2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：統(tǒng)計(jì)推斷與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)圖表制作與分析試題試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果原假設(shè)為真，但檢驗(yàn)結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，這種錯(cuò)誤稱為（）A.第二類錯(cuò)誤B.第一類錯(cuò)誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機(jī)誤差2.設(shè)總體服從正態(tài)分布，且總體方差已知，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著大于某個(gè)值，應(yīng)該使用的檢驗(yàn)方法是（）A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.F檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)3.在對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，樣本量越大，假設(shè)檢驗(yàn)的（）A.第一類錯(cuò)誤概率越大B.第二類錯(cuò)誤概率越大C.效力越低D.效力越高4.設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，要檢驗(yàn)總體均值是否等于某個(gè)值，應(yīng)該使用的檢驗(yàn)方法是（）A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.F檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)5.在進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)時(shí)，如果兩個(gè)樣本的方差相等，應(yīng)該使用（）A.較小樣本方差的t統(tǒng)計(jì)量B.較大樣本方差的t統(tǒng)計(jì)量C.Satterthwaite近似D.Welch近似6.設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，要檢驗(yàn)總體均值是否小于某個(gè)值，應(yīng)該使用的檢驗(yàn)方法是（）A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.F檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)7.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果原假設(shè)為假，但檢驗(yàn)結(jié)果卻未拒絕原假設(shè)，這種錯(cuò)誤稱為（）A.第二類錯(cuò)誤B.第一類錯(cuò)誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機(jī)誤差8.設(shè)總體服從正態(tài)分布，且總體方差未知，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著小于某個(gè)值，應(yīng)該使用的檢驗(yàn)方法是（）A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.F檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)9.在對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，樣本量越小，假設(shè)檢驗(yàn)的（）A.第一類錯(cuò)誤概率越小B.第二類錯(cuò)誤概率越小C.效力越低D.效力越高10.設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體方差已知，要檢驗(yàn)總體均值是否不等于某個(gè)值，應(yīng)該使用的檢驗(yàn)方法是（）A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.F檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)11.在進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)時(shí)，如果兩個(gè)樣本的方差不相等，應(yīng)該使用（）A.較小樣本方差的t統(tǒng)計(jì)量B.較大樣本方差的t統(tǒng)計(jì)量C.Satterthwaite近似D.Welch近似12.設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，要檢驗(yàn)總體均值是否不等于某個(gè)值，應(yīng)該使用的檢驗(yàn)方法是（）A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.F檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)13.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如果原假設(shè)為真，但檢驗(yàn)結(jié)果卻未拒絕原假設(shè)，這種錯(cuò)誤稱為（）A.第二類錯(cuò)誤B.第一類錯(cuò)誤C.系統(tǒng)誤差D.隨機(jī)誤差14.設(shè)總體服從正態(tài)分布，且總體方差未知，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著不等于某個(gè)值，應(yīng)該使用的檢驗(yàn)方法是（）A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.F檢驗(yàn)D.卡方檢驗(yàn)15.在進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)時(shí)，如果兩個(gè)樣本的方差相等，應(yīng)該使用（）A.較小樣本方差的t統(tǒng)計(jì)量B.較大樣本方差的t統(tǒng)計(jì)量C.Satterthwaite近似D.Welch近似二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請(qǐng)將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置。）1.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。2.解釋第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的含義，并說明它們之間的關(guān)系。3.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，為什么樣本量的大小會(huì)影響檢驗(yàn)的結(jié)果？4.簡(jiǎn)述t檢驗(yàn)和Z檢驗(yàn)的區(qū)別，并說明在什么情況下應(yīng)該使用t檢驗(yàn)而不是Z檢驗(yàn)。5.在進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)時(shí)，如何判斷兩個(gè)樣本的方差是否相等？如果兩個(gè)樣本的方差不相等，應(yīng)該使用什么方法進(jìn)行檢驗(yàn)？三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分。請(qǐng)將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置。）1.某工廠生產(chǎn)一批零件，已知零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，總體方差為0.04?，F(xiàn)隨機(jī)抽取50個(gè)零件，測(cè)得樣本均值為10.2厘米。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)這批零件的長(zhǎng)度是否顯著大于10厘米？2.某醫(yī)生聲稱一種新藥可以降低患者的血壓。為了驗(yàn)證這一說法，隨機(jī)選取20名患者服用該藥物，測(cè)得服用藥物前后的血壓分別為：治療前150,148,152,155,149,151,153,147,150,154和治療后145,146,150,148,144,147,149,145,146,147。假設(shè)血壓數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，且總體方差未知。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)該藥物是否顯著降低了患者的血壓？3.某學(xué)校為了比較兩種教學(xué)方法的效果，隨機(jī)選取了60名學(xué)生，其中30名學(xué)生采用方法A，30名學(xué)生采用方法B。經(jīng)過一段時(shí)間的教學(xué)后，兩種方法的學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢悍椒ˋ：78,82,85,80,83,81,79,84,86,77和方法B：75,77,79,76,78,80,82,81,83,74。假設(shè)兩個(gè)樣本的方差相等，試在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異？4.某公司為了比較兩種廣告策略的效果，隨機(jī)選擇了1000名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，其中500名消費(fèi)者接觸了廣告策略A，500名消費(fèi)者接觸了廣告策略B。調(diào)查結(jié)果顯示，接觸廣告策略A的消費(fèi)者中有300名購(gòu)買了公司的產(chǎn)品，接觸廣告策略B的消費(fèi)者中有250名購(gòu)買了公司的產(chǎn)品。試在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)兩種廣告策略的效果是否有顯著差異？四、分析題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請(qǐng)將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置。）1.某公司為了提高員工的工作效率，實(shí)施了一項(xiàng)新的培訓(xùn)計(jì)劃。為了評(píng)估該計(jì)劃的效果，公司在培訓(xùn)前后對(duì)員工的效率進(jìn)行了測(cè)試。培訓(xùn)前測(cè)試的樣本均值為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10；培訓(xùn)后測(cè)試的樣本均值為85，標(biāo)準(zhǔn)差為12。假設(shè)培訓(xùn)前后測(cè)試的成績(jī)均服從正態(tài)分布，且總體方差未知。試分析該培訓(xùn)計(jì)劃是否顯著提高了員工的工作效率？請(qǐng)說明你的分析過程和結(jié)論。2.某學(xué)校為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，實(shí)施了一項(xiàng)新的教學(xué)方法。為了評(píng)估該教學(xué)方法的效果，學(xué)校在實(shí)施前后對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行了測(cè)試。實(shí)施前測(cè)試的樣本均值為70，標(biāo)準(zhǔn)差為8；實(shí)施后測(cè)試的樣本均值為75，標(biāo)準(zhǔn)差為10。假設(shè)實(shí)施前后測(cè)試的成績(jī)均服從正態(tài)分布，且總體方差未知。試分析該教學(xué)方法是否顯著提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)？請(qǐng)說明你的分析過程和結(jié)論。五、論述題（本大題共1小題，共10分。請(qǐng)將答案寫在答題卡上相應(yīng)的位置。）1.假設(shè)檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)推斷中扮演著重要的角色。請(qǐng)結(jié)合實(shí)際生活中的例子，論述假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理和步驟，并說明假設(shè)檢驗(yàn)在決策制定中的重要性。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：假設(shè)檢驗(yàn)中，如果原假設(shè)為真，但檢驗(yàn)結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)，這種錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò)誤，也稱為棄真錯(cuò)誤。這是由檢驗(yàn)的顯著性水平α決定的，即我們?cè)敢獬袚?dān)的犯這種錯(cuò)誤的概率。2.B解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布且總體方差已知時(shí)，我們使用Z檢驗(yàn)來檢驗(yàn)總體均值的假設(shè)。Z檢驗(yàn)基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，能夠提供精確的p值，適用于總體方差已知的情況。3.D解析：樣本量越大，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布越接近正態(tài)分布，檢驗(yàn)的效力（即正確拒絕錯(cuò)誤假設(shè)的能力）越高。同時(shí)，樣本量增大可以減少抽樣誤差，使得估計(jì)更精確，從而降低第二類錯(cuò)誤（接受錯(cuò)誤假設(shè)）的概率。4.A解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布但總體方差未知時(shí)，我們使用t檢驗(yàn)來檢驗(yàn)總體均值的假設(shè)。t檢驗(yàn)使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體方差的估計(jì)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從t分布。5.A解析：當(dāng)兩個(gè)樣本的方差相等時(shí)，即方差齊性，我們使用pooledvariancet-test（即合并方差t檢驗(yàn)）。這種檢驗(yàn)方法考慮了兩個(gè)樣本的共同方差，從而提供了更精確的檢驗(yàn)結(jié)果。6.A解析：與第4題類似，當(dāng)總體服從正態(tài)分布但總體方差未知時(shí)，要檢驗(yàn)總體均值是否小于某個(gè)值，我們依然使用t檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)稱為單尾t檢驗(yàn)，因?yàn)槲覀冴P(guān)注的是均值的一個(gè)特定方向（小于某個(gè)值）。7.A解析：第二類錯(cuò)誤是指原假設(shè)為假，但檢驗(yàn)結(jié)果卻未拒絕原假設(shè)的錯(cuò)誤。這種錯(cuò)誤也稱為取偽錯(cuò)誤，其概率通常用β表示。第二類錯(cuò)誤的概率與第一類錯(cuò)誤的概率、檢驗(yàn)的效力之間存在權(quán)衡關(guān)系。8.A解析：與第4題和第6題類似，當(dāng)總體服從正態(tài)分布但總體方差未知時(shí)，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著小于某個(gè)值，我們依然使用t檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)也是單尾t檢驗(yàn)，關(guān)注均值是否小于某個(gè)特定值。9.C解析：樣本量越小，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布越偏離正態(tài)分布，檢驗(yàn)的效力越低。同時(shí)，樣本量減小會(huì)增加抽樣誤差，使得估計(jì)不夠精確，從而增加第二類錯(cuò)誤的概率。10.B解析：當(dāng)總體服從正態(tài)分布且總體方差已知時(shí)，要檢驗(yàn)總體均值是否不等于某個(gè)值，我們使用Z檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)稱為雙尾Z檢驗(yàn)，因?yàn)槲覀冴P(guān)注的是均值與某個(gè)值是否存在差異（不等于）。11.D解析：當(dāng)兩個(gè)樣本的方差不相等時(shí)，即方差不齊，我們使用Welch'st-test（即Welch近似t檢驗(yàn)）。這種檢驗(yàn)方法不假設(shè)兩個(gè)樣本的方差相等，能夠提供更穩(wěn)健的檢驗(yàn)結(jié)果。12.A解析：與第4題、第6題和第10題類似，當(dāng)總體服從正態(tài)分布但總體方差未知時(shí)，要檢驗(yàn)總體均值是否不等于某個(gè)值，我們使用t檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)稱為雙尾t檢驗(yàn)，關(guān)注均值與某個(gè)值是否存在差異（不等于）。13.A解析：與第1題類似，這是第一類錯(cuò)誤的定義。在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要在第一類錯(cuò)誤的概率（α）和第二類錯(cuò)誤的概率（β）之間進(jìn)行權(quán)衡，以確定檢驗(yàn)的適當(dāng)性。14.A解析：與第4題、第6題、第8題和第12題類似，當(dāng)總體服從正態(tài)分布但總體方差未知時(shí)，要檢驗(yàn)總體均值是否顯著不等于某個(gè)值，我們使用t檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)可以是單尾或雙尾，取決于我們關(guān)注的方向（不等于）。15.A解析：與第5題類似，當(dāng)兩個(gè)樣本的方差相等時(shí)，我們使用pooledvariancet-test（合并方差t檢驗(yàn)）。這種檢驗(yàn)方法假設(shè)兩個(gè)樣本來自具有相同方差的總體，從而能夠更有效地利用樣本信息。二、簡(jiǎn)答題答案及解析1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟解析：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟包括：首先提出原假設(shè)（H0）和備擇假設(shè)（H1）；然后選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其在原假設(shè)成立時(shí)的分布；接著根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值；然后根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布和顯著性水平α確定拒絕域；最后根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值是否落入拒絕域來決定是否拒絕原假設(shè)。2.第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的含義及關(guān)系解析：第一類錯(cuò)誤是指原假設(shè)為真，但檢驗(yàn)結(jié)果卻拒絕了原假設(shè)的錯(cuò)誤，也稱為棄真錯(cuò)誤。第二類錯(cuò)誤是指原假設(shè)為假，但檢驗(yàn)結(jié)果卻未拒絕原假設(shè)的錯(cuò)誤，也稱為取偽錯(cuò)誤。這兩類錯(cuò)誤之間存在權(quán)衡關(guān)系，即減小一類錯(cuò)誤的概率通常會(huì)增大另一類錯(cuò)誤的概率。在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)具體情況和需求來選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平α，以平衡兩類錯(cuò)誤的概率。3.樣本量大小對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果的影響解析：樣本量的大小會(huì)影響假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，樣本量越大，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布越接近正態(tài)分布，檢驗(yàn)的效力越高。其次，樣本量增大可以減少抽樣誤差，使得估計(jì)更精確，從而降低第二類錯(cuò)誤的概率。最后，樣本量的大小也會(huì)影響檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)功效，即檢驗(yàn)正確拒絕錯(cuò)誤假設(shè)的能力。因此，在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，需要根據(jù)研究目的和數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇合適的樣本量。4.t檢驗(yàn)和Z檢驗(yàn)的區(qū)別及使用條件解析：t檢驗(yàn)和Z檢驗(yàn)都是用于檢驗(yàn)總體均值假設(shè)的統(tǒng)計(jì)方法，但它們?cè)谑褂脳l件和假設(shè)前提上存在區(qū)別。t檢驗(yàn)適用于總體服從正態(tài)分布但總體方差未知的情況，而Z檢驗(yàn)適用于總體服從正態(tài)分布且總體方差已知的情況。此外，t檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從t分布，而Z檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)總體分布和方差的信息來選擇合適的檢驗(yàn)方法。5.雙樣本t檢驗(yàn)中方差相等性的判斷及檢驗(yàn)方法解析：在雙樣本t檢驗(yàn)中，判斷兩個(gè)樣本的方差是否相等通常使用F檢驗(yàn)或Levene檢驗(yàn)等方法。如果兩個(gè)樣本的方差相等（即方差齊性），我們使用pooledvariancet-test（合并方差t檢驗(yàn)）。這種檢驗(yàn)方法考慮了兩個(gè)樣本的共同方差，從而提供了更精確的檢驗(yàn)結(jié)果。如果兩個(gè)樣本的方差不相等（即方差不齊），我們使用Welch'st-test（Welch近似t檢驗(yàn)）。這種檢驗(yàn)方法不假設(shè)兩個(gè)樣本的方差相等，能夠提供更穩(wěn)健的檢驗(yàn)結(jié)果。三、計(jì)算題答案及解析1.檢驗(yàn)零件長(zhǎng)度是否顯著大于10厘米的解析：首先提出原假設(shè)H0：μ=10厘米，備擇假設(shè)H1：μ>10厘米。然后計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的觀測(cè)值：Z=(樣本均值-總體均值)/(總體標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)=(10.2-10)/(√0.04/√50)=10.2-10/(0.2/√50)=10.2-10/0.0283=10.2-353.5=343.3。接著根據(jù)顯著性水平α=0.05和雙尾檢驗(yàn)的臨界值Zα/2=1.96，判斷Z的觀測(cè)值是否落入拒絕域。由于343.3>1.96，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這批零件的長(zhǎng)度顯著大于10厘米。2.檢驗(yàn)新藥是否顯著降低了患者血壓的解析：首先提出原假設(shè)H0：μd=0，備擇假設(shè)H1：μd<0，其中μd表示治療后血壓減去治療前血壓的差值的總體均值。然后計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的觀測(cè)值：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)=(0.5-0)/(1.5/√20)=0.5/(1.5/4.472)=0.5/0.335=1.49。接著根據(jù)顯著性水平α=0.05和單尾檢驗(yàn)的臨界值tα=1.729，判斷t的觀測(cè)值是否落入拒絕域。由于1.49<1.729，因此未拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該藥物沒有顯著降低患者的血壓。3.檢驗(yàn)兩種教學(xué)方法效果的解析：首先提出原假設(shè)H0：μA=μB，備擇假設(shè)H1：μA≠μB。然后計(jì)算兩個(gè)樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差：樣本A：均值=82，標(biāo)準(zhǔn)差=2.83；樣本B：均值=78，標(biāo)準(zhǔn)差=2.83。接著計(jì)算合并方差：Sp2=(29*(2.83)^2+29*(2.83)^2)/(58)=8.024。然后計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的觀測(cè)值：t=(82-78)/(√(Sp2/(30+30)))=4/(√(8.024/60))=4/0.408=9.78。接著根據(jù)顯著性水平α=0.05和雙尾檢驗(yàn)的臨界值tα/2=2.009，判斷t的觀測(cè)值是否落入拒絕域。由于9.78>2.009，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種教學(xué)方法的效果有顯著差異。4.檢驗(yàn)兩種廣告策略效果的解析：首先提出原假設(shè)H0：pA=pB，備擇假設(shè)H1：pA≠pB，其中pA和pB分別表示接觸廣告策略A和B的消費(fèi)者中購(gòu)買公司產(chǎn)品的比例。然后計(jì)算兩個(gè)樣本的比例和標(biāo)準(zhǔn)誤：樣本A：比例=0.6，標(biāo)準(zhǔn)誤=√(0.6*0.4/500)=0.0245；樣本B：比例=0.5，標(biāo)準(zhǔn)誤=√(0.5*0.5/500)=0.0224。接著計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的觀測(cè)值：Z=(0.6-0.5)/(√((0.5*0.5+0.6*0.4)/1000))=0.1/0.023=4.35。接著根據(jù)顯著性水平α=0.05和雙尾檢驗(yàn)的臨界值Zα/2=1.96，判斷Z的觀測(cè)值是否落入拒絕域。由于4.35>1.96，因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種廣告策略的效果有顯著差異。四、分析題答案及解析1.分析培訓(xùn)計(jì)劃是否顯著提高了員工工作效率的解析：首先提出原假設(shè)H0：μd=0，備擇假設(shè)H1：μd>0，其中μd表示培訓(xùn)后測(cè)試成績(jī)減去培訓(xùn)前測(cè)試成績(jī)的差值的總體均值。然后計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的觀測(cè)值：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)=(5)/(12/√20)=5/2.68=1.87。接著根據(jù)顯著性水平α=0.05和單尾檢驗(yàn)的臨界值tα=1.729，判斷t的觀測(cè)值是否落入拒絕域。由于