等差數(shù)列及其前n項和第二節(jié)課程內(nèi)容要求1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能解決相應(yīng)的問題.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.CONTENTS目錄123基礎(chǔ)扎牢——基礎(chǔ)不牢·地動山搖考法研透——方向不對·努力白費思維激活——靈活不足·難得高分4課時跟蹤檢測基礎(chǔ)扎牢—基礎(chǔ)不牢·地動山搖011.等差數(shù)列的有關(guān)概念由教材回扣基礎(chǔ)定義及表示如果一個數(shù)列從________起，每一項與它的前一項的____都等于____________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.符號表示為__________

(n∈N*，d為常數(shù))等差中項數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是________，其中A叫做a，b的等差中項第2項差同一個常數(shù)an+1-an=d

2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式通項公式若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an=__________.通項公式的推廣：an=am+________

(n，m∈N*)前n項和公式Sn=_____________=_________=______________a1+(n-1)d(n-m)d

ak+al=am+an.md(1)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.(2)在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值;若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d>0時，{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時，{an}是遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時，{an}是常數(shù)列.(4)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A，B為常數(shù)，A≠0).澄清微點·熟記結(jié)論一、準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)(1)若一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an+1=an+an+2.(

)(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)練小題鞏固基礎(chǔ)(4)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(

)(5)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)都是等差數(shù)列，則數(shù)列{an+bn}也一定是等差數(shù)列.(

)答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

(5)√二、練牢基本小題1.已知等差數(shù)列{an}中，a6=-24，a30=-48，則首項a1=

，公差d=

.

答案：-19

-12.已知在等差數(shù)列{an}中，a4+a8=20，a7=12，則a10=

.

答案：183.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a3=2，且S6=30，則S9=

.

答案：126三、練清易錯易混1.(忽視數(shù)列中項為0的情況)已知等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，則使數(shù)列{an}的前n項和Sn取最大值的正整數(shù)n的值是

.

解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由|a3|=|a9|，得|a1+2d|=|a1+8d|，解得a1=-5d或d=0(舍去)，則a1+5d=a6=0，a5>0，故使前n項和Sn取最大值的正整數(shù)n=5或6.答案：5或6

考法研透—方向不對·努力白費02命題視角一等差數(shù)列的基本運算(自主練通)√1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11=22，a4=-12，若am=30，則m=

(

)A.9

B.10C.11

D.15

√√

4.(2021·新課標(biāo)Ⅱ卷)記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3=S5，a2a4=S4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)求使Sn>an成立的n的最小值.

一“點”就過

命題視角二等差數(shù)列的判定與證明

(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值.等差數(shù)列的判定與證明方法提醒：用定義證明等差數(shù)列時，容易漏掉對起始項的檢驗，從而產(chǎn)生錯解.比如，對于滿足an-an-1=1(n≥3)的數(shù)列{an}而言并不能判定其為等差數(shù)列，因為不能確定起始項a2-a1是否等于1.方法技巧定義法an-an-1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列等差中項法2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列

針對訓(xùn)練

[典例]

(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10=10，S20=60，則S40等于

(

)A.110

B.150C.210

D.280命題視角三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用√[解析]

因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，所以S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30也成等差數(shù)列.故(S30-S20)+S10=2(S20-S10)，所以S30=150.又因為(S20-S10)+(S40-S30)=2(S30-S20)，所以S40=280.(2)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤?”假定該金杖被截成長度相等的若干段時，其質(zhì)量從大到小構(gòu)成等差數(shù)列.若將該金杖截成長度相等的20段，則中間兩段的質(zhì)量和為

斤.

[答案]

2

方法技巧(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);②Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…組成等差數(shù)列.

針對訓(xùn)練√2.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+…+an.若S10=31，S20=122，則S30=

(

)A.153

B.182C.242

D.273解析：根據(jù)等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…(m∈N*)依然成等差數(shù)列可知S10，S20-S10，S30-S20成等差數(shù)列，所以91×2=31+S30-122，解得S30=273，故選D.√命題視角四等差數(shù)列的最值問題[典例]

(1)(多選)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，公差d≠0，S6=90，a7是a3與a9的等比中項，則下列選項正確的是

(

)A.a1=22B.d=-2C.當(dāng)n=10或n=11時，Sn取得最大值D.當(dāng)Sn>0時，n的最大值為20√√√

(2)在等差數(shù)列{an}中，已知a1=13，3a2=11a6，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為

.

[答案]

49

方法技巧

針對訓(xùn)練√1.(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S5<S6，S6=S7>S8，則下列結(jié)論正確的是

(

)A.d<0

B.a7=0C.S9>S5

D.S6與S7均為Sn的最大值√√解析：由題意得a6=S6-S5>0，a7=S7-S6=0，a8=S8-S7<0，a7+a8=S8-S6<0，則數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，即選項A、B正確;由S9-S5=a9+a8+a7+a6=2(a8+a7)<0，得S9<S5，即選項C錯誤;由a1>a2>…>a6>a7=0>a8>a9>…，可得S6與S7均為Sn的最大值，即選項D正確，故選A、B、D.2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且a1<0，a2020+a2021<0，a2020·a2021<0，則使Sn<0成立的最大正整數(shù)n是

(

)A.2020

B.2021C.4040

D.4041√

答案：121思維激活—靈活不足·難得高分031.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“九百九十六斤綿，贈分八子作盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”其意思為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女作旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，使孝順子女的美德外傳，試求各人應(yīng)分得多少斤.”則第3個子女分得棉花

(

)A.65斤

B.82斤

C.99斤

D.106斤數(shù)學(xué)建模?練抽象思維——等差數(shù)列中的創(chuàng)新應(yīng)用問題√

√

√4.寫出一個公差為2且“前3項之和小于第3項”的等差數(shù)列an=

.

解析：要滿足“前3項之和小于第3項”，則a1+a2+a3<a3，即a1+a2<0，則不妨設(shè)a1=-4，a2=-2，則an=-4+(n-1)×2=2n-6.答案：2n-6(答案不唯一)04課時跟蹤檢測

√

√3.公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a7=2a5，則數(shù)列{an}中第

項的值與4a5的值相等.

解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a7=2a5，所以a1+6d=2(a1+4d)，則a1=-2d，所以an=a1+(n-1)d=(n-3)d，而4a5=4(a1+4d)=4(-2d+4d)=8d=a11，故數(shù)列{an}中第11項的值與4a5的值相等.答案：11

√

√

√4.據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載：我國古代有一座9層塔掛了126盞燈，且相鄰兩層中的下一層比上一層都多d(d為常數(shù))盞燈，底層的燈數(shù)是頂層的13倍，則塔的頂層共有燈

(

)A.2盞

B.