晶格振動3.2一維雙原子鏈

許多晶體的原胞里含有的原子數(shù)多于一個。為了表示復(fù)式格子的晶格振動特性，考慮由兩個不同原子組成的一維雙原子鏈：

第三章晶格振動

3.2.1運動方程

一維雙原子鏈：紅色原子質(zhì)量M

綠色原子質(zhì)量m

2n+22n+12n2n-22n-1x2n-1x2nx2n+1x2n+2x2n-2βββββaaaa第三章晶格振動對綠色原子：對紅色原子：

第三章晶格振動當原子鏈包含N個原胞（即有N個綠色原子和N個紅色原子共2N個原子）時，應(yīng)有2N個方程組成的聯(lián)立方程組。令方程有解：

第三章晶格振動代入

第三章晶格振動因此：同理：

第三章晶格振動方程組與n無關(guān)：

整理后得到：第三章晶格振動改寫：齊次方程組有非零解的條件是：

第三章晶格振動故：

第三章晶格振動可以得到兩個ω2的值：

把代回方程組：

第三章晶格振動則有：

第三章晶格振動由格波解：可知：相鄰原胞之間的位相差為2qa(原胞長度為2a)

第三章晶格振動如果把2qa改變2

倍，則原子的運動狀態(tài)沒有改變：即為一維雙原子鏈的布里淵區(qū)。在這個范圍內(nèi)任意一個q有兩個格波解：頻率為

第三章晶格振動仍然采用周期性邊界條件：

第三章晶格振動又因為：

第三章晶格振動即n共有N個不同的取值：由N個原胞（共含2N個原子）組成的的一維雙原子鏈，q可以取N個不同的值，每個q對應(yīng)兩個解。一共2N個不同的格波，數(shù)目正好等于鏈的自由度得到了鏈全部的振動模式。第三章晶格振動3.2.2雙原子鏈的色散關(guān)系：

ω+(q)ω-(q)聲學波光學波色散關(guān)系的特點

短波極限兩種格波的頻率因為M＞m——不存在格波——頻率間隙——一維雙原子晶格叫做帶通濾波器第三章晶格振動3.2.3聲學波與光學波研究q0時ω(q)的關(guān)系具有特殊意義：對一維單原子鏈：

第三章晶格振動ω與q的函數(shù)關(guān)系如圖所示：0FirstBrillionzone第三章晶格振動

有：

第三章晶格振動當?shù)谌戮Ц裾駝语@然；對于連續(xù)介質(zhì)的彈性波，有：c為波速第三章晶格振動表明當一維單原子鏈中的格波相當于連續(xù)介質(zhì)中的彈性波。如果相鄰原子的相對位移為δ時，則：相對伸長為：相互作用力為：第三章晶格振動其中：鏈的伸長模量為：鏈的密度為：

第三章晶格振動故：即當把原子鏈看成是彈性波時，c為彈性波的波速。第三章晶格振動對一維雙原子鏈，有：

第三章晶格振動對聲學波：當注意第三章晶格振動

方程組第三章晶格振動或：這里：其中：伸長模量=β(2a)

密度=（m+M/a）

聲學波的色散關(guān)系與一維布拉維格子形式相同第三章晶格振動即長聲學波的頻率正比于波數(shù)，就是把一維鏈看成是連續(xù)介質(zhì)時的彈性波。對于長聲學波，表明原胞里的兩種原子的運動是一樣的，振幅和位相都沒有差別。第三章晶格振動即長聲學波代表了原胞的質(zhì)心的振動，而q=0時則代表了整個晶體的平動?；蛘哒f聲學波時兩種原子是同向運動的。

長聲學波示意圖第三章晶格振動對光學波：

第三章晶格振動即與n無關(guān)，表明N個聯(lián)立方程都歸結(jié)為同一個方程。或者：只要ω與q滿足：其中：第三章晶格振動兩種原子的振幅比為：

第三章晶格振動

表明原胞內(nèi)的兩個原子以相反的位相、不同的振幅進行振動。

第三章晶格振動即光學波的長波極限描述的是同一原胞里的兩個原子相對于質(zhì)心的振動。或者說光學波時兩種原子是反向運動的。

長光學波示意圖

長光學波與電磁波的作用——在長波極限下，對于典型的

和

值——對應(yīng)于遠紅外的光波——遠紅外光波激發(fā)離子晶體，可引起晶體中長光學波的共振吸收光波的頻率——波矢遠遠小于一般格波的波矢，只有q~0的長光學波可以與遠紅外的光波發(fā)生共振吸收將可以與光波作用的長光學波聲子稱為電磁聲子

理想實際理想晶格缺陷理想原子排列雜質(zhì)周期邊界自由邊界簡諧近似非簡諧近似第三章晶格振動3.2.4二維正方晶格為了表示二維晶格的振動特性，考慮由相同原子的行和列組成的一平面正方晶格的橫振動：令原子質(zhì)量為M，最近鄰原子的力常數(shù)為β，xl,m表示在第l行、第m列的原子垂直于晶格平面的位移。

第三章晶格振動

l+1,ml-1,mββββaal,ml,m+1l,m-1第三章晶格振動

只考慮最近鄰原子的影響：第（l，m）個原子受到(l＋1，m)、(l－1，m)、(l，m＋1)、(l，m－1)四個原子的作用力為：

(l＋1，m)原子對它的力＝β(xl+1,m-xl,m)(l-1，m)原子對它的力＝β(xl-1,m-xl,m)(l，m+1)原子對它的力＝β(xl,m+1-xl,m)(l，m-1)原子對它的力＝β(xl,m-1-xl,m)第三章晶格振動運動方程式：

第三章晶格振動

令方程有解：

代入方程有：第三章晶格振動因此：所以：

第三章晶格振動由上可以得知：

ul,m;ω均為qx、qy的周期函數(shù)，周期為2π/a即全部解都落在一個邊長為2π/a的正方形區(qū)域內(nèi)，這正是二維正方格子的第一布里淵區(qū)。

第三章晶格振動對于q=qx;qy=0方向，有：對于qx＝qy方向：

第三章晶格振動ω2與q的色散關(guān)系：

0q=qx;q