新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

定義：有兩個(gè)而互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何沐。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱A8c-A‘3c

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形：側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形：側(cè)極平行且相等：平行于底面的截面是與底面全等的多邊

形。

2、極錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P-ABCZ)￡

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形：平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

定義：用一個(gè)平行于極錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示:用各頂點(diǎn)字母,如四棱臺(tái)ABCD—A'B'CD'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱推的頂點(diǎn)

4、圓柱

:6

\O

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓：②母線與軸平行：③軸與底面圓的半徑垂直：④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

5、圓錐

S

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓：②母線交于咧錐的頂點(diǎn)：③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

6、圓臺(tái)

定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓：②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)：③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

球體

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

※空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征：面（側(cè)面、上底面、下底面）、棱、頂點(diǎn)、軸

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1、中心投影與平行投影

中心投影：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做中心投影。

平行投影：在一束平行光照射卜形成的投影叫做平行投影。

2,三視圖

正視圖：從前往后

側(cè)視圖：從左往右

俯視圖：從上往下

畫二視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3、直觀圖：斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)粕；

（2）.平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于，，z軸的線長(zhǎng)度不變；

（3）.畫法要寫好。

用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面枳的和。

<2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng)，h為高，卜為斜前，1為母線)

S直枝柱網(wǎng)面積=chS回柱側(cè)=2mhS正梭錐惻面枳=/M錐儕面積=7irl

S正校臺(tái)剛海=+°2)“S即臺(tái)側(cè)面積=(廠+我)用

S圓柱表=2加，(〃+/)S圓惟我="(「+/)s網(wǎng)臺(tái)表=4(/+〃+/?/+*)

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

『柱=Sh%柱=Sh=7rrh/=gSh崛惟=

=—(SI-JsSiS)h%^=Q(S4-SS+S)h—-7r{r~+rR+R2)h

333

士)*、

(4)球體的表面枳和體積公式：v球=?:s球面=4〃R-

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及其論證

1、公理1：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

>--------------=/ucr公理】的作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

/.\y(Ae?,Becr

2、公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

若A,B,C不共線，則A,B,C確定平面a

推論1：過(guò)直線的宜線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

若4任/,則點(diǎn)A和/確定平面a

推論2：過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面

若〃7r|〃=A，則m,〃確定平面a

推論3：過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面

若〃?11〃，則m,n確定平面a

公埋2及其推論的作用：確定平面；判定多邊形是否為平面圖形的依據(jù)。

3、公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

Pwa,Pw°=an0=/且。G/

公理3作用：(1)判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)：(2)證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一條直線的兩條直線平行.人na||c

5,星理，空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

a||a\b||〃'且N1與N2方向相同=>N1=N2

6/||a\b||〃'且NI與N2方向和I反=Nl+Z2=180°

方向府同則方向相反則

N1=N2Nl+N2=180?

作用：該定理也叫等角定理，可以用來(lái)記明空間中的兩個(gè)角相等。

6、線線位置關(guān)系:平行、相交、異面。a\\b,。0人=4凡6異面

(1)沒(méi)有任何公共點(diǎn)的兩條直線平行

(2)有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線相交

(3)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線

7、線面位置關(guān)系:直線在平面內(nèi)、平行、相交

aua

8、面而位置關(guān)系:平行、相交。

則該直線與此平面平行。

①一角形中位線定理：二角形中他線平行并等干底切的一半：

②平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行：

③線面平行的性質(zhì)：如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線和它們的交線平行;

⑵宜線與平面平行的性質(zhì)：如果一條立線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條立線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條立線和它們的交線平行；(上

面的③)

10、面面面行:(即兩平面無(wú)任何公共點(diǎn))

(1)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

,__________aua,bua

aC\b=A>=>a\\P

4/。||民以|夕

(2：兩平面平行的性質(zhì)：

性質(zhì)I:如果一個(gè)平面與兩平行平面都相交,那么它們的交線平行:

|\刈月

/［「7=4=4

11〃

/an"zj

性質(zhì)H：?行于同一平乎的兩平面平行;

4一/。明”

-------Z

性質(zhì)III:夾在兩平行平面間的平行線段相等：

____________"

A.Cetz

-=>AC=BD

，XB【D/rB,Du0

AB||CD

性質(zhì)IV：兩平面平行,一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行:

夕或

aca)au/3

A_/

ii、線面垂克:

⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線,那么就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交宜線都垂宜則該宜線與此平面垂直。

/I"

1______』L

1La

/\xm/〃zn〃=A

An/m,nua

⑶性質(zhì)I:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

ala

bLa

ZJZ57

力卜

性質(zhì)n：垂直于同一直線的兩平面平行

12、面而面直:

⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。

/QT-B直二面角

/a則IB

fa7

面面垂直的判定定理

面面垂直的定義

⑵判定：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。>na_L/

Iua

（只需在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線就可證明面面垂直）

⑶性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

aLp

aD夕=m

lua

I_Lin

證明兩直線垂直和上要方法:面面垂直的性質(zhì)定理

①利用勾股定理證明兩相交直線垂直；

②利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直：

③利用線面垂直的定義證明（特別是證明異面直線垂直）；

④利用三垂線定理證明兩直線垂直（“三垂”指的是“線面垂”“線影垂”，“線斜垂”）

如圖：PO_La=Q4是PA在平面a上的射影

'=>aA.PA

又直線aua.且。_LOA

即：線影垂直n線斜垂直，反之也成立。

空間角及空間距離的計(jì)算

1.異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角，通常在兩異面直線中的?條上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作另一條直發(fā)平行線,

如圖：自?線a與b異面，b//b',直線a與直線b'的夾角為兩異

面直線.與人所成的角，界面直線所成角取值范圍是（0°,90°]

2.斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖：PA是平面。的?條斜線，A為斜足，0為垂足，0A叫斜線PA在平面

a上射影，NPAO為線面角。

3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面形成的圖形，如圖為二面角。一/一用，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小.二面角的

平面角分別在兩個(gè)半平面內(nèi)且角的兩邊與二面角的棱垂直.

如圖：在二面角a-/?加30棱上一點(diǎn)，OAua,OBud

且04J./,08，，則NAO8為二面角a-l-燃平面角。

用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關(guān)鍵點(diǎn)是：

確構(gòu)成二面角兩個(gè)半平面和棱；②明確二面角的平面角是哪個(gè)？

而要想明確二面角的平面角，關(guān)鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直。

（求空間角的三個(gè)步驟是“一找”、“二證”、“三計(jì)算”）/

5.點(diǎn)到平面的距離：指該點(diǎn)與它在平面上的射影的連線段的長(zhǎng)度。/I

如圖：o為P在平面a上的射影，/人[

線段OP的長(zhǎng)度為點(diǎn)P到平面a的距離求法選常有：定義法和等體積法//0,

等體積法：就是將點(diǎn)到平面的距離看成是

三棱錐的一個(gè)高。如圖在三棱錐V-A3c

中有：^S-ABC=^A-SBC=^B-SAC=^C-SAB八.

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角與斜率

（1）直線的傾斜角

定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與X軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為。度。因

此，傾斜角的取值范圍是0°WaV180°

（2）直級(jí)的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜用的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即&=1@11=。斜率反映直線與軸

的傾斜程度。

90

當(dāng)ae卜，'）時(shí)，A:>0;當(dāng)ae（90°,180°）時(shí)，k<0,當(dāng)。=90時(shí)，Z不存在。

②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：21

注意：（D當(dāng)』="2時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°：

（2）k與Pl、P2的順序無(wú)關(guān)；（3）以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

3.2直線的方程

①點(diǎn)斜式:八％=/一芭）直線斜率k,且過(guò)點(diǎn)（加x）

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是y=yl.

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于xl,所以它的方程是

y=kx+b直線斜率為匕直我在y軸上的截距為b

②斜截式:

二xf

%—X%2-X（X工人2，y尸>2）直線兩點(diǎn)（Xp'1

③兩點(diǎn)式:

宰=1

④截矩式：ab

其中直線/與K軸交于點(diǎn)（火°）,與）'軸交于點(diǎn)（°乃），即/與X軸、）'軸的截距分別為

⑤-般式：Ax+8y+C=°（A,B不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線：y=b（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：x=a（a為常數(shù)）；

(5)直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

(一)平行直線系

半仃十已知直線外+14'凡卅小全為。的常數(shù))的真線系：4°*+"°)'+。=°(C為常數(shù))

(-)過(guò)定點(diǎn)的直線系

(i)斜率為k的直線系：y—)‘°=&(了一%),直線過(guò)定點(diǎn)(/，%)：

(ii)過(guò)兩條直線4:4/+與)'+G=°,/2：4%+32丁+。2=0的交點(diǎn)的直線系方程為

（爾+打+G）+刈2+為y+C?）=0（%為參數(shù)）其中直線4不在直線系中。

（6）兩直線平行與垂直

當(dāng).：y=k[X+b[4：y=七工+&時(shí)，

/.//L<=>匕=k”b[wb/1_L。—1

IXIXI47?l/

注?。豪眯甭逝袛嘀本€的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

1、兩條直線的交點(diǎn)

/[：+8J+G=°，2：+員)，+。2=0相交

\x+B]〉+C]=0

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組l&'+^y+G=0的一組解。

方程組無(wú)解=/J〃2；方程組有無(wú)數(shù)解04與/2重合

2、兩點(diǎn)閏距離公式：設(shè)"與，必)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則IAB|=J*2-M)2+()，2一片)2

d=+By。+C|

3、點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)尸Go,)'o)到直線A：Ar+By+C=0的距離JA°+夕

4、兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

第四章圓與方程

4.1圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫網(wǎng)，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(人一力十(y一功~=，'2,圓心&"),半徑為r；

(2)-段方程/+/+6+呼十八0

八2,r?2/17、八r=—VD2+E2-4F

當(dāng)D+七一4尸>U時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為I22),半徑為2

當(dāng)。2十g_4尸=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)。2+1_"<()時(shí)，方程不表示任何圖形。

(3)求回方程的方法：

一?般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定?個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a,b,r：若利用一股方程，需要求出D,E,F：

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。

4.2直線、圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

|Aa+Bb+C\

⑴設(shè)直線/：Ax+By+C=°,圓C:(x-a)2+()，-/?2=/,圓心C(a,%]的距離為JT+心,則有

〃>〃=/與Cffl離,d=ro/與C相切.〃〈〃。/與仃目交

，，

(2)設(shè)直線/：4x+8)，+C=0,圓c：(x-a『+()，-5)2=〃，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為

△，則有

△<o=/與chi離；△=。3/與c相切；AAO"/.。相交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式少°=〃去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)