qǐng)使用卡方檢驗(yàn)判斷兩種治療方法的效果是否存在顯著差異（α=0.01）。||治愈|未治愈|合計(jì)||----------|--------|--------|----------||方法1|25|15|40||方法2|20|20|40||合計(jì)|45|35|80|3.一項(xiàng)調(diào)查研究了不同年齡段（年齡段1、年齡段2和年齡段3）的人群對(duì)某項(xiàng)政策的支持率，結(jié)果如下表所示。請(qǐng)使用卡方檢驗(yàn)判斷不同年齡段的群體對(duì)政策的支持率是否存在顯著差異（α=0.05）。||支持政策|不支持政策|合計(jì)||----------|----------|------------|----------||年齡段1|50|30|80||年齡段2|40|40|80||年齡段3|30|50|80||合計(jì)|120|120|240|四、論述題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.請(qǐng)結(jié)合實(shí)際生活中的例子，詳細(xì)闡述卡方檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷中的應(yīng)用價(jià)值。在闡述過程中，請(qǐng)說明卡方檢驗(yàn)如何幫助我們理解數(shù)據(jù)中的關(guān)聯(lián)性，以及如何指導(dǎo)我們做出科學(xué)決策。2.在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，我們常常需要選擇合適的檢驗(yàn)方法。請(qǐng)比較卡方檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)、ANOVA等常用檢驗(yàn)方法的特點(diǎn)和適用范圍，并說明在什么情況下我們應(yīng)該選擇卡方檢驗(yàn)而不是其他檢驗(yàn)方法。在比較過程中，請(qǐng)結(jié)合具體的研究問題，說明不同檢驗(yàn)方法的優(yōu)缺點(diǎn)。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：B解析：卡方檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，即判斷這兩個(gè)變量是否獨(dú)立。選項(xiàng)A描述的是t檢驗(yàn)的應(yīng)用場(chǎng)景，選項(xiàng)C描述的是擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的應(yīng)用場(chǎng)景，選項(xiàng)D描述的是相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景。只有選項(xiàng)B準(zhǔn)確描述了卡方檢驗(yàn)的主要用途。2.答案：A解析：卡方檢驗(yàn)的自由度計(jì)算公式是行數(shù)減1乘以列數(shù)減1。在題目中給出的選項(xiàng)中，只有A選項(xiàng)符合這個(gè)公式。3.答案：B解析：在卡方檢驗(yàn)中，p值小于0.05通常意味著我們拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性。選項(xiàng)A與p值小于0.05的含義相反，選項(xiàng)C和D描述的是其他情況。4.答案：B解析：當(dāng)某個(gè)單元格的期望頻數(shù)小于5時(shí)，直接使用卡方檢驗(yàn)可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。在這種情況下，可以將該單元格與相鄰單元格合并，以增加期望頻數(shù)。選項(xiàng)A直接進(jìn)行卡方檢驗(yàn)可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果，選項(xiàng)C和D不是解決這個(gè)問題的常用方法。5.答案：B解析：在卡方檢驗(yàn)中，通常要求每個(gè)單元格的期望頻數(shù)至少為5，以保證檢驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。選項(xiàng)A的期望頻數(shù)太小，選項(xiàng)C和D的期望頻數(shù)太大。6.答案：C解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果檢驗(yàn)結(jié)果是顯著的，即p值小于0.05，那么我們可以得出兩個(gè)分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性。選項(xiàng)A和B描述的是線性關(guān)系，選項(xiàng)D與檢驗(yàn)結(jié)果相反。7.答案：A解析：卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量公式是Σ(觀察頻數(shù)-期望頻數(shù))^2/期望頻數(shù)。在題目中給出的選項(xiàng)中，只有A選項(xiàng)符合這個(gè)公式。8.答案：B解析：當(dāng)樣本量較小時(shí)，直接使用卡方檢驗(yàn)可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。在這種情況下，可以使用費(fèi)舍爾精確檢驗(yàn)，這是一種不依賴于樣本量大小的檢驗(yàn)方法。選項(xiàng)A和C不是解決這個(gè)問題的常用方法，選項(xiàng)D描述的是另一種檢驗(yàn)方法。9.答案：C解析：卡方檢驗(yàn)的p值表示的是兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)聯(lián)性的概率。如果p值小于0.05，那么我們拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性。選項(xiàng)A和B描述的是觀察到的關(guān)聯(lián)性的概率，選項(xiàng)D與p值的含義相反。10.答案：B解析：在卡方檢驗(yàn)中，如果檢驗(yàn)結(jié)果是不顯著的，即p值大于0.05，那么我們可以得出兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)聯(lián)性。選項(xiàng)A與檢驗(yàn)結(jié)果相反，選項(xiàng)C和D描述的是其他情況。二、簡(jiǎn)答題答案及解析1.答案：卡方檢驗(yàn)的基本原理是比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異。首先，我們需要構(gòu)建一個(gè)列聯(lián)表，其中包含不同分類變量的頻數(shù)數(shù)據(jù)。然后，我們根據(jù)原假設(shè)（即兩個(gè)分類變量獨(dú)立）計(jì)算出每個(gè)單元格的期望頻數(shù)。最后，我們使用卡方統(tǒng)計(jì)量公式計(jì)算卡方值，并比較卡方值與臨界值的大小，以判斷是否拒絕原假設(shè)。解析：卡方檢驗(yàn)的核心是比較觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異。觀察頻數(shù)是實(shí)際收集到的數(shù)據(jù)，而期望頻數(shù)是根據(jù)原假設(shè)計(jì)算出的理論頻數(shù)。如果觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)之間的差異很大，那么卡方值就會(huì)很大，從而更有可能導(dǎo)致我們拒絕原假設(shè)。2.答案：在進(jìn)行卡方檢驗(yàn)時(shí)，需要滿足樣本量足夠大的假設(shè)條件，主要是因?yàn)檫@樣可以保證卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量近似服從卡方分布。如果樣本量太小，卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量可能不會(huì)很好地近似卡方分布，從而導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果不準(zhǔn)確。此外，樣本量足夠大還可以減少隨機(jī)誤差的影響，提高檢驗(yàn)的可靠性。解析：樣本量足夠大是卡方檢驗(yàn)的一個(gè)重要假設(shè)條件。這是因?yàn)榭ǚ綑z驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量近似服從卡方分布，而這個(gè)近似只有在樣本量足夠大時(shí)才成立。如果樣本量太小，卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量可能不會(huì)很好地近似卡方分布，從而導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果不準(zhǔn)確。3.答案：卡方檢驗(yàn)在實(shí)際研究中有廣泛的應(yīng)用。例如，我們可以使用卡方檢驗(yàn)來研究不同性別的人群對(duì)某項(xiàng)政策的支持率是否存在顯著差異。通過收集數(shù)據(jù)并構(gòu)建列聯(lián)表，我們可以使用卡方檢驗(yàn)來判斷不同性別之間的支持率是否存在關(guān)聯(lián)性。這種檢驗(yàn)可以幫助我們理解不同群體之間的差異，并指導(dǎo)我們做出科學(xué)決策。解析：卡方檢驗(yàn)在實(shí)際研究中有很多應(yīng)用，比如研究不同群體之間的差異。通過收集數(shù)據(jù)并構(gòu)建列聯(lián)表，我們可以使用卡方檢驗(yàn)來判斷不同群體之間的差異是否存在關(guān)聯(lián)性。這種檢驗(yàn)可以幫助我們理解數(shù)據(jù)中的關(guān)聯(lián)性，并指導(dǎo)我們做出科學(xué)決策。4.答案：如果卡方檢驗(yàn)的p值小于0.05，我們可以解釋為在顯著性水平α=0.05下，我們拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性。這意味著觀察到的關(guān)聯(lián)性不太可能是偶然發(fā)生的，而是真實(shí)存在的。這種解釋可以幫助我們理解數(shù)據(jù)中的關(guān)聯(lián)性，并指導(dǎo)我們做出科學(xué)決策。解析：如果卡方檢驗(yàn)的p值小于0.05，我們通常解釋為在顯著性水平α=0.05下，我們拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性。這種解釋意味著觀察到的關(guān)聯(lián)性不太可能是偶然發(fā)生的，而是真實(shí)存在的。5.答案：卡方檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)、ANOVA等常用檢驗(yàn)方法的主要區(qū)別在于它們的適用范圍和檢驗(yàn)?zāi)康?。卡方檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，而t檢驗(yàn)和ANOVA主要用于檢驗(yàn)連續(xù)變量之間的差異或關(guān)系。此外，卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式與其他檢驗(yàn)方法也不同。在什么情況下我們應(yīng)該選擇卡方檢驗(yàn)而不是其他檢驗(yàn)方法，主要取決于研究問題的性質(zhì)和數(shù)據(jù)類型。例如，如果我們研究的是分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，那么卡方檢驗(yàn)是合適的選擇。解析：卡方檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)、ANOVA等常用檢驗(yàn)方法的主要區(qū)別在于它們的適用范圍和檢驗(yàn)?zāi)康?。卡方檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，而t檢驗(yàn)和ANOVA主要用于檢驗(yàn)連續(xù)變量之間的差異或關(guān)系。此外，卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式與其他檢驗(yàn)方法也不同。在什么情況下我們應(yīng)該選擇卡方檢驗(yàn)而不是其他檢驗(yàn)方法，主要取決于研究問題的性質(zhì)和數(shù)據(jù)類型。例如，如果我們研究的是分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，那么卡方檢驗(yàn)是合適的選擇。三、計(jì)算題答案及解析1.答案：-觀察頻數(shù)：O=[[30,20],[10,40]]-期望頻數(shù)：E=[[25,25],[15,35]]-卡方統(tǒng)計(jì)量：χ2=Σ((O-E)2/E)=(30-25)2/25+(20-25)2/25+(10-15)2/15+(40-35)2/35=2.5+1+2.22+1.43=7.15-自由度：df=(2-1)×(2-1)=1-臨界值（α=0.05）：χ2臨界值=3.841-結(jié)論：由于7.15>3.841，我們拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩種品牌的偏好存在顯著差異。解析：首先，我們計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)。然后，我們使用卡方統(tǒng)計(jì)量公式計(jì)算卡方值。最后，我們比較卡方值與臨界值的大小，以判斷是否拒絕原假設(shè)。2.答案：-觀察頻數(shù)：O=[[25,15],[20,20]]-期望頻數(shù)：E=[[22.5,17.5],[22.5,17.5]]-卡方統(tǒng)計(jì)量：χ2=Σ((O-E)2/E)=(25-22.5)2/22.5+(15-17.5)2/17.5+(20-22.5)2/22.5+(20-17.5)2/17.5=0.69+0.91+0.69+0.91=3.2-自由度：df=(2-1)×(2-1)=1-臨界值（α=0.01）：χ2臨界值=6.635-結(jié)論：由于3.2<6.635，我們無(wú)法拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩種治療方法的效果沒有顯著差異。解析：首先，我們計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)。然后，我們使用卡方統(tǒng)計(jì)量公式計(jì)算卡方值。最后，我們比較卡方值與臨界值的大小，以判斷是否拒絕原假設(shè)。3.答案：-觀察頻數(shù)：O=[[50,30],[40,40],[30,50]]-期望頻數(shù)：E=[[40,40],[40,40],[40,40]]-卡方統(tǒng)計(jì)量：χ2=Σ((O-E)2/E)=(50-40)2/40+(30-40)2/40+(40-40)2/40+(40-40)2/40+(30-40)2/40+(50-40)2/40=1.25+1.25+0+0+1.25+1.25=5-自由度：df=(3-1)×(2-1)=2-臨界值（α=0.05）：χ2臨界值=5.991-結(jié)論：由于5<5.991，我們無(wú)法拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為不同年齡段的群體對(duì)政策的支持率沒有顯著差異。解析：首先，我們計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)。然后，我們使用卡方統(tǒng)計(jì)量公式計(jì)算卡方值。最后，我們比較卡方值與臨界值的大小，以判斷是否拒絕原假設(shè)。四、論述題答案及解析1.答案：卡方檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷中有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。例如，假設(shè)我們想研究不同性別的人群對(duì)某項(xiàng)政策的支持率是否存在顯著差異。通過收集數(shù)據(jù)并構(gòu)建列聯(lián)表，我們可以使用卡方檢驗(yàn)來判斷不同性別之間的支持率是否存在關(guān)聯(lián)性。這種檢驗(yàn)可以幫助我們理解不同群體之間的差異，并指導(dǎo)我們做出科學(xué)決策?？ǚ綑z驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式和臨界值判斷方法，可以幫助我們量化關(guān)聯(lián)性的強(qiáng)度，并提供統(tǒng)計(jì)上的證據(jù)支持我們的結(jié)論。解析：卡方檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷中的應(yīng)用價(jià)值主要體現(xiàn)在幫助我們理解數(shù)據(jù)中的關(guān)聯(lián)性，并指導(dǎo)我們做出科學(xué)決策。通過收集數(shù)據(jù)并構(gòu)建列聯(lián)表，我們可以使用卡方檢驗(yàn)來判斷不同群體之間的差異是否存在關(guān)聯(lián)性。這種檢驗(yàn)可以幫助我們理解數(shù)據(jù)中的關(guān)聯(lián)性，并指導(dǎo)