數(shù)列專題二等差數(shù)列5.2等差數(shù)列

知識點(diǎn)1

等差數(shù)列的定義1.

等差數(shù)列的定義一般地，當(dāng)一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)

時(shí)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用

字母d表示.2.

等差數(shù)列的定義式：an＋1－an＝d（d為常數(shù)）.注：①要證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，只要證明an＋1－an＝d（d為常數(shù)）即可；②等差數(shù)列的單調(diào)性：d＞0?遞增數(shù)列，d＝0?常數(shù)列，d＜0?遞減數(shù)列.知識點(diǎn)2

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1.

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋（n－1）d，其中a1表示首項(xiàng)，n表示項(xiàng)數(shù)，d表示公差.2.

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣an＝am＋（n－m）d（n∈N*，m∈N*）.注：①利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以求數(shù)列中的任意一項(xiàng)；②在公差d≠0的等差數(shù)列中，an是關(guān)于n（n∈N*）的一次函數(shù)，即an＝dn＋

b.知識點(diǎn)3

等差數(shù)列的性質(zhì)1.

等差中項(xiàng)

2.

等差數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap

＋aq.知識點(diǎn)4

等差數(shù)列前n項(xiàng)和1.

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

注：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式共涉及a1，d，n，an，Sn五個(gè)基本量，根據(jù)其中

的三個(gè)基本量可以求出另外兩個(gè)基本量；②當(dāng)已知首項(xiàng)a1、末項(xiàng)an以及項(xiàng)數(shù)n時(shí)，選用（1）式計(jì)算Sn較簡便；③當(dāng)已知首項(xiàng)a1、公差d以及項(xiàng)數(shù)n時(shí)，選用（2）式計(jì)算Sn較簡便.2.

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例1

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－3.（1）求數(shù)列{an}的第10項(xiàng)；【解析】

（1）a10＝2×10－3＝17.（2）判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列.【解析】

（2）∵an＝2n－3，∴an＋1－an＝2（n＋1）－3－（2n－3）＝2.又∵a1＝2×1－3＝－1，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－1，公差為2的等差數(shù)列.【考查目標(biāo)】本題考查根據(jù)通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的值及等差數(shù)列的定義.【解題技巧】證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本方法：利用等差數(shù)列的定義來證

明，即an＋1－an＝d（d為常數(shù)）.變式訓(xùn)練1（1）（2023年安徽省職教高考真題）在等差數(shù)列{an}中，若a2＝3，a5＝6，則

a8＝（D）.A.6B.7C.8D.9

D（2）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝－2n＋3（n∈N*）.①求a6；解：①a6＝－2×6＋3＝－9.②數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列？若是，求出首項(xiàng)與公差.解：②∵an＋1－an＝[－2（n＋1）＋3]－（－2n＋3）＝－2，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1＝－2×1＋3＝1，公差d＝－2.例2

（2019年安徽省職教高考真題）在數(shù)列{an}中，a1＝4，an＋1－an＝2

（n∈N*），則a6＝（）.A.12B.14C.16D.18【考查目標(biāo)】本題考查等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】

由a1＝4，an＋1－an＝2（n∈N*），得數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝4，公差d

＝2的等差數(shù)列，那么a6＝a1＋5d＝4＋5×2＝14.【答案】

B【解題技巧】解答本題的關(guān)鍵：由已知條件判斷出數(shù)列{an}是等差數(shù)列，再利

用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.變式訓(xùn)練2在等差數(shù)列{an}中，若a2＝3，2an＋1－2an＝4（n∈N*），則a4＝（C）.A.5B.6C.7D.8【解析】由2an＋1－2an＝4（n∈N*），得an＋1－an＝2，故a4＝a2＋2d＝3＋

2×2＝7.C例3

在等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a9＝－13.求：（1）等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10.

【考查目標(biāo)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.【解題技巧】

①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋（n－1）d共涉及a1，d，n，an

四個(gè)基本量，由已知條件列方程組求解未知量即可；②在求解等差數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意等差數(shù)列的性質(zhì)：若m，n，p，

q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.變式訓(xùn)練3（1）（2020年安徽省職教高考真題）在等差數(shù)列{an}中，a1＝－3，公差d＝

3，若Sn＝27，則n＝（B）.A.5B.6C.7D.8

B（2）在等差數(shù)列{an}中，若a2＝3，a7＝13，則S8＝（D）.A.128B.92C.80D.64D

（3）（2024屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉诎舜温?lián)考）記Sn為等差數(shù)列{an}

的前n項(xiàng)和.若S6－S9＝15，則a8＝（B）.A.5B.

－5C.3D.

－3【解析】由S6－S9＝15，得S9－S6＝a7＋a8＋a9＝－15，又因?yàn)閍7＋a9＝2a8，

所以3a8＝－15，即a8＝－5.B例4

（2021年安徽省職教高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝5，且a2

＝－2，則a4＝（）.A.6B.4C.3D.2【考查目標(biāo)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.【解析】因?yàn)镾5＝5a1＋10d＝5，且a2＝a1＋d＝－2，所以d＝3，a1＝－5，

所以a4＝a1＋3d＝－5＋3×3＝4.【答案】

B【解題技巧】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，求出a1，d的值，即可

求出a4的值.變式訓(xùn)練4（1）（2022屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谒拇温?lián)考）在等差數(shù)列{an}中，

已知a5＝8，前3項(xiàng)和S3＝6，則a9的值為（B）.A.14B.16C.18D.20

B（2）（2022年安徽省職教高考真題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝

9，S4＝30，則a3＝（B）.A.12B.9C.6D.3

B例5

已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－27，當(dāng)n為何值時(shí)，其前n項(xiàng)和

Sn取最小值？最小值是多少？【考查目標(biāo)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【解題技巧】

①在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1＜0，d＞0時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn有最小

值；當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn有最大值；②因?yàn)楫?dāng)公差d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n（n∈N*）的二次函數(shù)，即Sn＝an2＋bn，所

以在求關(guān)于前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，可借助二次函數(shù)求解.變式訓(xùn)練5在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，S4＝S9，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n＝（D）.A.5B.6C.7D.6或7【解析】∵a1＞0，S4＝S9，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴a6＞0，a7＝0，a8＜

0，∴Sn取最大值時(shí)，n為6或7.D

一、選擇題1.

在等差數(shù)列{an}中，a3＝－2，d＝3，則a1＝（B）.A.

－9B.

－8C.

－7D.

－2【解析】

a1＝a3－2d＝－2－6＝－8.2.

在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a7＝19，則a20的值為（C）.A.28B.48C.58D.68BC3.

已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－n，則a5＝（B）.A.11B.8C.20D.35【解析】

a5＝S5－S4＝20－12＝8.4.

在等差數(shù)列{an}中，若S15＝300，則a7＋a9的值為（B）.A.20B.40C.60D.80BB5.

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝2，a9＝18，則S9＝（C）.A.180B.135C.90D.45

C6.

已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝6n＋9，則a1和d分別為（C）.A.6，9B.15，9C.15，6D.1，3C7.

（2025屆安徽省“江淮十校”職教高考高三摸底聯(lián)考）已知各項(xiàng)不相等的等差

數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝nan－2（n∈N且n＞2），則n＝（

C）.A.3B.4C.5D.6

C8.

在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＝25，a3＋a4＝45，則公差d＝（B）.A.1B.5C.8D.12【解析】由等差數(shù)列的定義可知，a3＋a4＝（a1＋2d）＋（a2＋2d）＝a1＋a2

＋4d，即45＝25＋4d，解得d＝5.B9.

（2024屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谖宕温?lián)考）已知Sn為等差數(shù)列{an}

的前n項(xiàng)和.若S4＝0，a5＝5，則a4＝（C）.A.6B.4C.3D.9

C10.

在等差數(shù)列{an}中，若a4，a6分別是方程x2－10x＋24＝0的兩實(shí)數(shù)根，那么

a5＝（C）.A.3B.4C.5D.6【解析】因?yàn)閍4，a6分別是方程x2－10x＋24＝0的兩實(shí)數(shù)根，所以a4＋a6＝2a5

＝10，所以a5＝5.C二、填空題11.1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝

?.

12.

在等差數(shù)列{an}中，若a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10＝

?.13.

在等差數(shù)列{an}中，若a3＝25，a5＝15，則a7＝

?.【解析】由題意可得，a3＋a7＝2a5，即a7＝2a5－a3＝2×15－25＝5.n22