一、概率的加法定理二、條件概率和乘法公式三、事件的獨立性四、全概率公式與貝葉斯公式第二節(jié)概率基本運算法則及其應(yīng)用一、概率的加法定理

定理6-1兩個互不相容事件A與B的并事件的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和,即

推論1若是兩兩互不相容事件,則有

推論2事件A的逆事件的概率為定理6-2設(shè)A、B是任意兩個事件，則證明:即Ω推論3若為A、B、C任意三個事件，則

例6-6一盒針劑共50支,其中45支是合格品,5只是不合格品,從這批針劑中任取3支,求其中有不合格品的概率.

解:設(shè)A為“取出的三支針劑中有不合格品”事件,為“取到三支有支不合格品”事件,,顯然互不相容,且.另法:

例6-710名學(xué)生為同一年出生,問至少二人同一天生日的概率.

解:設(shè)A為“至少兩人同一天生日”,則為沒有人同一天生日.

例6-8

已知某城市中有50%的用戶訂日報，65%的用戶訂晚報，85%用戶至少報中的一種，問同時訂兩種報的用戶占百分之幾？

解:設(shè)“用戶訂日報”事件為A,”用戶訂晚報”事件為B，則“訂兩種報中的一種”為由已知，則所求概率為即同時訂兩種報的用戶占30%

在許多實際問題中,除了要知道事件B的概率外,往往還要知道在事件A已發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,我們將事件A已發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率簡記為1.條件概率二、條件概率和乘法公式

在美國某大學(xué)高血壓研究中心就診的306各有末端器官損害的高血壓病人,按嚴(yán)重程度和有無心絞痛分類,各組病人數(shù)如下表

輕型至中型號重型合計有心絞痛史18725無心絞痛史24338281

合計26145306

設(shè)A為“任選一名高血壓病人是重型者”,B為“病人無心絞痛史”,則

如果已知道一名病人是重型,那么他無心絞痛史的條件概率是多少呢?由于A已經(jīng)發(fā)生,他肯定屬于45個重型病人中的一個,在這些重型病人中,無心絞痛史占38人,故對于這個條件概率也可以用另一種方法計算,即定義6-5對事件A,B，若P(A)>0，則稱

為在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率.AΩ

例6-9

設(shè)某種動物由出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4。如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是多少？

解:設(shè)A表示“能活到20歲以上”，B表示“能活到25歲以上”.

則由已知從而所求的概率為

例6-1010件物品中有2件次品,若不放回地抽取,問:第一次取到正品后第二次取得正品的概率.解:設(shè)A={第一次取到正品}B={第二次取到正品}則所求概率為:

定理6-3兩個事件的交事件的概率等于其中一事件的概率與另一個事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積:

概率的乘法公式可以推廣到有限多個事件的情形.例如,對于三個事件A,B,C有

例6-11一群人中,聾子的概率為0.005,盲人的概率為0.0085,而聾子中是盲人的概率為0.12,求某人又聾又盲的概率.

解:

設(shè)A={聾子},B={盲人}則:

P(A)=0.005;P(B)=0.0085;P(B/A)=0.12所求概率：P(又聾又盲)=P(AB)三、事件的獨立性

對乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)，有的問題中事件B發(fā)生的概率與事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率是相等的，即相當(dāng)于無條件概率，B是否發(fā)生與A無關(guān)，從而此時稱A與B是相互獨立的.定義6-6設(shè)A、B為兩事件，若P(B)=P(B/A),則稱事件A與事件B相互獨立.

若A與B相互獨立,則成立,反之亦然.

定理6-4事件A與事件B相互獨立的充分必要條件是2.若事件A與B是相互獨立的，則,與都是相互獨立的.與

注意:1.對于個事件,若任意兩個都是相互獨立的,則

例6-12有一種治療流行感冒的新藥,在500名流行感冒的病人中,有的服了這種藥(A),有的沒有服這種藥().經(jīng)5天后,有的痊愈(B),有的未痊愈().各種情況的人數(shù)見下表,其中170表示服用藥痊愈(AB)的人數(shù),其余類似.試判斷這種新藥對流感是否有效?服藥與治療統(tǒng)計表療效服藥A未服藥合計痊愈B170230400未痊愈4060100合計210290500

解:將痊愈的概率與服藥后的條件概率加以比較.由于試驗共500例,試驗次數(shù)相當(dāng)大,故可用頻率近似地估計概率:

因為與幾乎相等,故可認(rèn)為事件B與事件A相互獨立,表明服藥與不服藥對感冒痊愈影響不大,新藥對流感無意義.

例6-13考慮兩個孩子的家庭,假定男女出生率一樣,第一次出生的是女孩的用A表示,第二次出生的是男孩用B表示,說明A與B兩事件是否相互獨立.

解:兩個孩子家庭按出生先后順序排列共有四種可能結(jié)果:(女,女),(女,男),(男,女)(女,女).于是有顯然,所以A與B相互獨立.

例6-14假設(shè)對50歲男子的調(diào)查結(jié)果為:患某病的事件為C,其概率;常吸煙用D事件表示,

試說明不吸煙與患某病事件是否相互獨立?再求和,并說明二比值的含義.解:與互不相容又因因此,說明不吸煙與患某病事件不是相互獨立.又因

前一比值表明“吸煙并患病者”的概率是“不吸煙并患病者”的概率的4倍;后一比值說明吸煙者患病可能性是不吸煙者患病可能性的6倍,雖然兩比值都說明吸煙與患病的有關(guān),但后一比值才真正反映吸煙與否而導(dǎo)致患病的比值.

例6-15某藥廠的針劑車間灌裝一批合格注射液,需經(jīng)四道工序.從長期生產(chǎn)經(jīng)驗知,由于割鋸時掉入玻璃屑面成廢品的概率為0.4%,由于安瓿洗滌不潔而成廢品的概率為0.2%,由于灌裝時污染劑液而成廢品的概率為0.1%,由于封口不嚴(yán)密而成廢品的概率為0.6%,求經(jīng)過四工序而成為合格品的概率.

解:很明顯,一道工序結(jié)果的好壞與另一道工序無關(guān),即造成廢品的四個因素是相互獨立的,生產(chǎn)出合格品的四道工序也是相互獨立的.設(shè)表示“第道工序合格品”,由概率的簡法公式四、全概率公式與貝葉斯公式證明:

定理6-5(全概率公式)設(shè)兩兩互不相容,且,若則事件B的概率A1A2An…...BA1BA2…...BAn由概率的可加法公式,得再由乘法公式所以而且由兩兩互不相容也兩兩互不相容

例6-15

有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時生產(chǎn)的.其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品中正品率為95%,乙廠產(chǎn)品正品率為90%,丙廠產(chǎn)品正品率為85%,如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,試計算該產(chǎn)品是正品的概率多大?

解:設(shè)A、B、C分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，D表示抽得產(chǎn)品為正品，則由已知，

從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到：

定理(6-6)(貝葉斯公式)設(shè)兩兩互不相容,且,若則有

現(xiàn)有一人用此法檢驗患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．例6-16用某種方法普查肝癌，設(shè)：已知A={用此方法判斷被檢查者患有肝癌}，D={被檢查者確實患有肝癌}，解:由貝葉斯公式,得

例6-17某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片,已知其中5盒、3盒、2盒依次甲、乙、丙廠是生產(chǎn)的,且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種X光片的次品率依次為1/10、1/15、1/20,從這10盒中任取1盒,再從取出的這盒中任取一張X光片,問（1）取得正品的概率;（2）若取得正品,所取正品依次是甲、乙、丙廠是生產(chǎn)的概率是多少?

解:(1)設(shè)分別表示是甲、乙、丙廠是生產(chǎn)的,B表示X光片是正品,則有由全概率公式(2)

由貝葉斯公式可求得X光片是正品并且是屬于甲廠生產(chǎn)的概率例6-18假定具有癥狀

中一個或數(shù)個的疾病為其中S1=食欲不振S2=胸痛S3=呼吸急促S4=發(fā)熱疾病人數(shù)出現(xiàn)S中一個或幾個癥狀人數(shù)775075005250420070003500

現(xiàn)從20000份患有疾病的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)字：

試問當(dāng)一個具有S中癥狀的病