2025成年人數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)求解考試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)列2，4，6，8，…的通項(xiàng)公式是（）A.\(a_n=2n\)B.\(a_n=n+1\)C.\(a_n=2n-1\)D.\(a_n=n^2\)2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，則\(a_5\)的值為（）A.7B.9C.11D.133.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_n=3a_{n-1}(n\geq2)\)，則\(a_3\)為（）A.3B.6C.9D.124.數(shù)列\(zhòng)(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A.\(a_n=(-1)^n\)B.\(a_n=(-1)^{n+1}\)C.\(a_n=-1^n\)D.\(a_n=1^n\)5.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則\(a_3\)的值為（）A.5B.6C.7D.86.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=2a_n\)，則\(a_4\)等于（）A.8B.16C.32D.647.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+n\)，則\(a_2\)的值是（）A.1B.2C.3D.48.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)，則\(a_2\)的值為（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{2}\)9.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(a_{n+1}=a_n-1\)，則\(a_5\)是（）A.-1B.0C.1D.210.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2n-1\)，則\(a_1\)的值為（）A.1B.2C.3D.4多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法（）A.觀察法B.累加法C.累乘法D.公式法2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}-a_n=2\)，則（）A.該數(shù)列是等差數(shù)列B.\(a_n=2n-1\)C.\(a_3=5\)D.前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)3.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=3a_n\)，則（）A.該數(shù)列是等比數(shù)列B.\(a_n=2\times3^{n-1}\)C.\(a_2=6\)D.前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=3^n-1\)4.對于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，其前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+n\)，則（）A.\(a_1=2\)B.\(a_n=2n\)C.該數(shù)列是等差數(shù)列D.\(a_3=6\)5.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有（）A.\(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，…B.\(1\)，\(-1\)，\(1\)，\(-1\)，…C.\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)，…D.\(1\)，\(0\)，\(0\)，\(0\)，…6.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=3\)，\(a_{n+1}=a_n+n\)，則（）A.\(a_2=4\)B.\(a_3=6\)C.可通過累加法求\(a_n\)D.\(a_n=\frac{n(n-1)}{2}+3\)7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=n^2-n\)，則（）A.\(a_1=0\)B.\(a_2=2\)C.該數(shù)列是遞增數(shù)列D.\(a_n\)可因式分解為\(n(n-1)\)8.求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)通項(xiàng)公式時(shí)，若\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)，且\(f(n)\)可求和，則可以用（）A.累加法B.累乘法C.觀察法D.公式法9.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比\(q=2\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(a_n=2^{n-1}\)B.\(a_3=4\)C.前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2^n-1\)D.\(a_5=16\)10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，可通過（）求通項(xiàng)公式A.構(gòu)造等比數(shù)列B.累加法C.累乘法D.觀察法判斷題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(1\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)，…的通項(xiàng)公式一定是\(a_n=2n-1\)。（）2.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_1=2\)。（）3.等比數(shù)列的公比\(q\)不能為\(0\)。（）4.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=3\)，則該數(shù)列是等差數(shù)列。（）5.已知\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n\)，則\(a_n=2^{n-1}\)。（）6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是遞增數(shù)列，則\(a_{n+1}\gta_n\)恒成立。（）7.數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的。（）8.用累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，要求\(a_{n+1}\)與\(a_n\)的比值可求。（）9.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(d\)為公差。（）10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+n^2\)，可以用累加法求\(a_n\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}-a_n=2\)，求\(a_n\)。-答案：由\(a_{n+1}-a_n=2\)，可知該數(shù)列是等差數(shù)列，公差\(d=2\)。根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，把\(a_1=1\)，\(d=2\)代入得\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。2.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=3a_n\)，求\(a_n\)。-答案：因?yàn)閈(a_{n+1}=3a_n\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=3\)，所以該數(shù)列是等比數(shù)列，公比\(q=3\)。根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，把\(a_1=2\)，\(q=3\)代入得\(a_n=2\times3^{n-1}\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2-n\)，求\(a_n\)。-答案：當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_1=S_1=1^2-1=0\)；當(dāng)\(n\geq2\)時(shí)，\(a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2-n)-[(n-1)^2-(n-1)]=2n-2\)。\(n=1\)時(shí)也滿足，所以\(a_n=2n-2\)。4.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)，求\(a_n\)。-答案：由\(a_{n+1}-a_n=2n\)，當(dāng)\(n\geq2\)時(shí)，\(a_n-a_{n-1}=2(n-1)\)，\(a_{n-1}-a_{n-2}=2(n-2)\)，…，\(a_2-a_1=2\times1\)。累加得\(a_n-a_1=2[1+2+\cdots+(n-1)]\)，又\(a_1=1\)，可得\(a_n=n^2-n+1\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論在數(shù)列通項(xiàng)求解中，觀察法的適用情況及局限性。-答案：適用情況：對于一些規(guī)律明顯，數(shù)字特征簡單的數(shù)列，如自然數(shù)列、常數(shù)列等適用。局限性：對于規(guī)律復(fù)雜，難以直接看出數(shù)字間關(guān)系的數(shù)列，觀察法很難準(zhǔn)確得出通項(xiàng)公式，且不同人觀察角度不同可能得出不同結(jié)果。2.當(dāng)數(shù)列同時(shí)滿足多種遞推關(guān)系時(shí)，如何選擇合適方法求通項(xiàng)公式？-答案：若遞推關(guān)系形如\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)且\(f(n)\)可求和，用累加法；若\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)且\(f(n)\)可求積，用累乘法；若符合等差或等比數(shù)列特征，用相應(yīng)公式。結(jié)合具體遞推式特點(diǎn)選擇合適方法。3.分析數(shù)列通項(xiàng)公式與前\(n\)項(xiàng)和公式之間的聯(lián)系。-答案：已知通項(xiàng)公式\(a_n\)可求前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i\)；已知前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)，\(a_n=S_n-S_{n-1}(n\geq2)\)，\(a_1=S_1\)。二者相互關(guān)聯(lián)，可實(shí)現(xiàn)相互推導(dǎo)。4.舉例說明構(gòu)造新數(shù)列在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用。-答案：如數(shù)列\(zhòng)(a_{n+1}=2a_n+1\)，設(shè)\(a_{n+1}+k=2(a_n+k)\)，解得\(k=1\)，則\(\{a_n+1\}\)是等比數(shù)列，公比為\(2\)，通過求\(\{a_n+1\}\)通項(xiàng)進(jìn)而求\(