高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)空間向量基本定理及坐標(biāo)表示一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?新吳區(qū)校級期末）如圖，空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．23a→+C．?23a2．（2024秋?牡丹江期末）如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN上，且GN＝2MG，現(xiàn)用向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→，設(shè)OG→=xOAA．x=13，y=1C．x=13，y=3．（2025春?蘭州期中）已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7），則△ABC的重心坐標(biāo)為（）A．（6，72，3） B．（4，73，2） C．（8，143，4） 4．（2025春?高郵市期中）已知向量a→=(?1，2，1)，b→=(2，x，y)，且aA．﹣10 B．﹣2 C．2 D．105．（2025春?高郵市期中）對于空間中任意一點O和不共線的三點A，B，C，能得到點P在平面ABC內(nèi)的是（）A．AP→=2OA→C．CP→=2OA6．（2025春?張掖校級期中）如圖，在正三棱錐P﹣ABC中，點G為△ABC的重心，點M是線段PG上的一點，且PM＝3MG，記PA→=aA．?34a→C．?14a7．（2025?宿遷一模）若a→+b→=(?2，?1，2)A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．78．（2025春?鹽城月考）若a→=(1，2，?1)，b→A．25 B．﹣25 C．﹣29 D．29二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?鹽城校級期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面 B．若a→?b→C．已知向量組{a→，bD．已知A，B，C不共線，對空間任意一點O，若OP→=34OA→+18（多選）10．（2024秋?三明期末）設(shè)x，y∈R，向量a→=(x，2，2)，b→=(2，y，2)，c→A．x＝2 B．y＝4 C．|a→+b（多選）11．（2025?河北開學(xué)）已知空間中三個向量a→=(1，2，?1)，b→A．|aB．(aC．b→在c→上的投影向量為D．cos?（多選）12．（2024秋?青島校級期末）已知空間四點O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），則下列說法正確的是（）A．OB→B．cos?OAC．點O到直線BC的距離為5 D．O，A，B，C四點共面三．填空題（共4小題）13．（2025春?合肥校級期末）平面向量的基本定理：如果e1→、e2→是平面上兩個不平行的向量，那么該平面上的任意向量a→，存在唯一的一對實數(shù)λ、μ，使得a→=λe1→+μe2→．類推得到空間向量的基本定理：如果14．（2025春?張掖校級期中）已知向量a→=(?2，3，5)，b→=(1，?2，0)，則15．（2025春?江蘇校級期中）已知a→=(3，2，?1)，b→=(2，1，2)，當(dāng)（ka→+b→）⊥（16．（2025春?楊浦區(qū)期中）已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1，如圖建系，若DB1→的坐標(biāo)為（4，3，2），則A四．解答題（共4小題）17．（2025春?江蘇校級月考）已知空間三點A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．（1）若向量kAB→?AC→（2）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積．18．（2025春?興化市校級月考）已知空間三點A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．（1）若向量kAB→?AC→（2）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積．19．（2024秋?松江區(qū)校級期中）已知空間中的三點P（1，0，0），M（0，1，0），N（0，﹣1，0），a→=PM（1）當(dāng)ka→+b→（2）求△PMN的面積．20．（2024秋?朝陽區(qū)校級期中）已知向量a→（1）若向量a→與a→+k（2）若向量a→，b→和

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)空間向量基本定理及坐標(biāo)表示參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?新吳區(qū)校級期末）如圖，空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．23a→+C．?23a【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，用OA→、OB→和OC→【解答】解：由題意知，MN=13OA→+=?23OA=?2=?2故選：C．【點評】本題考查了空間向量的線性表示與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2．（2024秋?牡丹江期末）如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN上，且GN＝2MG，現(xiàn)用向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→，設(shè)OG→=xOAA．x=13，y=1C．x=13，y=【考點】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運算法則，即可求解．【解答】解：GN＝2MG，M，N分別是對邊OA，BC的中點，則OG→OG→則x=13，y=故選：C．【點評】本題主要考查空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?蘭州期中）已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7），則△ABC的重心坐標(biāo)為（）A．（6，72，3） B．（4，73，2） C．（8，143，4） 【考點】空間向量運算的坐標(biāo)表示．【專題】空間向量及應(yīng)用．【答案】B【分析】利用三角形的重心坐標(biāo)公式即可得出．【解答】解：△ABC的重心坐標(biāo)為x=2+4+63=4，y=3+1+3∴△ABC的重心坐標(biāo)為(4，7故選：B．【點評】本題考查了三角形的重心坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025春?高郵市期中）已知向量a→=(?1，2，1)，b→=(2，x，y)，且aA．﹣10 B．﹣2 C．2 D．10【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共線定理得出x，y，代入計算即可．【解答】解：由題意可得，?12=2x=那么2x+y＝﹣8﹣2＝﹣10．故選：A．【點評】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?高郵市期中）對于空間中任意一點O和不共線的三點A，B，C，能得到點P在平面ABC內(nèi)的是（）A．AP→=2OA→C．CP→=2OA【考點】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】C【分析】對于空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，當(dāng)點P滿足：OP→=xOA→+yOB→+zOC→，且x+y+z＝1時，可得出點P在平面ABC內(nèi)，根據(jù)這個性質(zhì)逐項用OA→【解答】解：A.OP→?OA→=2OA→+OBB.OB→?OP→=OA→+OBC.OP→?OC→=2OA→+3OBD.OB→?OA→=2(OP→?OA→)+故選：C．【點評】本題考查了點P在平面ABC內(nèi)的充要條件，向量的數(shù)乘運算，是基礎(chǔ)題．6．（2025春?張掖校級期中）如圖，在正三棱錐P﹣ABC中，點G為△ABC的重心，點M是線段PG上的一點，且PM＝3MG，記PA→=aA．?34a→C．?14a【考點】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運算將所求向量用基底{a【解答】解：如圖，連接AG并延長交BC于點D，連接PD．因G為△ABC的重心，PA→故AG→又PM＝3MG，故AM=?1故選：A．【點評】本題主要考查空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025?宿遷一模）若a→+b→=(?2，?1，2)A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】A【分析】先求出a→，b【解答】解：∵a→+b∴a→=（1，﹣2，0），∴a→故選：A．【點評】本題考查空間向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2025春?鹽城月考）若a→=(1，2，?1)，b→A．25 B．﹣25 C．﹣29 D．29【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】B【分析】先根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運算法則分別求出a→+b【解答】解：a→=(1，2，?1)，所以2b→=2(?1，3，2)=(?2，6，4)所以a→故(a故選：B．【點評】本題主要考查空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?鹽城校級期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面 B．若a→?b→C．已知向量組{a→，bD．已知A，B，C不共線，對空間任意一點O，若OP→=34OA→+18【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底；空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可判斷A；根據(jù)a→?b→＞0可得0≤?a→，b【解答】解：根據(jù)空間向量共面定理知：空間中三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，故A正確；對于B，由a→?b→＞0對于C，假設(shè)2a→，b→，c→因向量組{a→，b→，c→故假設(shè)不成立，{2a→，b→對于D，因OP→=34OA→+18OB→+1故選：ACD．【點評】本題主要考查空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024秋?三明期末）設(shè)x，y∈R，向量a→=(x，2，2)，b→=(2，y，2)，c→A．x＝2 B．y＝4 C．|a→+b【考點】空間向量線性運算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】AC【分析】由條件結(jié)合垂直向量的坐標(biāo)表示和平行向量的坐標(biāo)關(guān)系求x，y，進而逐項判斷即可．【解答】解：因為a→⊥c→，a→=(x，2，2)，c→對于B，因為b→∥c→，b→=(2，y，2)，c→對于C，a→=(x，2，2)，b→=(2，y，2)，可得a→對于D，a→則cos＜a→,故選：AC．【點評】本題主要考查空間向量共線、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2025?河北開學(xué)）已知空間中三個向量a→=(1，2，?1)，b→A．|aB．(aC．b→在c→上的投影向量為D．cos?【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可依次求解．【解答】解：a→則|a→|=向量a→=(1，2，?1)，則a→b→則(a→+b→?c故b→在c→上的投影向量為b→a→?b故cos＜a→，故選：ACD．【點評】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024秋?青島校級期末）已知空間四點O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），則下列說法正確的是（）A．OB→B．cos?OAC．點O到直線BC的距離為5 D．O，A，B，C四點共面【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；空間中點到直線的距離及兩平行直線間的距離；空間中點到平面的距離；空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】ABC【分析】計算數(shù)量積判斷A，求向量夾角判斷B，利用向量垂直判斷C，根據(jù)空間向量共面定理判斷D．【解答】解：由題意可知，OA→=(0，1，2)，OB→所以O(shè)B→?BC又OA→?OB→=所以cos＜OA→，因為OB→?BC→=0，所以O(shè)B→⊥BC→，|OC→假設(shè)若O，A，B，C四點共面，則OA→設(shè)OC→=xOA則2y=3x=22x?y=1，此方程組無解，所以O(shè)，A，B，C四點不共面，故故選：ABC．【點評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?合肥校級期末）平面向量的基本定理：如果e1→、e2→是平面上兩個不平行的向量，那么該平面上的任意向量a→，存在唯一的一對實數(shù)λ、μ，使得a→=λe1→+μe2→．類推得到空間向量的基本定理：如果e1→、e2→、【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底；類比推理；平面向量的基本定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】不共面的向量；存在唯一的一組實數(shù)λ、μ、v；a【分析】直接類比推理，即可得到答案．【解答】解：平面向量的基本定理：如果e1→、e2那么該平面上的任意向量，存在唯一的一對實數(shù)λ、μ，使得a→=λe1類比平面向量基本定理，如果e1→、e2→、存在唯一的一組實數(shù)λ、μ、v，使得a→故答案為：不共面的向量；存在唯一的一組實數(shù)λ、μ、v；a→【點評】本題考查了類比推理，屬于基礎(chǔ)題．14．（2025春?張掖校級期中）已知向量a→=(?2，3，5)，b→=(1，?2，0)，則|a【考點】空間向量線性運算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】26．【分析】根據(jù)空間向量模的運算求得正確答案．【解答】解：向量a→=(?2，3，5)，則a→所以|a故答案為：26．【點評】本題主要考查空間向量模的運算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025春?江蘇校級期中）已知a→=(3，2，?1)，b→=(2，1，2)，當(dāng)（ka→+b→）⊥（【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】6．【分析】根據(jù)空間向量的垂直關(guān)系列方程求解即可．【解答】解：因為a→=（3，2，﹣1），b→=（2，1，2），且（ka→所以（ka→+b→）?（a→?2b→）＝ka→2即（9+4+1）k﹣（2k﹣1）（6+2﹣2）﹣2×（4+1+4）＝0，解得k＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了空間向量的數(shù)量積運算問題，是基礎(chǔ)題．16．（2025春?楊浦區(qū)期中）已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1，如圖建系，若DB1→的坐標(biāo)為（4，3，2），則A【考點】空間向量運算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】（﹣4，3，2）．【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示可得．【解答】解：由題意DB1→=(4，3，2)，故AD＝4，AB故C1（0，3，3），A（4，0，0），故AC故答案為：（﹣4，3，2）．【點評】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?江蘇校級月考）已知空間三點A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．（1）若向量kAB→?AC→（2）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積．【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】（1）1413（2）33【分析】（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算公式求出kAB→?AC→（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積公式△ABC中角A的余弦值即cos∠BAC，進而求出sin∠BAC，再由面積公式求出S△ABC，即可求四邊形面積．【解答】解：（1）因為A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），所以AB→=(1，4，6)?(0，2，3)=(1，2，3)，所以kAB∵向量（kAB→?AC→解得k=14（2）∵AB→?AC∴由數(shù)量積公式得出向量夾角余弦值，即cos∠BAC=AB則sin∠BAC=1?co以AB，AC為鄰邊構(gòu)成平行四邊形面積S＝2S△ABC，而S△ABC∴以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積S=2S【點評】本題考查空間向量線性運算即數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．18．（2025春?興化市校級月考）已知空間三點A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．（1）若向量kAB→?AC→（2）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積．【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運算求解．【答案】（1）1413（2）33【分析】（1）根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算求出kAB→?（2）根據(jù)數(shù)量積公式求出三角形ABC中角A余弦值即cos∠BAC，再由面積公式求出S△ABC，即可得出平行四邊形面積．【解答】解：（1）∵A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），∴AB→=(1，4，6)?(0，2，3)=(1