1.2一定是直角三角形嗎

第一章勾股定理

北師大版2024·八年級上冊章節(jié)導(dǎo)讀1.1.1探索勾股定理1.1.2驗(yàn)證勾股定理1.2一定是直角三角形嗎？1.3勾股定理的應(yīng)用勾股定理的初步認(rèn)識利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算勾股定理的簡單應(yīng)用勾股定理的驗(yàn)證勾股定理的逆定理勾股數(shù)立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短距離勾股定理的實(shí)際應(yīng)用學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)121.探索并證明勾股定理的逆定理.2.能運(yùn)用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形.知識回顧1.勾股定理的前提條件是什么？直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方條件：在Rt△ABC中，∠C=90°.結(jié)論：a2+b2=c2.ABCcab知識回顧ABCcab2.反過來，如果一個三角形滿足了“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，那么它一定是直角三角形嗎？條件：△ABC中a2+b2=c2.？結(jié)論：Rt△ABC，∠C=90°.新知探究下面有三組數(shù)，分別是一個三角形的三邊長a，b，c：

①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.問題1

分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是新知探究這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c：

①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.①5，12，13滿足52+122=132，②7，24，25滿足72+242=252，③8，15，17滿足

82+152=172.a2+b2=c2新知探究思考：從上述問題中，能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？

如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.我覺得這個猜想不準(zhǔn)確，因?yàn)闇y量結(jié)果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.新知探究？A

B

C

abc如圖，已知△ABC的三邊長a,b,c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′∠C是直角△ABC是直角三角形△ABC≌△A′B′C′新知探究簡要說明：作一個直角∠MC1N，在

C1M

上截取

C1B1

=

a

=

CB，在

C1N

上截取

C1A1

=

b

=

CA，連接

A1B1.在Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得A1B12=a2+b2=AB2.所以A1B1

=AB.所以△ABC≌△A1B1C1(SSS).所以∠C=∠C1=90°.所以△ABC是直角三角形.acbACBbC1MNB1A1新知探究勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.ACBabc特別說明：符號語言：在△ABC中，若a2+b2=c2則△ABC是直角三角形.新知探究滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).ABCcab常見的勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k（k為正整數(shù)），得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).典例分析你能根據(jù)題意畫出圖形嗎？在你畫的圖形中存在一個怎樣的三角形？方法技巧例1.一個零件的形狀如圖1所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖2所示，這個零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖1圖2典例分析解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個零件符合要求.DABC4351312典例分析根據(jù)勾股定理及其逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.方法技巧例2.下面以a，b，c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一個角是直角？(1)a=15，b=8，c=17；解：因?yàn)?52+82=289，172=289，所以152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15；解：因?yàn)?32+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以這個三角形不是直角三角形.典例分析根據(jù)勾股定理及其逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.方法技巧例2.下面以a，b，c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一個角是直角？(3)a∶b∶c=3∶4∶5.解：設(shè)a=3k，b=4k，c=5k。因?yàn)?/p>

a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，所以

a2+b2

=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，∠C是直角.小明方法技巧利用勾股定理的逆定理，找出三邊之間的關(guān)系，并求求CD的長利用勾股定理及其逆定理求線段長題型一題型探究小明例3.如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的長.ABDC勾股定理的逆定理△ABD為直角三角形△ACD為直角三角形求CD方法技巧勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用題型一題型探究小明解：因?yàn)锳B＝13，AD＝12，BD＝5，所以AD2＋BD2＝122＋52＝169＝132＝AB2.所以△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°.所以∠ADC＝180°－∠ADB＝90°.所以△ACD是直角三角形.根據(jù)勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，所以CD＝9.ABDC利用勾股定理的逆定理，找出三邊之間的關(guān)系，并求求CD的長課堂小結(jié)一定是直角三角形嗎勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形勾股數(shù)：滿足

a2+b2=c2

的三個正整數(shù)a，b，c變式訓(xùn)練1.將直角三角形的三邊長擴(kuò)大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形A變式訓(xùn)練2.若△ABC

的三邊a，b，c滿足a2

+b2

+c2

+50=6a+8b+10c.試判斷

△ABC

的形狀.解：因?yàn)?/p>

a2

+

b2

+

c2

+

50

=

6a

+

8b

+

10c，

所以

a2

-6a

+9+b2

-8b+16+c2

-10c+25=0，

即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.

所以

a=3，b=4，c=5.

所以a2

+

b2

=c2.

所以△ABC是直角三角形.變式訓(xùn)練3.如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理