PAGE1試卷第=page4242頁(yè)，共=sectionpages4343頁(yè)第六章平面向量及其應(yīng)用（15題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記知識(shí)點(diǎn)01：向量的加法（1）向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.（2）向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.知識(shí)點(diǎn)02：向量的減法（1）相反向量與向量長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.①零向量的相反向量仍是零向量②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:③若,互為相反向量,則，，.（2）向量減法定義向量加上的相反向量，叫做與的差，即.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進(jìn)行運(yùn)算.（3）向量減法的幾何意義已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.知識(shí)點(diǎn)03：向量三角不等式①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與反向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如中，中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：中中間鏈接號(hào)都是正號(hào)“符同”，故同向共線時(shí)等號(hào)成立；知識(shí)點(diǎn)04：向量的數(shù)乘（1）向量數(shù)乘的定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.知識(shí)點(diǎn)05：向量共線定理內(nèi)容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.知識(shí)點(diǎn)06：平面向量數(shù)量積的概念（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0（2）投影如圖,設(shè),是兩個(gè)非零向量,,,作如下變換:過的起點(diǎn)和終點(diǎn),分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.知識(shí)點(diǎn)07：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),,使.若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.知識(shí)點(diǎn)08：平面向量的坐標(biāo)表示（1）兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.坐標(biāo)表示：，則：；（2）向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).坐標(biāo)表示:,則.知識(shí)點(diǎn)09：平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè),,其中,則當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù),使得；用坐標(biāo)表示,可寫為,即：消去得到：.這就是說(shuō),向量()共線的充要條件是.知識(shí)點(diǎn)10：兩個(gè)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示已知非零向量，（1）．（2）知識(shí)點(diǎn)11：向量模的坐標(biāo)表示向量模的坐標(biāo)表示若向量，由于，所以．其含義是：向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．知識(shí)點(diǎn)12：兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示已知非零向量，是與的夾角，則．知識(shí)點(diǎn)13：平面幾何中的向量方法①平面兩個(gè)向量的數(shù)量積：；②向量平行的判定:；③向量平行與垂直的判定:；④平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：（其中，）⑤求模：；；知識(shí)點(diǎn)14：余弦定理（1）余弦定理的描述①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號(hào)語(yǔ)言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：；（2）余弦定理的推論；；知識(shí)點(diǎn)15：正弦定理（1）正弦定理的描述①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.②符號(hào)語(yǔ)言：在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有（2）正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤④，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥⑤，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）知識(shí)點(diǎn)16：解決幾何問題的常見公式三角形面積的計(jì)算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).0303題型歸納題型一：平面向量基本概念例題1：（24-25高一上·遼寧·期末）關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．零向量沒有方向 B．兩個(gè)單位向量是相等向量C．共線的兩個(gè)向量方向相同 D．若兩個(gè)非零向量的和為零向量，則它們互為相反向量【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示、向量加法的法則、零向量與單位向量【分析】根據(jù)零向量的的定義、平面向量的定義，結(jié)合相等向量的定義、共線向量的定義逐一判斷即可.【詳解】向量既有大小又有方向，A不正確．兩個(gè)單位向量的方向不一定相同，則它們不一定是相等向量，B不正確．共線的兩個(gè)向量方向相同或相反，C不正確．若兩個(gè)非零向量的和為零向量，則它們互為相反向量，D正確故選：D例題2（23-24高一下·廣東東莞·開學(xué)考試）給出下列六個(gè)命題：①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若，則；③在四邊形中，若，則四邊形是平行四邊形；④平行四邊形中，一定有；⑤若，，則；⑥若，，則其中不正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示、向量的模、相等向量、平行向量（共線向量）【分析】根據(jù)向量的概念可依次判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】解：①兩個(gè)向量相等是指大小相等，方向相同，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故錯(cuò)誤；②若，方向不同，則不一定成立；③在四邊形中，若，則且，所以四邊形是平行四邊形，正確；④平行四邊形中，一定有，正確；⑤若，，則，正確；⑥，，則，取時(shí)，與不一定共線，錯(cuò)誤．其中不正確的命題的個(gè)數(shù)為3.故選：B.例題3（多選）（23-24高一下·福建福州·期中）已知、、是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．非零向量、，滿足且與同向，則B．C．若，則不與垂直D．【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系的向量表示、平面向量的概念與表示、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積【分析】根據(jù)向量的概念，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，以及，可判定B正確；根據(jù)向量的運(yùn)算律，得到，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)向量的概念，向量不能比較大小，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由向量的數(shù)量積的定義，可得，因?yàn)椋傻?，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，又，因?yàn)?，所以，所以D正確.故選：BD.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若方向相反，則與為相反向量B．模相等的兩個(gè)平行向量相等C．有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段D．共線向量是在同一條直線上的向量【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】相反向量、平面向量的概念與表示、平行向量（共線向量）【分析】根據(jù)共線向量，相反向量的定義即可求解.【詳解】，方向相反，但模不一定相等，與不一定是相反向量，故A錯(cuò)誤；相反向量的模相等，且為平行向量，但不是相等向量，故B錯(cuò)誤；由有向線段和向量的定義知，C正確；共線的兩個(gè)非零向量也可能不在同一條直線上，故D錯(cuò)誤．故選：C2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若與都是單位向量，則.B．“”是“”的必要不充分條件.C．若都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線.D．若，則.【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、零向量與單位向量、判斷命題的必要不充分條件、相反向量【分析】根據(jù)平面向量的定義以及向量共線的概念一一判斷.【詳解】對(duì)A，都是單位向量，則模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，所以得不到，A錯(cuò)誤；對(duì)B，“”推不出“”，但“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；對(duì)C，因?yàn)榕c反向共線，且，都為單位向量，則，C正確；對(duì)D，若，則，D正確，故選：A.3．（多選）（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的有（

）A．當(dāng)兩個(gè)非零向量共線時(shí)，一定有B．同向，且，則C．向量夾角為，在上的投影向量為D．若，則【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面向量的概念與表示、求投影向量、平面向量共線定理的推論【分析】根據(jù)向量共線定理判斷A，根據(jù)向量的性質(zhì)判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷C，根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉榉橇阆蛄?，且共線，由向量共線定理可得存在，使得，A正確，對(duì)于B，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，在上的投影向量為，C正確，對(duì)于D，取，，，滿足條件，但，D錯(cuò)誤，故選：BD.題型二：平面向量共線定理及推論例題1（24-25高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）在中，、分別在邊、上，且，，在邊上（不包含端點(diǎn)）．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】設(shè)，其中，推導(dǎo)出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)樵谶吷希ú话它c(diǎn)），不妨設(shè)，其中，即，所以，，又因?yàn)椋瑒t，，其中、均為正數(shù)，且有，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故則的最小值是.故選：A.例題2（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知在中，M是線段BC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)．若向量，則的最小值為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共線定理的推論、條件等式求最值【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的結(jié)論可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可得答案.【詳解】由題意M是線段BC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，向量可得，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為18．故選：C例題3（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的角平分線與邊交于點(diǎn)，且，則的最小值為.【答案】18【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共線定理證明點(diǎn)共線問題、數(shù)量積的運(yùn)算律、正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】由正弦定理角化邊得，由角平分線性質(zhì)以及三點(diǎn)共線可得，，，結(jié)合可得，結(jié)合“乘1法”即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠椒?，注意到，根?jù)菱形的性質(zhì)以及平行四邊形法則可知，與共線（同向），所以設(shè)，注意到三點(diǎn)共線，所以，又，所以，解得，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，的最小值為18.故答案為：18.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·山東·期中）已知向量，不共線，，，若，，三點(diǎn)共線，則（

）A． B．. C．1 D．2【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)【分析】因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，則與共線，由此可以根據(jù)向量共線的性質(zhì)列出等式，進(jìn)而求出與的關(guān)系，最后得出的值.【詳解】由于，，三點(diǎn)共線，所以與共線.存在實(shí)數(shù)，使得，即.因?yàn)?，不共線，根據(jù)向量相等的性質(zhì)，若，則.由，將其代入可得.故選：D.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知是圓上不同的三點(diǎn)，與交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），若，則的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】設(shè)，其中，根據(jù)條件得＝＋，利用共線的推論，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)榕c交于點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，所以與共線，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，可得＝＋，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，可得，所以的取值范圍是，故答案為：.3．（23-24高一下·山東日照·期末）已知平行四邊形ABCD，，，，．若F為線段DE上的一點(diǎn)，且，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線定理的推論、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、用基底表示向量【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算及共線向量定理的推論求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.【詳解】在中，，則，即，于是，而點(diǎn)F在線段DE上，因此，解得，則，由，，，得，則.

故答案為：題型三：平面向量基本定理例題1（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，若是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于，則有稱之為三角形的內(nèi)角平分線定理，現(xiàn)已知，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用平面向量基本定理求參數(shù)【分析】由角平分線定理可得出，求得，再由角平分線定理可得，由向量相等的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑膬?nèi)心，的延長(zhǎng)線交于，，，，由角平分線定理可得，可得，，即，則，又因?yàn)?，，且為的角平分線，所以，，所以，，又，且向量、不共線，所以，，所以.故選：C.例題2（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】向量加法的法則、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】設(shè)，根據(jù)圖形由向量的加法法則運(yùn)算即可；【詳解】設(shè)，因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以，所以，，又，所以，解得，故選：B.例題3（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）歐拉線是由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在1765年提出的一個(gè)幾何定理，指出在一個(gè)三角形中，其外心、重心和垂心共線.這條直線被稱為歐拉線.在三角形ABC中，O為三角形的外心，P為三角形垂心（O點(diǎn)與P點(diǎn)不重合），且，動(dòng)點(diǎn)M在直線OP上，且，則的最大值【答案】【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】首先利用歐拉線的性質(zhì)以及已知的平行關(guān)系得到一些向量關(guān)系，再根據(jù)向量的線性表示求出與的關(guān)系，最后求的最大值.【詳解】設(shè)為重心，則由歐拉線定理可知在上，連接交于點(diǎn)，所以為的中線，所以，點(diǎn)在直線上，設(shè)，所以，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)取最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于找出和的代數(shù)關(guān)系.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·遼寧·期中）等邊的邊長(zhǎng)為1，，分別是邊和上的點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用、用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】設(shè),依題得分別由三點(diǎn)共線和三點(diǎn)共線，利用平面向量基本定理得兩個(gè)向量方程，求得，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】如圖，不妨設(shè)，則因三點(diǎn)共線，故存在，使,又因三點(diǎn)共線，故存在，使,對(duì)照可得：，解得，即，于是故選：C.2．（23-24高一下·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知是實(shí)數(shù)，向量，不共線，若，則；．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，以及零向量的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)椴还簿€，由，得，解得.故答案為：；.3．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知和是兩個(gè)不共線的向量，，，且與是共線向量，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】設(shè)，，得出關(guān)于實(shí)數(shù)，的關(guān)系，求解即可.【詳解】因?yàn)楹褪莾蓚€(gè)不共線的向量，，，與是共線向量，設(shè)，，則，所以，所以.故答案為：.題型四：平面向量共線的坐標(biāo)表示例題1（24-25高三上·吉林·期末）已知，，，若，，三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】已知弦（切）求切（弦）、由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用共線的坐標(biāo)形式列式得，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，，則，若三點(diǎn)共線，則，則有，變形可得.故選：A例題2（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知為第三象限角，向量，，且與共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】由與共線，列方程求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出的值【詳解】因?yàn)?，，所以，由與共線得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈谌笙藿?，所?故選：C例題3（23-24高一下·河南三門峽·期中）已知向量（其中）.若與共線，則的最小值為.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)題意，由共線向量的坐標(biāo)表示可得，再結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由與共線可得，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知向量，，且實(shí)數(shù)，若A，B，C三點(diǎn)共線．則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【分析】由三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量共線，即共線，由向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，則，解得或，，.故選：D.2．（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．3或 D．1或【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故選：C3．（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）已知向量，若，則.【答案】．【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、向量模的坐標(biāo)表示【分析】利用向量平行的條件結(jié)合向量模的公式即可求解【詳解】因?yàn)橄蛄?，若，則，解得，即，所以．故答案為：．題型五：平面向量的數(shù)量積例題1（24-25高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知向量，在方向上的投影向量為，則（

）A． B． C．6 D．12【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解即得.【詳解】依題意，在方向上的投影向量為，則，而，所以.故選：A例題2（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)是4，是的中點(diǎn)，滿足，則（

）A．10 B．20 C．22 D．25【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】由平面向量的坐標(biāo)表示、結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，則，，所以．故選：B．例題3（24-25高三上·天津南開·期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，過中心的直線與兩邊，分別交于點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，則的取值范圍是；若是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】由向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，再由的值和的范圍可求得結(jié)果；令可得點(diǎn)T在BC上，再將轉(zhuǎn)化為，由、的范圍可求得結(jié)果.【詳解】由直線l過正方形的中心O且與兩邊AB、CD分別交于點(diǎn)M、N，得O為MN的中點(diǎn)，則，，由Q是BC的中點(diǎn)，得，又，則，所以取值范圍為；令，則，則，即，于是，即點(diǎn)T在直線BC上，因此，，則，而，因此，所以的最小值為.故答案為：；鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）中國(guó)象棋是一種古老的棋類游戲，大約有兩千年的歷史，是中華文明非物質(zhì)文化的經(jīng)典產(chǎn)物.如圖，棋盤由邊長(zhǎng)為1的正方形方格組成，已知“兵”“馬”“炮”“帥”分別位于A，B，C，D四點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算、用定義求向量的數(shù)量積【分析】結(jié)合向量的線性運(yùn)算，利用數(shù)量積定義直接求解即可.【詳解】如圖：可知，故.故選：A.2．（24-25高二上·廣東韶關(guān)·期中）已知向量和的夾角為，且，則（

）A．12 B． C．4 D．13【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄亢偷膴A角為，且，則.故選：D.3．（24-25高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在新春來(lái)臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花(如左圖).已知正方形的邊長(zhǎng)為4，中心為，四個(gè)半圓的圓心均在正方形各邊的中點(diǎn)(如右圖).若點(diǎn)位于半圓弧AD的中點(diǎn)，的值為;若點(diǎn)在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是

【答案】?8【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、由圓心（或半徑）求圓的方程【分析】當(dāng)位于半圓弧中點(diǎn)時(shí)，，用，然后由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得，計(jì)算時(shí)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，寫出半圓弧方程，得出其上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍，用坐標(biāo)計(jì)算，然后求得結(jié)論．【詳解】當(dāng)位于半圓弧中點(diǎn)時(shí)，，而，所以，，．以為建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，由已知，因此半圓弧的方程為（在直線上方的部分），在半圓?。òǘ它c(diǎn)）上，則，，，又，所以，由對(duì)稱軸，當(dāng)在半圓?。òǘ它c(diǎn)）上時(shí)，，同理當(dāng)在半圓?。òǘ它c(diǎn)）上時(shí)有，在半圓?。òǘ它c(diǎn)）上時(shí)有，綜上，，故答案為：；．

題型六：向量的模例題1（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，若向量且，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)計(jì)算向量的模、向量垂直的坐標(biāo)表示、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求得，再由向量的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由題知，又因?yàn)椋?，解得，所以，所以．故選：A．例題2（24-25高三上·廣西貴港·階段練習(xí)）已知為單位向量，且在上的投影向量為，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、向量夾角的計(jì)算、求投影向量【分析】利用平面向量的數(shù)量積及投影向量即可求出兩個(gè)向量的夾角，再利用向量的模長(zhǎng)公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)的夾角為，由題意得，，所以，故選：C例題3（24-25高三上·天津河?xùn)|·期末）在等腰梯形中，，是腰的中點(diǎn)，則的值為；若是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】?8【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量與幾何最值、坐標(biāo)計(jì)算向量的?！痉治觥孔鞒鲚o助線，求出各邊長(zhǎng)，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，求出，設(shè)，，故，求出，故，從而得到最小值.【詳解】過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)榈妊菪沃?，，所以，由勾股定理得，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故，是腰的中點(diǎn)，故，所以，設(shè)，，，則，故，，故，，故，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：?8，鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期末）已知單位向量和的夾角為，且，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、用定義求向量的數(shù)量積【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算律得出，即可得出模長(zhǎng).【詳解】，即.故選：D.2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知向量，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、坐標(biāo)計(jì)算向量的?！痉治觥坷米鴺?biāo)計(jì)算向量的模長(zhǎng)再結(jié)合數(shù)量積計(jì)算即可；【詳解】由題意可得，所以，所以.故答案為：.3．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量模的坐標(biāo)表示【分析】以為原點(diǎn)，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算表示及，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，故，以為原點(diǎn)，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取最小值．故答案為：．題型七：向量的夾角例題1（24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求?！痉治觥坷脭?shù)量積的運(yùn)算律及向量夾角公式計(jì)算得解.【詳解】單位向量滿足，則，，，所以.故選：A例題2（23-24高一下·北京大興·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的坐標(biāo)表示【分析】由向量夾角的余弦的坐標(biāo)公式直接計(jì)算即可得解.【詳解】根據(jù)題意知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所以，，則.故選：C例題3（23-24高一下·安徽阜陽(yáng)·期末）若向量滿足，則向量的夾角為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由向量線性運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)、向量夾角的坐標(biāo)表示【分析】設(shè)，由、求出向量的坐標(biāo)，再由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】設(shè)，由，，可得，解得，所以，設(shè)向量的夾角為，則，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·廣西·期末）若非零向量，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算、垂直關(guān)系的向量表示【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得數(shù)量積為零，由此構(gòu)造方程可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】，，即，又，.故選：D.2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，且在上的投影向量為，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的坐標(biāo)表示、求投影向量【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)投影向量公式求得，進(jìn)而求出與的坐標(biāo)，最后利用向量夾角的余弦值公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以在上的投影向量為，故，則，，所以與夾角的余弦值為．故選：A3．（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期中）已知為BC的中點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用坐標(biāo)表示平面向量、向量夾角的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標(biāo)表示，借助夾角公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，又，則，于是，所以．故選：D題型八：向量的投影例題1（24-25高三上·山東棗莊·階段練習(xí)）已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量為，則（

）A．?2 B． C．2 D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求投影向量【分析】利用投影向量的定義可得，代入坐標(biāo)計(jì)算可求得.【詳解】向量在方向上的投影向量為，所以，解得.故選：A.例題2（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知向量，滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、求投影向量【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求得，再利用投影向量的定義可求得在上的投影向量.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，從而在上的投影向量為．故選：B.例題3（24-25高三上·上海奉賢·期中）已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量、向量夾角的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義及計(jì)算公式直接可得解.【詳解】由已知，，則則在方向上數(shù)量投影為，故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，則在上的投影向量為（

）．A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求投影向量、坐標(biāo)計(jì)算向量的?！痉治觥坷猛队跋蛄康亩x,求解即可.【詳解】依題意，，，所以在上的投影向量為．故選：B.2．（24-25高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，，則在方向上的投影數(shù)量為.【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及投影數(shù)量的定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由向量與的夾角為，，可得；所以在方向上的投影數(shù)量為.故答案為：13．（24-25高三上·福建南平·期中）已知，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式可得坐標(biāo).【詳解】在方向上的投影向量為，故答案為：.題型九：向量平行垂直的坐標(biāo)表示例題1（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）已知向量且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用向量垂直求參數(shù)、向量夾角的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)題意得，計(jì)算的值，再根據(jù)平面向量夾角公式求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，則，解得，則，所以，又，所以.故選：B.例題2（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）已知向量，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，．所以，因?yàn)?，且，所以，得．?）因?yàn)?，，，所以，且．所以，得．例題3（23-24高一下·山東臨沂·期中）已知向量，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求向量與的夾角.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、向量夾角的坐標(biāo)表示、向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求得，再結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，，則，若，則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.（2）因?yàn)椋?，則，解得，可得，，則，且，所以向量與的夾角.鞏固訓(xùn)練1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】，，解得.故選：C.2．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)、利用向量垂直求參數(shù)、坐標(biāo)計(jì)算向量的?！痉治觥浚?）先由向量平行的坐標(biāo)表示求出未知量，進(jìn)而求得，再由坐標(biāo)形式的向量模長(zhǎng)公式即可求解.（2）先由題意得，再由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】（1）由得，所以，故，所以.（2）由已知又，所以，解得.3．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知向量，，．(1)若，求；(2)若與共線，求k的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】向量垂直的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】(1)利用向量垂直求參數(shù)的值，（2）利用向量共線求參數(shù)的值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以則則則（2）若與共線，則則題型十：兩個(gè)向量所成角為銳角或鈍角例題1（24-25高三上·河北·期中）已知向量與向量夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量夾角的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量夾角為鈍角，可得兩向量的數(shù)量積小于0且兩向量不平行，可求的值.【詳解】由，由.所以向量與夾角為鈍角時(shí)，且.故選：B例題223-24高一下·天津和平·期末）設(shè)向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)、用向量解決夾角問題【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平行坐標(biāo)公式判斷鈍角即可求出參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)榕c夾角為鈍角，可以得出,且不平行，則即且.即得.故答案為：例題3（23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知，且向量與不共線.(1)若與的夾角為，求；(2)若與的夾角為且向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)1(2)【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知向量共線（平行）求參數(shù)、用定義求向量的數(shù)量積、向量夾角的計(jì)算【分析】（1）由數(shù)量積定義可求得，展開代入即可求得結(jié)果；（2）由向量與的夾角的銳角，可得且不同向共線，展開解k即可.【詳解】（1）與的夾角為，，.（2）與的夾角為，，向量與的夾角為銳角，，且不能同向共線，，，解得且，即或，實(shí)數(shù)k的取值范圍是鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·湖南懷化·期中）已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、向量夾角的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)兩向量夾角為銳角得且不共線，列出不等式求解即可.【詳解】與的夾角為銳角，且與不共線，，解得：且，故答案為：2．（23-24高一下·山東濱州·階段練習(xí)）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐標(biāo)．（2）已知，若的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求投影向量、由向量共線（平行）求參數(shù)、坐標(biāo)計(jì)算向量的?！痉治觥浚?）根據(jù)投影向量的定義結(jié)合數(shù)量積和模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的符號(hào)之間的關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，向量在方向上的投影向量為：；（2）因?yàn)榈膴A角為銳角，所以，解得：，又當(dāng)與共線時(shí)，可得：，解得：，此時(shí)，此時(shí)與同向，需排除，所以的取值范圍是：.3．（23-24高一下·湖南岳陽(yáng)·期末）已知向量，，.(1)若，求t的值；(2)若與的夾角為鈍角，求t的取值范圍.【答案】(1)2(2)且【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、已知向量垂直求參數(shù)、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)向量垂直，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求解；（2）利用數(shù)量積的定義，轉(zhuǎn)化為且不平行，即可求參數(shù)取值范圍.【詳解】（1）由，可得，所以得，；（2）因?yàn)榈膴A角為鈍角，所以，可得，又當(dāng)共線時(shí)，可得，此時(shí)反向，的取值范圍為且.題型十一：利用正（余）弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)例題1（23-24高一下·湖北·期中）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中有兩解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)已知結(jié)合正弦定理判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A項(xiàng)是角角邊類型的三角形，有唯一解；B項(xiàng)解兩邊夾一角類型的三角形，是唯一解；C項(xiàng)是兩邊一對(duì)角類型的三角形，角B為鈍角，也是三角形的最大角，對(duì)應(yīng)三角形最大邊，但是，故該三角形無(wú)解；D項(xiàng)是兩邊一對(duì)角類型的三角形，，有兩個(gè)解，此三角形有兩解.故選：D.例題2（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則使得有兩組解的的值為.（寫出滿足條件的一個(gè)整數(shù)值即可）【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一個(gè)均可）【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)【分析】先根據(jù)正弦定理表示出，再根據(jù)三角形有兩組解的條件確定的取值范圍，從而得出滿足條件的的整數(shù)值.【詳解】由正弦定理，已知，，可得.因?yàn)?，，要使有兩組解，則有兩個(gè)值.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí).要使有兩個(gè)值，則且，即.所以滿足條件的一個(gè)整數(shù)值（答案不唯一，只要滿足的整數(shù)均可）.故答案為：6?（答案不唯一，6,7,8,9任意一個(gè)均可）例題3（23-24高一下·貴州銅仁·期末）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，.若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則邊的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)【分析】利用正弦定理，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得，然后根據(jù)三角形有兩解，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于的不等式，解之可得邊的取值范圍.【詳解】因?yàn)樵谥校?，，所以根?jù)正弦定理，可得，由，得，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則，即，解得：，即邊的取值范圍為；故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，，，若存在兩個(gè)這樣的三角形，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用、正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)【分析】由正弦定理可得，分析可知關(guān)于A的方程：在有兩解，結(jié)合正弦函數(shù)圖象分析求解.【詳解】由正弦定理可得，由題意可知：關(guān)于A的方程：在有兩解，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線，和水平直線，

因?yàn)樗鼈冇袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)，所以，所以.故選：C.2．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)正弦定理和圖形關(guān)系得到，然后解不等式即可.【詳解】在中，，，若有兩解，必須滿足的條件為：，即，故答案為：3．（23-24高一下·福建福州·期末）在中，，若此三角形恰有兩解，則BC邊長(zhǎng)度的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)【分析】依題意得，由求解【詳解】若恰有兩解，則，解得，即邊長(zhǎng)度的取值范圍為．故答案為：題型十二：利用正（余）弦定理判定三角形的形狀例題1（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知向量共線，則△的形狀為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個(gè)內(nèi)角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀【分析】由向量，共線可得，利用正弦定理結(jié)合倍角公式分析可得，同理可得，即可判斷結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，共線，則，由正弦定理可得：，則，因?yàn)?，則，可知，，，均不為，可得，則，即；同理由向量，共線可得：；綜上所述：.所以的形狀為等邊三角形.故選：A例題2（23-24高一下·山東煙臺(tái)·期中）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀、誘導(dǎo)公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】利用正弦定理變化角及三角形的內(nèi)角和定理，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍和三角方程即可求解.【詳解】由及正弦定理，得,所以,所以,即，即，解得或,當(dāng)時(shí)，又，,所以或（舍），所以為等腰三角形;當(dāng)時(shí)，又，所以，所以為直角三角形;綜上所述，為等腰或直角三角形.故選：D.例題3（23-24高一下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）中，角的對(duì)邊分別是a、b、c，若，則的形狀是.【答案】等腰三角形或直角三角形【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀、二倍角的正弦公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】利用正弦定理將條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，化簡(jiǎn)判斷三角形形狀.【詳解】因?yàn)椋瑸榈耐饨訄A半徑，所以，又，所以，所以，所以，又，所以或所以或，所以的形狀是等腰三角形或直角三角形.故答案為：等腰三角形或直角三角形.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）在中，已知，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀、二倍角的正弦公式、余弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】利用余弦定理邊化角化簡(jiǎn)等式，再利用二倍角的正弦及正弦函數(shù)性質(zhì)推理判斷即可.【詳解】在中，由及余弦定理，得，整理得，即，而，因此或，所以或，即為等腰三角形或直角三角.故選：C2．（23-24高一下·江蘇徐州·期中）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀、二倍角的余弦公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】先利用二倍角公式化簡(jiǎn)，然后利用正余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡(jiǎn)變形可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角?故選：D3．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為.【答案】等腰三角形或直角三角形.【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形狀【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理和余弦定理，得到，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)?，可得，由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，即，即，可得，所以或，所以是等腰三角形或直角三角?故答案為：等腰三角形或直角三角形.題型十三：求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）例題1（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）在中，，且的面積為，則邊的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用【分析】由三角形的面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以.故選：A.例題2（23-24高二下·重慶·期中）已知分別表示中內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)，其中，則的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】由三角形面積公式可得，結(jié)合余弦定理可求得，進(jìn)而可求得周長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，a=2，，，所以，由余弦定理得，所以，故的周長(zhǎng)為.故選：D.例題3（23-24高一下·福建莆田·期中）在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對(duì)邊，且，，則三角形的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得，再由是銳角，得到，然后根據(jù)正弦定理和三角形內(nèi)角和將周長(zhǎng)用表示，結(jié)合三角恒等變化和三角函數(shù)圖象即可求得范圍.【詳解】因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，即，而A為銳角，所以，因?yàn)楦鶕?jù)正弦定理，所以，因?yàn)槿切沃荛L(zhǎng)為，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，即，所以，即，，所?故選：C.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·湖南常德·期中）中，若且，則的周長(zhǎng)為（

）A． B．12 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用【分析】由三角形面積求得，再由正弦定理得，可解得，然后由余弦定理解得，可得三角形周長(zhǎng)．【詳解】由題意，，又，由正弦定理得，聯(lián)立解得，，所以．故選：C．2．（23-24高一下·山東菏澤·期中）已知是直徑為的圓內(nèi)接三角形，三角形的一個(gè)內(nèi)角滿足，則周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】由求出，再由正弦定理得到，進(jìn)而利用余弦定理和基本不等式求出，得到周長(zhǎng)的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，不妨設(shè)所對(duì)的邊為，則由正弦定理得，所以，由余弦定理得，即，由基本不等式得，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故周長(zhǎng)的最大值為.故選：D3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、輔助角公式【分析】先將已知條件中的切分離開來(lái)且切化弦，再結(jié)合三角恒等變換公式進(jìn)行整理得出角A，接著利用正弦定理進(jìn)行邊化角利用三角函數(shù)有界性即可探究周長(zhǎng)取值范圍，從而得出周長(zhǎng)最大值.【詳解】由題意得，整理得，，又，故角為，所以由正弦定理得，所以，，所以的周長(zhǎng)為：，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，，，所以，則，所以，故周長(zhǎng)的最大值為.故選：B.題型十四：求三角形面積例題1（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期末）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求證：；(2)若，，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、三角形面積公式及其應(yīng)用【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦公式化簡(jiǎn)即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用正弦定理、余弦定理及三角形面積公式計(jì)算.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，即，整理得，由正弦定理得，整理得，所以.（2）由（1）知，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面積為.例題2（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，，所對(duì)的邊分別為，，，且．(1)求；(2)若，的面積為，求．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、三角形面積公式及其應(yīng)用【分析】（1）由正弦定理邊角互化得，結(jié)合內(nèi)角和定理整理得，進(jìn)而求得.（2）由正弦定理得，結(jié)合面積公式得到，再利用余弦定理求.【詳解】（1）由題意及正弦定理得，，有，又由，有，又由，有，可得，可得，又由，可得.（2）由正弦定理及，有，又由的面積為，有，可得，，由余弦定理，有，故.例題3（24-25高二上·廣東韶關(guān)·期中）已知函數(shù).(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、三角形面積公式及其應(yīng)用、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)降冪公式以及兩角差的正弦公式逆用將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)已知條件求出角，再結(jié)合余弦定理以及重要不等式可求得的最值，再根據(jù)三角形的面積公式求得面積的最值.【詳解】（1），令，求得，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）由（1）可得，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，因?yàn)?，所以，根?jù)余弦定理，，，所以，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以三角形面積，則，面積的最大值為.鞏固訓(xùn)練1．（安徽省皖南八校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角的大??；(2)若點(diǎn)是邊中點(diǎn)，且，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值【分析】（1）由正弦定理角化邊再利用余弦定理求解即可；（2）由等面積法得，，所以，所以，結(jié)合基本不等式求解三角形面積的最大值即可.【詳解】（1），即，由正弦定理，得，即，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋矗?，由，所以，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.即面積的最大值為.2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若BD為AC邊上的中線，且，求面積的最大值.【答案】(1)(2)．【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、基本不等式求積的最大值【分析】（1）化切為弦，利用正弦定理及兩角和的正弦公式將條件化簡(jiǎn)得，即可得解.（2）根據(jù)同角函數(shù)基本關(guān)系求得，對(duì)兩邊平方得，進(jìn)而利用基本不等式求得，代入三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，由正弦定理得，即，所以，由，得，?（2）因?yàn)?，，所以，．因?yàn)锽D為AC邊上的中線，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，由基本不等式得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故，所以面積的最大值為．3．（24-25高三上·山東·階段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、求正切（型）函數(shù)的值域及最值、正弦定理解三角形【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)等式，進(jìn)而求解三角方程可得；（2）由銳角三角形求得角范圍，由正弦定理求出邊，再將三角形的面積轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)式