晶格振動(dòng)3.2一維雙原子鏈

許多晶體的原胞里含有的原子數(shù)多于一個(gè)。為了表示復(fù)式格子的晶格振動(dòng)特性，考慮由兩個(gè)不同原子組成的一維雙原子鏈：

第三章晶格振動(dòng)

3.2.1運(yùn)動(dòng)方程

一維雙原子鏈：紅色原子質(zhì)量M

綠色原子質(zhì)量m

2n+22n+12n2n-22n-1x2n-1x2nx2n+1x2n+2x2n-2βββββaaaa第三章晶格振動(dòng)對(duì)綠色原子：對(duì)紅色原子：

第三章晶格振動(dòng)當(dāng)原子鏈包含N個(gè)原胞（即有N個(gè)綠色原子和N個(gè)紅色原子共2N個(gè)原子）時(shí)，應(yīng)有2N個(gè)方程組成的聯(lián)立方程組。令方程有解：

第三章晶格振動(dòng)代入

第三章晶格振動(dòng)因此：同理：

第三章晶格振動(dòng)方程組與n無關(guān)：

整理后得到：第三章晶格振動(dòng)改寫：齊次方程組有非零解的條件是：

第三章晶格振動(dòng)故：

第三章晶格振動(dòng)可以得到兩個(gè)ω2的值：

把代回方程組：

第三章晶格振動(dòng)則有：

第三章晶格振動(dòng)由格波解：可知：相鄰原胞之間的位相差為2qa(原胞長(zhǎng)度為2a)

第三章晶格振動(dòng)如果把2qa改變2

倍，則原子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)沒有改變：即為一維雙原子鏈的布里淵區(qū)。在這個(gè)范圍內(nèi)任意一個(gè)q有兩個(gè)格波解：頻率為

第三章晶格振動(dòng)仍然采用周期性邊界條件：

第三章晶格振動(dòng)又因?yàn)椋?/p>

第三章晶格振動(dòng)即n共有N個(gè)不同的取值：由N個(gè)原胞（共含2N個(gè)原子）組成的的一維雙原子鏈，q可以取N個(gè)不同的值，每個(gè)q對(duì)應(yīng)兩個(gè)解。一共2N個(gè)不同的格波，數(shù)目正好等于鏈的自由度得到了鏈全部的振動(dòng)模式。第三章晶格振動(dòng)3.2.2雙原子鏈的色散關(guān)系：

ω+(q)ω-(q)聲學(xué)波光學(xué)波色散關(guān)系的特點(diǎn)

短波極限兩種格波的頻率因?yàn)镸＞m——不存在格波——頻率間隙——一維雙原子晶格叫做帶通濾波器第三章晶格振動(dòng)3.2.3聲學(xué)波與光學(xué)波研究q0時(shí)ω(q)的關(guān)系具有特殊意義：對(duì)一維單原子鏈：

第三章晶格振動(dòng)ω與q的函數(shù)關(guān)系如圖所示：0FirstBrillionzone第三章晶格振動(dòng)

有：

第三章晶格振動(dòng)當(dāng)?shù)谌戮Ц裾駝?dòng)顯然；對(duì)于連續(xù)介質(zhì)的彈性波，有：c為波速第三章晶格振動(dòng)表明當(dāng)一維單原子鏈中的格波相當(dāng)于連續(xù)介質(zhì)中的彈性波。如果相鄰原子的相對(duì)位移為δ時(shí)，則：相對(duì)伸長(zhǎng)為：相互作用力為：第三章晶格振動(dòng)其中：鏈的伸長(zhǎng)模量為：鏈的密度為：

第三章晶格振動(dòng)故：即當(dāng)把原子鏈看成是彈性波時(shí)，c為彈性波的波速。第三章晶格振動(dòng)對(duì)一維雙原子鏈，有：

第三章晶格振動(dòng)對(duì)聲學(xué)波：當(dāng)注意第三章晶格振動(dòng)

方程組第三章晶格振動(dòng)或：這里：其中：伸長(zhǎng)模量=β(2a)

密度=（m+M/a）

聲學(xué)波的色散關(guān)系與一維布拉維格子形式相同第三章晶格振動(dòng)即長(zhǎng)聲學(xué)波的頻率正比于波數(shù)，就是把一維鏈看成是連續(xù)介質(zhì)時(shí)的彈性波。對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，表明原胞里的兩種原子的運(yùn)動(dòng)是一樣的，振幅和位相都沒有差別。第三章晶格振動(dòng)即長(zhǎng)聲學(xué)波代表了原胞的質(zhì)心的振動(dòng)，而q=0時(shí)則代表了整個(gè)晶體的平動(dòng)。或者說聲學(xué)波時(shí)兩種原子是同向運(yùn)動(dòng)的。

長(zhǎng)聲學(xué)波示意圖第三章晶格振動(dòng)對(duì)光學(xué)波：

第三章晶格振動(dòng)即與n無關(guān)，表明N個(gè)聯(lián)立方程都?xì)w結(jié)為同一個(gè)方程?；蛘撸褐灰嘏cq滿足：其中：第三章晶格振動(dòng)兩種原子的振幅比為：

第三章晶格振動(dòng)

表明原胞內(nèi)的兩個(gè)原子以相反的位相、不同的振幅進(jìn)行振動(dòng)。

第三章晶格振動(dòng)即光學(xué)波的長(zhǎng)波極限描述的是同一原胞里的兩個(gè)原子相對(duì)于質(zhì)心的振動(dòng)?；蛘哒f光學(xué)波時(shí)兩種原子是反向運(yùn)動(dòng)的。

長(zhǎng)光學(xué)波示意圖

長(zhǎng)光學(xué)波與電磁波的作用——在長(zhǎng)波極限下，對(duì)于典型的

和

值——對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)紅外的光波——遠(yuǎn)紅外光波激發(fā)離子晶體，可引起晶體中長(zhǎng)光學(xué)波的共振吸收光波的頻率——波矢遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一般格波的波矢，只有q~0的長(zhǎng)光學(xué)波可以與遠(yuǎn)紅外的光波發(fā)生共振吸收將可以與光波作用的長(zhǎng)光學(xué)波聲子稱為電磁聲子

理想實(shí)際理想晶格缺陷理想原子排列雜質(zhì)周期邊界自由邊界簡(jiǎn)諧近似非簡(jiǎn)諧近似第三章晶格振動(dòng)3.2.4二維正方晶格為了表示二維晶格的振動(dòng)特性，考慮由相同原子的行和列組成的一平面正方晶格的橫振動(dòng)：令原子質(zhì)量為M，最近鄰原子的力常數(shù)為β，xl,m表示在第l行、第m列的原子垂直于晶格平面的位移。

第三章晶格振動(dòng)

l+1,ml-1,mββββaal,ml,m+1l,m-1第三章晶格振動(dòng)

只考慮最近鄰原子的影響：第（l，m）個(gè)原子受到(l＋1，m)、(l－1，m)、(l，m＋1)、(l，m－1)四個(gè)原子的作用力為：

(l＋1，m)原子對(duì)它的力＝β(xl+1,m-xl,m)(l-1，m)原子對(duì)它的力＝β(xl-1,m-xl,m)(l，m+1)原子對(duì)它的力＝β(xl,m+1-xl,m)(l，m-1)原子對(duì)它的力＝β(xl,m-1-xl,m)第三章晶格振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程式：

第三章晶格振動(dòng)

令方程有解：

代入方程有：第三章晶格振動(dòng)因此：所以：

第三章晶格振動(dòng)由上可以得知：

ul,m;ω均為qx、qy的周期函數(shù)，周期為2π/a即全部解都落在一個(gè)邊長(zhǎng)為2π/a的正方形區(qū)域內(nèi)，這正是二維正方格子的第一布里淵區(qū)。

第三章晶格振動(dòng)對(duì)于q=qx;qy=0方向，有：對(duì)于qx＝qy方向：

第三章晶格振動(dòng)ω2與q的色散關(guān)系：

0q=qx;q