§2.3對稱微專題距離公式兩點

點到直線

兩條平行直線

探究一

點關(guān)于點的對稱MPQOx解：∵M是PQ的中點所以點P(x0,y0)與點Q關(guān)于點M(a,b)對稱，求點Q的坐標(x,y).例1：已知點A(1,-2)與點B(a,b)關(guān)于點C(3,5)對稱，則a+b=_______解：∵C為對稱點∴a=3×2-1=5，b=5×2-(-2)=12∴a+b=17跟蹤訓練：已知不同的兩點P（a,-b)與（b+1,a-1）關(guān)于點（3,4)對稱，求ab=探究一

點關(guān)于點的對稱探究二

點關(guān)于線的對稱點P(x0,y0)與點Q關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱，求點Q的坐標(x,y).PQOxylM1.PQ⊥l2.PQ的中點M在直線l上探究三

線關(guān)于點的對稱直線l1:Ax+By+C=0與直線l2關(guān)于點M(a,b)對稱，求直線l2的方程.Ml2l1Oxl1//l2?

設(shè)l2:Ax+By+m=0斜率相等，求對稱點AlmBB′已知直線l1:3x-y-4=0與直線l2關(guān)于點M(2,-1)對稱，求直線l2的方程.MQPl1l2探究四

線關(guān)于線的對稱

直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱，求直線l2的方程.l2l1Oxl1//l2?

設(shè)l2:Ax+By+m=0yl①若

l1

//l

直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱，求直線l2的方程.l2l1Ox求出l1與l

的交點M，點M也在直線l2上yl②若

l1

//lM在l1上任取一點P，求出P關(guān)于直線l

的對稱點Q，點Q也在直線l2上用M，Q兩點求出直線l2的方程PQ探究四

線關(guān)于線的對稱4.已知直線l：ax＋by＋c＝0與直線l′關(guān)于直線x＋y＝0對稱，則l′的方程為A.bx＋ay－c＝0 B.bx－ay＋c＝0C.bx＋ay＋c＝0 D.bx－ay－c＝0√在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程，則l′：a(－y)＋b(－x)＋c＝0，即bx＋ay－c＝0.應用一

光的反射問題解：如圖，設(shè)原點關(guān)于l的對稱點A的坐標為(a，b)，由直線OA與l垂直和線段AO的中點在l上得∴A的坐標為(4,3).∵反射光線的反向延長線過A(4,3)，又由反射光線過P(－4,3)，A，P兩點縱坐標相等，故反射光線所在直線的方程為y＝3.光線從O經(jīng)直線l反射后到達P點所走過的路程為8.例2

一束光線從原點O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點P(－4,3)，求反射光線的方程及光線從O點到達P點所走過的路程.應用一

光的反射問題如圖所示，已知點A(4，0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是√解析由題意知，AB所在直線的方程為x＋y－4＝0.如圖，點P關(guān)于直線

AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過的路程為|CD|＝應用二

利用對稱解決有關(guān)最值問題（將軍飲馬問題等）9.已知點M(3,5)，在直線l：x－2y＋2＝0和y軸上各找一點P和Q，使△MPQ的周長最小.由點M(3,5)及直線l，可求得點M關(guān)于l的對稱點為M1(5,1).同樣可求得點M關(guān)于y軸的對稱點為M2(－3,5).由M1及M2兩點可得到直線M1M2的方程為x＋2y－7＝0.16.已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直線l上求一點P，使|PA|＋|PB|最?。辉O(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為A′(m，n)，故A′(－2,8).因為P為直線l上的一點，則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，當且僅當B，P，A′三點共線時，|PA|＋|PB|取得最小值，為|A′B|，點P即是直線A′B與直線l的交點，故所求的點P的坐標為(－2,3).(2)在直線l上求一點P，使||PB|－|PA||最大.A，B兩點在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點，則||PB|－|PA||≤|AB|，當且僅當A，B，P三點共線時，||PB|－|PA||取得最大值，為|AB|，點P即是直線AB與直線l的交點，又直線AB的方程為y＝x－2，故所求的點P的坐標為(12,10).12345678910111213141516√∴f(x)的幾何意義為點M(x,0)到兩定點A(－2,4)與B(－1,3)的距離之和，設(shè)點A(－2,4)關(guān)于x軸的對稱點為A′，則A′(－2，－4).要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為求|MA|＋|MB|的最小值，10.已知直線l：x－y＋3＝0，一束光線從點A(1,2)處射向x軸上一點B，又從點B反射到l上的一點C，最后從點C反射回點A.試判斷由此得到的△ABC的個數(shù)；如圖，