2025年高考數學立體幾何題型實戰(zhàn)演練試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知直線l和平面α，下列說法正確的是（）A.直線l與平面α有且只有一個公共點，則直線l與平面α平行B.直線l與平面α有無數個公共點，則直線l與平面α相交C.直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則直線l與平面α垂直D.直線l與平面α內的任意一條直線都不垂直，則直線l與平面α平行2.給出以下四個命題：(1)若直線a∥直線b，直線b⊥平面α，則直線a⊥平面α；(2)若直線a⊥平面α，直線b⊥平面α，則直線a∥直線b；(3)若平面α⊥平面β，直線a?平面α，則直線a⊥平面β；(4)若平面α⊥平面β，直線a⊥平面β，則直線a?平面α或直線a∥平面α。其中真命題的個數是（）A.1B.2C.3D.43.已知正方體的棱長為1，P、Q分別為正方體上、下底面的對角線的中點，則直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值等于（）A.1/2B.1/3C.√2/2D.√3/24.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形，D為AC的中點，A1D⊥BC，則A1D與平面ABC所成角的余弦值等于（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/35.已知圓錐的母線長為4，底面半徑為2，P、Q分別為母線AB和AC上的點，且AP=1，CQ=2，則三棱錐PQBC的體積等于（）A.1/3B.√2/3C.2√2/3D.√3/36.已知球的半徑為R，球面上有A、B兩點，球心O到直線AB的距離為d，則A、B兩點間的球面距離等于（）A.2arcsin(d/R)B.2arccos(d/R)C.arcsin(d/R)D.arccos(d/R)7.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則二面角D-PC-A的余弦值等于（）A.1/3B.√2/3C.2/3D.√3/38.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，AA1=1，E為棱CC1的中點，則直線A1B與平面DEB1所成角的正弦值等于（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/39.已知圓錐的軸截面為等腰直角三角形，底面半徑為1，點P為底面圓周上一點，則點P到直線PA的距離的最大值等于（）A.√2/2B.1C.√2D.√310.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，PA⊥底面ABCD，且PA=2，E為棱PC的中點，則直線PB與平面AED所成角的正弦值等于（）A.1/2B.√2/4C.√3/4D.√5/411.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1=2，D為BC的中點，E為棱A1B1的中點，則三棱錐A1-BDE的體積等于（）A.√3/6B.√3/3C.√2/3D.112.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影為垂心H，PA=PB=PC=2，則三棱錐P-ABC的外接球表面積等于（）A.4πB.8πC.12πD.16π二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡相應位置。13.已知正方體的棱長為1，E、F分別為正方體的對角線AC和BD上的點，且AE=CF=1/3，則EF與平面ABC所成角的正弦值等于。14.已知圓錐的母線長為4，底面半徑為2，P為底面圓周上一點，Q為母線SC上一點，且PQ=√6，則PQ與平面SAC所成角的余弦值等于。15.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點E在棱PC上，且PE:EC=1:2，則二面角A-PB-C的正切值等于。16.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影為垂心H，PA=PB=PC=3，則三棱錐P-ABC的內切球半徑等于。三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(10分)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點E在棱PC上，且PE:EC=1:2。求證：平面ABE⊥平面PBC。18.(12分)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點P在棱A1B上，點Q在棱C1D1上，且PQ=√2。求二面角A-PQ-B的余弦值。19.(12分)已知圓錐的母線長為4，底面半徑為2，點P、Q分別為母線AB和AC上的點，且AP=1，CQ=2，點M為底面圓周上一點。求三棱錐PQM的體積的最大值。20.(12分)已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影為垂心H，PA=PB=PC=2，點D在棱PB上，且PD=1/2PB。求三棱錐P-ABD的體積。21.(12分)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=1，E為棱PC的中點，F為棱BD的中點。求證：EF⊥平面PAC。22.(12分)已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥底面ABC，PA=2，點D為棱PC上一點。求二面角A-PC-B的大小。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.A4.D5.B6.A7.C8.A9.C10.C11.B12.B二、填空題13.√11/614.√3/315.√216.√6/3三、解答題17.證明：取BC中點F，連接EF，CF。因為ABCD是矩形，所以BC⊥AF。又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC。因為PA、BC?平面PAC，且PA∩BC=F，所以BC⊥平面PAC。因為EF?平面PBC，所以BC⊥EF。又因為PE:EC=1:2，所以EF∥AC。因為AC?平面PAC，所以EF⊥平面PAC。因為EF?平面ABE，所以平面ABE⊥平面PBC。18.解：以D為原點，建立空間直角坐標系。則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，P(1,1,t)，Q(0,1,2t)。因為PQ=√2，所以√((1-0)^2+(1-1)^2+(t-2t)^2)=√2，解得t=1。則P(1,1,1)，Q(0,1,2)。設平面PAB的法向量為n=(x,y,z)，則n⊥AB，n⊥AP，所以n·AB=0，n·AP=0。即x+y=0，x+z=0。令y=1，則x=-1，z=1，所以n=(-1,1,1)。設平面PQB的法向量為m=(a,b,c)，則m⊥PQ，m⊥PB，所以m·PQ=0，m·PB=0。即a+b+c=0，a+b-2c=0。令a=1，則b=0，c=-1，所以m=(1,0,-1)。則cos〈n,m〉=|n·m|/|n||m|=|-1|/(√3×√2)=√6/6。所以二面角A-PQ-B的余弦值為√6/6。19.解：設∠PQM=θ，則三棱錐PQM的體積V=1/3×S△PQM×PM×sinθ。因為AP=1，CQ=2，所以PQ=√(AP^2+CQ^2)=√5。設底面圓心為O，則OM⊥面PQC。因為OM=1，PQ=√5，所以PM=√(OM^2+MP^2)=√6。所以V=1/3×1/2×PQ×OM×PM×sinθ=1/6×√30×sinθ。當sinθ=1時，V取得最大值√30/6。此時，OM⊥PQ，即點M為PC的中點。20.解：因為PA=PB=PC=2，所以點P在底面ABC上的射影H為△ABC的外心。因為AB=BC=CA=2，所以H為△ABC的中心。設AH=x，則CH=x，BH=x。因為AH⊥BC，所以x^2+x^2=2^2，解得x=√2/2。所以PH=√(PA^2-AH^2)=√(4-(√2/2)^2)=√(16/4-2/4)=√(14/4)=√14/2。因為PD=1/2PB，所以PD=1。所以三棱錐P-ABD的體積V=1/3×S△ABD×PH=1/3×(1/2×2×√2)×(√14/2)=√14/6。21.證明：以D為原點，建立空間直角坐標系。則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,1)，B1(2,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，P(2,0,1)，E(1,1,1)，F(1,1,0)。則向量AC=(0,2,0)，向量PC=(-2,2,0)，向量EF=(0,0,-1)，向量PA=(0,0,1)，向量PC=(-2,2,0)。設平面PAC的法向量為n=(x,y,z)，則n⊥AC，n⊥PC，所以n·AC=0，n·PC=0。即2y=0，-2x+2y=0。令x=1，則y=0，z任意，取n=(1,0,0)。因為EF⊥n，所以EF⊥平面PAC。即EF⊥平面PAC。22.