PAGE1第七章復數(shù)（單元重點綜合測試）班級___________姓名___________學號____________分數(shù)____________考試范圍：全章的內容；考試時間：120分鐘；總分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2024·甘肅張掖·一模）已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面上對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【知識點】共軛復數(shù)的概念及計算、判斷復數(shù)對應的點所在的象限【分析】由題意，根據(jù)共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，所以復數(shù)對應的點的坐標為，位于復平面的第三象限，故選：C.2．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求復數(shù)的模、復數(shù)的除法運算【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的模的計算公式即可得解.【詳解】由，得，所以，所以.故選：B.3．（24-25高三上·江西宜春·階段練習）已知復數(shù)為的共軛復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】共軛復數(shù)的概念及計算、復數(shù)的除法運算、求復數(shù)的實部與虛部【分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，再利用共軛復數(shù)和復數(shù)虛部的概念可得出結論．【詳解】由，得，因此的虛部為．故選：A．4．（青海省部分學校2024-2025學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題）若復數(shù)滿足，則（

）A． B．3 C． D．6【答案】D【知識點】復數(shù)的除法運算、共軛復數(shù)的概念及計算【分析】利用復數(shù)的四則運算及共軛復數(shù)的定義計算即可.【詳解】因為，所以，所以從而.故選：D.5．（24-25高三上·江蘇揚州·階段練習）“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識點】充要條件的證明、已知復數(shù)的類型求參數(shù)、復數(shù)的除法運算【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結合復數(shù)的除法運算及純虛數(shù)的概念求解.【詳解】復數(shù)，當時，，復數(shù)，是純虛數(shù)；當復數(shù)為純虛數(shù)時，有，解得.則“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的充要條件.故選：C6．（2025·河北邯鄲·二模）已知復數(shù)，，則在復平面內所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【知識點】復數(shù)的除法運算、判斷復數(shù)對應的點所在的象限【分析】由復數(shù)的除法法則計算化簡后，由復數(shù)的幾何意義得結論．【詳解】因為，所以在復平面內對應的點為，位于第三象限，故選：C.7．（24-25高三上·安徽·階段練習）已知i為虛數(shù)單位，實數(shù)a滿足，則復數(shù)的模為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【知識點】復數(shù)的相等、求復數(shù)的模、復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算【分析】根據(jù)復數(shù)運算求出，再根據(jù)復數(shù)模長計算公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，則，故選：C.8．（24-25高三上·云南昆明·期中）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，將其中的取就得到了歐拉恒等式，數(shù)學家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”.已知復數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【知識點】求復數(shù)的模、與復數(shù)模相關的軌跡（圖形）問題【分析】設，由復數(shù)的幾何意義和模長公式可得，結合的范圍，即可得出答案.【詳解】解析：設，則，，所以，因為，所以，所以的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（24-25高一上·浙江湖州·階段練習）已知復數(shù)在復平面內對應的點為，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知識點】求復數(shù)的模、復數(shù)的乘方、共軛復數(shù)的概念及計算、根據(jù)復數(shù)的坐標寫出對應的復數(shù)【分析】求出復數(shù)，結合復數(shù)模、共軛復數(shù)及乘方運算逐項計算判斷得解.【詳解】由復數(shù)在復平面內對應的點為，得，對于A，，A正確；對于B，，則，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，即，所以，D正確.故選：ACD10．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）已知虛數(shù)滿足，則（

）A．的實部為 B．的虛部為C． D．在復平面內對應的點在第三象限【答案】ACD【知識點】求復數(shù)的實部與虛部、求復數(shù)的模、共軛復數(shù)的概念及計算、判斷復數(shù)對應的點所在的象限【分析】根據(jù)共軛復數(shù)概念寫出，進而判斷各項的正誤.【詳解】由，得，所以的實部為的虛部為，在復平面內對應的點在第三象限，故選：ACD11．（24-25高三上·吉林長春·期末）已知，，若，為純虛數(shù)，為實數(shù)，則（

）A． B．的虛部為 C． D．【答案】ACD【知識點】求復數(shù)的實部與虛部、已知復數(shù)的類型求參數(shù)、復數(shù)的除法運算【分析】根據(jù)復數(shù)的模計算判斷A，根據(jù)復數(shù)的除法計算判斷B，再由純虛數(shù)、實數(shù)的概念判斷CD.【詳解】，故A正確；，虛部為，故B錯誤；為純虛數(shù)，，即，故C正確；為實數(shù)，，解得，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（24-25高一上·浙江湖州·階段練習）復數(shù).【答案】【知識點】復數(shù)的除法運算、復數(shù)的乘方【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)的乘方運算及除法運算求解即得.【詳解】復數(shù).故答案為：13．（24-25高二上·四川南充·階段練習）復數(shù)是純虛數(shù)，則.【答案】【知識點】已知復數(shù)的類型求參數(shù)、復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算【分析】利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的概念可得出關于實數(shù)的等式和不等式，解之即可?！驹斀狻恳驗闉榧兲摂?shù)，則，解得.故答案為：.14．（2024·吉林長春·一模）若，則.【答案】【知識點】復數(shù)的相等、復數(shù)的乘方【分析】利用復數(shù)的運算法則求解.【詳解】由于，則所以，，即.故答案為：.【點睛】方法點睛：復數(shù)運算的常用技巧在解題中的運用，若，則；若，則，，.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（24-25高一上·浙江湖州·階段練習）已知是關于的方程的一個根.(1)求的值；(2)若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值和.【答案】(1)；(2)，.【知識點】復數(shù)范圍內方程的根、求復數(shù)的模、已知復數(shù)的類型求參數(shù)、復數(shù)的相等【分析】（1）利用復數(shù)的運算法則以及復數(shù)相等的條件求解.（2）利用純虛數(shù)的定義以及復數(shù)模的定義求解.【詳解】（1）由是方程的一個根，得，整理得，因此，所以.（2）由（1）知，，由是純虛數(shù)，得，解得，則，所以.16．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）（1）計算：；（2）已知，求復數(shù)z．【答案】（1）；（2）或.【知識點】復數(shù)的相等、復數(shù)的乘方、復數(shù)的除法運算、共軛復數(shù)的概念及計算【分析】（1）利用復數(shù)的四則運算法則計算求解即可；（2）設，利用復數(shù)的運算、共軛復數(shù)的概念以及復數(shù)相等的性質列方程求解即可.【詳解】（1）；（2）設，由得，，即，所以，解得或，所以或.17．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎獜蛿?shù)，且為純虛數(shù)．(1)求復數(shù)；(2)設在復平面上對應的點分別為為坐標原點．求向量在向量上的數(shù)量投影．【答案】(1)(2)3【知識點】已知復數(shù)的類型求參數(shù)、復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、復數(shù)的向量表示、求投影向量【分析】（1）利用復數(shù)的概念及乘法運算計算即可；（2）利用復數(shù)的幾何意義和向量在向量上的數(shù)量投影公式計算即可.【詳解】（1），因為是純虛數(shù)，所以且，解得.所以.（2）由（1）可得，即，所以，所以向量在向量上的數(shù)量投影為.18．（23-24高一下·山東菏澤·階段練習）已知復數(shù)，，．(1)若，求角；(2)復數(shù)，對應的向量分別是，，（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）存在使等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)（?。áⅲ局R點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、輔助角公式、復數(shù)的相等、復數(shù)的向量表示【分析】（1）利用復數(shù)相等的性質和特殊角的三角函數(shù)值，結合角度的范圍即可求解；（2）（?。├孟蛄康臄?shù)量積結合兩角差的正弦公式，再由角度的范圍即可求出的取值范圍；（ⅱ）利用向量數(shù)量積的坐標運算化簡等式，轉化為和三角函數(shù)得表達式，求出三角函數(shù)的整體范圍，進而計算的取值范圍.【詳解】（1），，且，，，即，，又，故.（2）（ⅰ）由復數(shù)的坐標表示可得，，，，又，則.當時，取最大值為，當時，取最小值為，的取值范圍為；（ⅱ），，，又，則，化簡得，，，由小問（ⅰ）的結論可知，，解得或，綜上所述，的取值范圍為：.19．（24-25高二上·重慶·階段練習）代數(shù)基本定理：任何一個次復系數(shù)多項式方程至少有一個復根.由此可得如下推論：推論一：任何一元次復系數(shù)多項式在復數(shù)集中可以分解為個一次因式的乘積；推論二：一元次多項式方程有個復數(shù)根，最多有個不同的根.即一元一次方程最多有1個實根，一元二次方程最多有2個實根等.推論三：若一個n次方程有不少于個不同的根，則必有各項的系數(shù)均為.已知.請利用代數(shù)基本定理及其推論解決以下問題：(1)求的復根；(2)若，，使得關于x的方程至少有四個不同的實根，求的值；(3)若的圖像上有四個不同的點，以此為頂點構成菱形，設，，求代數(shù)式的值.【答案】(1)(2)(3)【知識點】復數(shù)范圍內方程的根【分析】（1）化簡該方程后借助因式分解結合求根公式計算即可得；（2）化簡方程后借助推論三計算即可得；（3）設出中點，代入計算后結合推論三可得點坐標，結合體型菱形對角線