三角函數(shù)專題三三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)4.7正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

注：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義

域內(nèi)任意一個(gè)值時(shí)，都有f（x＋T）＝f（x），則稱函數(shù)y＝f（x）為周期函

數(shù).如果周期函數(shù)y＝f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)T0，那么這個(gè)最

小的正數(shù)T0就稱為y＝f（x）的最小正周期.如正弦函數(shù).

2.

余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：實(shí)數(shù)集R.

（2）值域：[－1，1].（3）周期性：余弦函數(shù)y＝cos

x，x∈R的最小正周期為2π，周期T＝2kπ

（k∈Z且k≠0）.（4）奇偶性：余弦函數(shù)y＝cos

x，x∈R是偶函數(shù).（5）單調(diào)性：余弦函數(shù)y＝cos

x，x∈R在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上是減函

數(shù)，在[π＋2kπ，2π＋2kπ]（k∈Z）上是增函數(shù).（6）最值：當(dāng)x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，y取最大值，ymax＝1；當(dāng)x＝π＋2kπ

（k∈Z）時(shí)，y取最小值，ymin＝－1.

例1

作函數(shù)y＝2－sin

x，x∈R的簡(jiǎn)圖，并求該函數(shù)的最大值、最小值、最小

正周期以及函數(shù)取最大值、最小值時(shí)x的集合.【考查目標(biāo)】本題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用.【解析】列表如下，圖略.x0π2πsin

x010－10y＝2－sin

x21232

變式訓(xùn)練1求函數(shù)y＝2sin

x，x∈R的最大值、最小值，及函數(shù)取得最大值、最小值時(shí)自變

量x的集合.

【考查目標(biāo)】本題考查正弦函數(shù)最值的應(yīng)用和誘導(dǎo)公式.【解題技巧】求形如“y＝a＋b

sin

x”“y＝a＋b

cos

x”函數(shù)的最值，要按照

b＞0和b＜0進(jìn)行分類討論求解.變式訓(xùn)練2（1）（2025屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖几呷茁?lián)考）若函數(shù)f（x）＝－

a

cos

x＋2的最大值是3，則函數(shù)f（x）的最小值是（A）.A.1B.

－3C.

－1D.1或－1【解析】由題意可知，a≠0，當(dāng)cos

x＝1時(shí)，f（x）＝－a＋2；當(dāng)cos

x＝－1

時(shí)，f（x）＝a＋2.當(dāng)a＞0時(shí)，a＋2＝3，此時(shí)a＝1，函數(shù)f（x）的最小值

是－a＋2＝－1＋2＝1；當(dāng)a＜0時(shí)，－a＋2＝3，此時(shí)a＝－1，函數(shù)f（x）的

最小值是a＋2＝－1＋2＝1.故函數(shù)f（x）的最小值是1.A【解析】由f（0）＝2，得－m

cos

0－m＝2，即m＝－1，則f（x）＝cos

x＋

1.又因?yàn)閥＝cos

x的值域?yàn)閇－1，1]，所以f（x）的最小值是0.（2）（2024屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谖宕温?lián)考）已知函數(shù)f（x）＝－m

cos

x－m，若f（0）＝2，則f（x）的最小值是（D）.A.1B.

－1C.3D.0D

【解析】

（1）要使函數(shù)有意義，必須使｜sin

x｜≠0，∴sin

x≠0，∴函數(shù)的

定義域?yàn)閧x｜x≠kπ，k∈Z}.

【考查目標(biāo)】本題考查三角函數(shù)的定義域.

要使函數(shù)有意義，必須使cos

x＋1≠0，即cos

x≠－1，結(jié)合圖像（如圖），函數(shù)的定義域是{x｜x≠π＋2kπ，k∈Z}.

（2）sin

250°與sin

260°.【解析】

（2）∵180°＜250°＜260°＜270°，且正弦函數(shù)y＝sin

x在區(qū)間

[180°，270°]上是減函數(shù)，∴sin

250°＞sin

260°.【考查目標(biāo)】本題考查利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【解題技巧】

（1）利用余弦函數(shù)y＝cos

x在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)判斷它們的

大?。唬?）利用正弦函數(shù)y＝sin

x在區(qū)間[180°，270°]上是減函數(shù)判斷它們的大小.

一、選擇題1.

函數(shù)y＝cos

x（2－cos

x）－sin2x的最大值是（A）.A.1B.2C.3D.4【解析】y＝cos

x（2－cos

x）－sin2x＝2cos

x－cos2x－sin2x＝2cos

x－

1，因?yàn)閏os

x∈[－1，1]，所以該函數(shù)的最大值是1.

AD

C.π

C

D5.

函數(shù)f（x）＝－cos

x的單調(diào)增區(qū)間為（C）.B.

（－π＋kπ，kπ）（k∈Z）C

＜

三、解答題8.

已知函數(shù)y＝A

sin

x＋B（x∈R）的最大值為5，最小值為3，求A，B的值.解：①當(dāng)A＞0時(shí)，A＋B＝5，－A＋B＝3，解得A＝