線性代數(shù)

linearalgebra第七章第一節(jié)行列式一、行列式的概念和計算二、行列式的性質(zhì)和計算一、行列式的概念和計算用消元法解二元線性方程組方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.上述公式不易記憶,為此引進(jìn)記號

由四個數(shù)排成二(橫)行、二(豎)列,故稱為二階行列式.對角線法則二階行列式的計算主對角線副對角線對于二元線性方程組系數(shù)行列式二元線性方程組的解為注意

:

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例7-1解二元一次方程組解:稱為三階行列式.對排成三行三列的式子引進(jìn)記號(1)沙路法三階行列式的計算

注意:

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．(2)對角線法則

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組

2.

三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).則三元線性方程組的解為:例7-2

解:按對角線法則，有例7-3

解線性方程組解:由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為:

定義7-1由個數(shù)排成行列,并左右兩邊各加一豎線,即稱為階行列式.當(dāng)時,當(dāng)時,其中

稱為的代數(shù)余子式,為余子式.

是由階行列式劃去所在的第1行第列后留下的階行列式.例如,四階行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為例7-4按定義7-1計算行列式解:按第1行展開例7-5證明下三角行列式證明:按第1行展開

主對角線以上(下)元素全為0的行列式稱為下(上)三角行列式.由于零元素集中,通常將零元素省略不寫.例7-6計算四階行列式解:按第1行展開二、行列式的性質(zhì)和計算1.行列式的性質(zhì)則行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.

性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.若由性質(zhì)1可知,行列式對行成立的性質(zhì)對列也成立.例7-7計算上三角行列式解:由性質(zhì)1可知,而為下三角行列式,由例7-6可得.性質(zhì)2

行列式的兩行(列)互換,則行列式反號.

性質(zhì)3

行列式一行（列）的公因子可以提出來:例7-8計算五階反對稱行列式(中元素滿足解:因為性質(zhì)1性質(zhì)3所以性質(zhì)4

一行(列)元素全為零的行列式,其值為零.性質(zhì)5

兩行(列)完全相同的行列式,其值為零.證明:把這兩行(列)互換,由性質(zhì)2,有,故.性質(zhì)6

兩行(列)元素對應(yīng)成比例的行列式,其值為零.

性質(zhì)7若行列式的某行(列)所有元素都是兩數(shù)之和,則該行列式等于兩個同階行列式之和:

性質(zhì)8把行列式某行(列)乘以同一常數(shù)后加到另一行(列)上去，行列式的值不變．2.行列式的計算定理7-1行列式可以按第行展開也可以按第列展開行列式的計算方法(1)按行(列)展開.(2)化為上(下)三角行列式.例7-9計算解法1:解法2:例7-10

計算

解:這個行列式的特點(diǎn)是各行4個數(shù)之和都是6，今把第2，3，4列同時加到第一列，提出公因子6，然后各行減去第一行.

證明:用數(shù)學(xué)歸納法例7-11

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1階范德蒙德行列式有

定理7-2

行列式中任一行(列)的元素乘以另外一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零,即

綜合定理7-1和定理7-2,可得代數(shù)余子式的重要性質(zhì):或小結(jié)1.n行列式的概念2.行列式的性質(zhì)3.行列式的計算(1)按行(列)展開.(2)化為上(下)三角行列式.第二節(jié)矩陣一、矩陣的概念二、矩陣的運(yùn)算三、矩陣的逆四、矩陣的初等變換一、矩陣的概念定義7-2由m×n個數(shù)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表

稱為m行n列矩陣,簡稱m×n矩陣,通常用大寫字母A，B，C

表示.簡記為

或

或

這m×n個數(shù)成為第i行第j列元素.當(dāng)m=n時,稱A為n階矩陣或n階方陣，記作.稱為行矩陣,又稱行向量.只有一行的矩陣幾個特殊矩陣:

只有一列的矩陣稱為列矩陣又稱列向量.

如果兩個矩陣A與B的行數(shù)和列數(shù)分別相等，則稱A與B是同型矩陣.與

對于兩個同型矩陣那么就稱矩陣A與B相等,記作A=B；如果它們的對應(yīng)元素相等，即所有元素都是零的矩陣成為零矩陣,記作或O.

注意:不同型的零矩陣是不同的.的方陣稱為上三角形矩陣或下三角形矩陣.簡記為形如或或

如

非主對角線元素全部是零的方陣稱為對角矩陣.對角矩陣也記作

稱為n階單位矩陣,簡稱單位矩陣.這種方陣的特點(diǎn)是其主對角線上的元素都是1,其余元素都是0.如n階矩陣把單位矩陣簡記為I.二、矩陣的運(yùn)算1.矩陣的加法與數(shù)乘

定義7-3設(shè)都是m×n

矩陣,對應(yīng)位置元素相加得到的m行n列矩陣,稱為矩陣與之和,記作,即A+B

注意

:只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如

設(shè)

,稱矩陣

為A的

負(fù)矩陣記作－A,即

有了負(fù)矩陣的概念,可定義兩個m×n

矩陣A、B

的差為A－B=A+(－

B).例如

定義7-4以數(shù)乘矩陣A的每一個元素所得到的矩陣,稱為數(shù)與矩陣A的積,記作或,即數(shù)與矩陣相乘,簡稱為數(shù)乘.矩陣的加法與數(shù)乘滿足下列性質(zhì):2.矩陣的乘法

定義7-5設(shè)是矩陣,是則矩陣,則矩陣A與B的乘積是矩陣,其中

注意:

只有當(dāng)左側(cè)矩陣A的列數(shù)與右側(cè)矩陣B的行數(shù)相同數(shù)相同時,兩個矩陣才能相乘.例7-12已知求AB解:例7-13設(shè)求AB及BA.解:ABBA注意:

AB≠BA,這說明矩陣的乘法不滿足交換律.

則例7-14設(shè)即AB=AC,但B≠C.即矩陣的乘法不滿足消去律.例7-15設(shè)矩陣則對于n元線性方程組則 即利用矩陣的乘法,方程組可表示成矩陣方程 AX=B.

其中A為線性方程組的系數(shù)矩陣,B為常數(shù)向量,X為未知數(shù)向量.矩陣的乘法滿足結(jié)合律和分配律:（其中為數(shù)）;注意:

定義7-6設(shè)A是n階方陣,k個A連乘積稱為A的k次冪,記作,即方陣的冪滿足下列運(yùn)算法則,、為任意非負(fù)整數(shù)3.矩陣的轉(zhuǎn)置例如矩陣

定義7-7

把一個m×n矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的n×m的矩陣,這個矩陣稱為原矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣.記作.矩陣的轉(zhuǎn)置滿足如下規(guī)律:求解法一:例7-16設(shè)矩陣

解法二:

定義7-8設(shè)是階方陣,如果,則稱A為對稱矩陣;如果,則稱A為正交矩陣.都是對稱矩陣.

例如

對稱矩陣的特點(diǎn)是:它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.定理7-3充要條件是由定理7-3可知,如果A是正交矩陣,則一定滿足:(1)任一行(列)元素的平方和為1.(2)任意不同的兩行(列)對應(yīng)元素乘積之和為0.4.方陣的行列式

定義7-9由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變)稱為方陣的行列式,記為或.(此式稱為行列式乘法公式)方陣A的行列式滿足下列運(yùn)算規(guī)律:

解:例7-17

設(shè)求01020304例1（P15）例7（P24）例8（P28）例12（P34）矩陣的概念和計算線上內(nèi)容習(xí)題例題例8求：|AB|,|A3|,|3A|.

第七章第四節(jié)線性方程組若系數(shù)行列式

定理7-13(克拉默法則)

含有元個方程的線性方程組那么此線性方程組有唯一解例7-33解線性方程組解:

上述克拉默法則只適于求變量個數(shù)與方程個數(shù)相等的線性方程組,且須滿足系數(shù)行列式的條件.在實(shí)際中,常會遇到不滿足上述條件的線性方程組.下面簡要介紹有關(guān)線性方程求解的基本知識.從現(xiàn)在起,我們將元線性方程組記為其中A為矩陣,為矩陣,為矩陣.當(dāng)方程組中常數(shù)項全為零時,則方程化為

稱為齊次線性方程組;當(dāng)時,稱為非齊次線性方程組.只證明(1)由定理7-5,存在.因此方程只能有唯一解.定理7-14(1)當(dāng)時,方程組只有零解;(2)

當(dāng)時,方程組除具有零解外,還有無數(shù)多個解.例7-34當(dāng)為何值時,齊次線性方程組有非零解?當(dāng)有非零解時,求它的解.解:

當(dāng)時,齊次線性方程組有非零解,并且從階梯矩陣知齊次線性方程組解為

其中為自由元,取為不為零的任意數(shù),即可得到不同的非零解.,則是齊次方程組當(dāng)自由元時特解;該齊次線性方程的通解可用向量表示為(為任意常數(shù))

注意:用消元法解線性方程組時,只能對矩陣作初等行變換,而不能作列變換.

定義7-23階矩陣稱為非齊次線性方程組的增廣矩