等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和第三節(jié)課程內(nèi)容要求1.理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.CONTENTS目錄123基礎(chǔ)扎牢——基礎(chǔ)不牢·地動(dòng)山搖考法研透——方向不對(duì)·努力白費(fèi)思維激活——靈活不足·難得高分4課時(shí)跟蹤檢測(cè)基礎(chǔ)扎牢—基礎(chǔ)不牢·地動(dòng)山搖011.等比數(shù)列的有關(guān)概念由教材回扣基礎(chǔ)定義如果一個(gè)數(shù)列從第___項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于____________

(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的_____，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為_______等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2=___2同一個(gè)常數(shù)公比

ab2.等比數(shù)列的有關(guān)公式通項(xiàng)公式an=______前n項(xiàng)和公式

澄清微點(diǎn)·熟記結(jié)論

(7)由an+1=qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.(8)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=1與q≠1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

練小題鞏固基礎(chǔ)

2.(忽視等比數(shù)列的項(xiàng)不為0)已知x，2x+2，3x+3是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則x的值為

.

解析：由題意，得(2x+2)2=x(3x+3)，即x2+5x+4=0，解得x=-1或x=-4.當(dāng)x=-1時(shí)，x，2x+2，3x+3分別為-1，0，0，不構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，故x≠-1;當(dāng)x=-4時(shí)，x，2x+2，3x+3分別為-4，-6，-9，能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以x的值為-4.答案：-4

考法研透—方向不對(duì)·努力白費(fèi)02命題視角一等比數(shù)列的基本運(yùn)算(自主練通)√1.(2022·全國(guó)乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2-a5=42，則a6=

(

)A.14

B.12

C.6

D.3

√

3.(多選)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=2an+1(n∈N*)，則下列說(shuō)法正確的是

(

)A.a5=-16

B.S5=-63C.數(shù)列{an}是等比數(shù)列

D.數(shù)列{Sn+1}是等比數(shù)列√√解析：因?yàn)镾n為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=2an+1(n∈N*)，所以S1=2a1+1，因此a1=-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確;因此a5=-1×24=-16，故A正確;又Sn=2an+1=-2n+1，所以S5=-25+1=-31，故B錯(cuò)誤;因?yàn)镾1+1=0，所以數(shù)列{Sn+1}不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

一“點(diǎn)”就過(guò)

[典例]

已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.(1)求證：數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;[解]

證明：由an+2=2an+1+3an，得an+2+an+1=3(an+1+an)，所以數(shù)列{an+an+1}是公比為3的等比數(shù)列.命題視角二等比數(shù)列的判定與證明

等比數(shù)列的4種常用判定方法方法技巧定義法中項(xiàng)公式法通項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an=c·qn-1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列提醒：(1)若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.(2)利用遞推關(guān)系時(shí)，要注意對(duì)n=1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證.續(xù)表Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4=9a2，S3=13，且公比q>0.(1)求an及Sn;(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn+λ}是等比數(shù)列?若存在，求λ的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.針對(duì)訓(xùn)練

[典例]

(1)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4=-5，S6=21S2，則S8=

(

)A.120

B.85C.-85

D.-120命題視角三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用√

(2)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則

(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件√[解析]

因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，若a1<0，q>0，則an<0，所以{Sn}單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.反之，若{Sn}為遞增數(shù)列，則an>0對(duì)任意n≥2都成立，若a1<0，要使an=a1qn-1>0恒成立，即qn-1<0恒成立，這樣的q不存在，所以a1>0且q>0，所以乙是甲的充分條件，所以甲是乙的必要不充分條件.故選B.1.等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題的解題突破口等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)公式的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.方法技巧2.應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時(shí)的2個(gè)注意點(diǎn)(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，則am·an=ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.

針對(duì)訓(xùn)練√

2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8-2S4=5，則a9+a10+a11+a12的最小值為

(

)A.25

B.20C.15

D.10√

答案：4思維激活—靈活不足·難得高分031.我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四，請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈?”意思是一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈

(

)A.32盞

B.64盞

C.128盞

D.196盞數(shù)學(xué)建模?練抽象思維——等比數(shù)列中的創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題√

2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn=2an-1.若an∈(0，2021)，則稱項(xiàng)an為“和諧項(xiàng)”，則數(shù)列{an}的所有“和諧項(xiàng)”的和為

(

)A.1022

B.1023

C.2046

D.2047√

√√√

04課時(shí)跟蹤檢測(cè)

√2.公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6+a4a7=18，若a1am=9，則m的值為

(

)A.8

B.9

C.10

D.11解析：由題意得，2a5a6=18，∴a5a6=9，∵a1am=a5a6=9，∴m=10.√

√

√

√

√

√√

√√

6.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S4n等于

(

)A.80

B.30

C.26

D.16解析：由題意知公比大于0，由等比數(shù)列性質(zhì)知Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n，…仍為等比數(shù)列.設(shè)S2n=x，則2，x-2，14-x成等比數(shù)列.由(x-2)2=2×(14-x)，解得x=6或x=-4(舍去).∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n，…是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.又∵S3n=14，∴S4n=14+2×23=30.√

√

2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1=1，且2S2+S4=3S3.已知m，n∈N*，若存在正整數(shù)i，j(1<i<j)，使得mai，mn，naj成等差數(shù)列，則mn的最小值為

(