（新高考）2022屆高考考前沖刺卷數(shù)學(xué)（九）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，即集合B中的元素有，，，共4個(gè)，故選B．2．“”是“方程表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分雜件C．充要雜件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由，可得，當(dāng)時(shí)，方程可化為，此時(shí)方程表示圓，所以充分性不成立；反之：方程表示橢圓，則滿足，即且，所以不成立，即必要性不成立，所以“”是“方程表示橢圓”的既不充分也不必要條件，故選D．3．已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的x取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故越靠近軸，函數(shù)值越小，因?yàn)椋?，解得，故選A．4．如圖，在正四棱臺(tái)中，棱，的夾角為，，則棱，的夾角為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由棱臺(tái)的定義可知，分別延長，，，交于點(diǎn)P，連接AC，如圖，在正四棱臺(tái)中，棱，的夾角為，，所以△PAB是邊長為2的等邊三角形，所以．又在正方形中，，則，所以，所以，所以棱，的夾角為，故選D．5．在中，，，的對(duì)邊分別是，，，已知，且，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即，解得（舍）或，在中，根據(jù)余弦定理，得，故選D．6．經(jīng)過直線上的點(diǎn)作圓的切線，則切線長的最小值為（）A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】直線上任取一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為，圓，即，圓心，，切線長為，，所以切線長的最小值為，故選A．7．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若C的右支上的任意一點(diǎn)M滿足，則C的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知可得，若，即，右支上的點(diǎn)均滿足，只需的最小值滿足即可，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小，此時(shí)，故，即，，或，即或，可得或，解得或，雙曲線的離心率的取值范圍為，故選D．8．已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心，為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最大值為（）A．13 B． C． D．【答案】A【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，則，故當(dāng)，時(shí)，有最大值為13，故選A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．一組數(shù)據(jù)，，…，是公差為的等差數(shù)列，若去掉首末兩項(xiàng)，后，則（）A．平均數(shù)變大 B．中位數(shù)沒變 C．方差變小 D．極差沒變【答案】BC【解析】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，去掉，后的平均數(shù)為，即平均數(shù)不變，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，去掉，后的中位數(shù)仍為，即中位數(shù)沒變，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)公差為d，則原數(shù)據(jù)的方差為，去掉，后的方差為，即方差變小，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，原數(shù)據(jù)的極差為，去掉，后的極差為，即極差變小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選BC．10．已知函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，則的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【解析】令，因?yàn)椋杂?，由題知在有兩個(gè)單減區(qū)間，則有，即，故選CD．11．已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的有（）A．若，，則B．若，，則C．若，，3，則是等比數(shù)列D．若，，則【答案】BC【解析】A選項(xiàng)：若，則，即，又，則，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：若，則，即，即，則．又，則，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則，即，即，故B正確；C選項(xiàng)：若，則，即，則，所以是公比為的等比數(shù)列，故C正確；D選項(xiàng)：若，則，則，則，即．又，則，所以是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，即，故D錯(cuò)誤，故選BC．12．已知函數(shù)，若對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)使得，則滿足條件的實(shí)數(shù)的可能值有（）A． B．0 C． D．1【答案】AB【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋?，總使得，則有函數(shù)在上沒有最小值，對(duì)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值，值域?yàn)椋趦?nèi)無最小值，因此，，當(dāng)時(shí)，令，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，顯然，即，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，不妨令，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)在，上都單調(diào)遞減，在，都單調(diào)遞增，函數(shù)在與處都取得極小值，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，不符合題意，綜上得：實(shí)數(shù)的取值范圍是，所以滿足條件的實(shí)數(shù)的可能值有，0，故選AB．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．復(fù)數(shù)，，若為實(shí)數(shù)，則________．【答案】【解析】∵，∵，∴，即，故答案為．14．的展開式中的系數(shù)為___________．（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】的展開式通項(xiàng)公式為，由于求解的是展開式中的系數(shù)，故，其中展開式通項(xiàng)公式為，，令，得，此時(shí)展開式中的系數(shù)為，令，得，此時(shí)展開式中的系數(shù)為，綜上：展開式中的系數(shù)為，故答案為．15．已知平面單位向量滿足，設(shè)，，向量的夾角為θ，則cos2θ的最小值是________．【答案】【解析】設(shè)，，則，，，故，得，又，則，化簡得，即，因此．，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，cos2θ有最小值，為，故答案為．16．如圖，在長方體中，，E?F分別為棱?的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在長方體的表面上．若P為平面的中心，則三棱錐的體積為___________；若，則點(diǎn)P的軌跡的長度為___________．【答案】，【解析】，取為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，連接，由正方體的性質(zhì)可得平面，而平面，故．在直角三角形中，，同理，故，因均為銳角，故，即，故，而，故平面，故的軌跡為四邊形，其周長為，故答案為，．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）解：由題意，，解得或，因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以．（2）解：由（1）知，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，①，②①②得，所以，又因?yàn)椋?，所以?8．（12分）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若D為BC的中點(diǎn)，且△ABC的面積為，，求AD的長．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)椋?，即，即，解得或，又因?yàn)闉殇J角三角形，即，所以，所以．（2）由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，且，可得，解得，則，所以，又由，可得，則，因?yàn)?，所以，又由，所以，所以?9．（12分）如圖，在四棱錐中，已知，，，，平面．（1）如圖，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，求證：四點(diǎn)共面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，為上靠近的四等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，分別為中點(diǎn)，，又，，四邊形為平行四邊形，，又，，四點(diǎn)共面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，，，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20．（12分）年月日，中國女足在兩球落后的情況下，以比逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇．（1）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)的分布列和期望；（2）好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙?丁名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外人中的人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知，．①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）①證明見解析；②．【解析】（1）依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)可能的取值為，，，，，，，，的分布列為：期望．另解：依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)可能的取值為，易知，，．的分布列為：期望．（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，從而，又，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．②由①可知，，，故．21．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)且與x軸垂直的直線交橢圓于點(diǎn)，左頂點(diǎn)為．（1）求橢圓的離心率和的面積；（2）已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），；（2）直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)．【解析】（1）解：由題意，經(jīng)過右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線交橢圓于點(diǎn)，可得，則，可得橢圓，則，解得，即橢圓，所以橢圓的離心率為，又由左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，所以，所以的面積為．（2）解：設(shè)過點(diǎn)作直線的垂線的方程為，由點(diǎn)，，可得直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)交軸于點(diǎn)，若直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，則，解得，直線交軸于點(diǎn)，下面證明存在實(shí)數(shù)，使得直線經(jīng)過軸上定點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)，所以的方程為，令，可得，因?yàn)?，所以，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，綜上可得，存在實(shí)數(shù)，使得