PAGE1第十章概率易錯(cuò)訓(xùn)練與壓軸訓(xùn)練0101目錄TOC\o"1-1"\h\u易錯(cuò)題型一誤把頻率當(dāng)概率，混淆了頻率與概率的概念 1易錯(cuò)題型二混淆了互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別 3易錯(cuò)題型三忽視了概率加法公式適用的前提條件 5易錯(cuò)題型四基本事件列舉時(shí)出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏 7易錯(cuò)題型五混淆了有放回和無放回 10壓軸題型一獨(dú)立事件的判斷 13002易錯(cuò)題型易錯(cuò)題型一誤把頻率當(dāng)概率，混淆了頻率與概率的概念例題1：（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是70%”，下列說法正確的是（

）A．本市明天將有70%的地區(qū)降雨 B．本市有天將有70%的時(shí)間降雨C．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不帶雨具肯定要淋雨【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】天氣預(yù)報(bào)中的概率解釋【解析】根據(jù)概率的意義,可判斷各選項(xiàng).【詳解】氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是70%”,則本市明天降雨的可能性比較大.與降水地區(qū)面積和降水時(shí)間無關(guān),所以A,B錯(cuò)誤.降水概率是事件發(fā)生的可能,不是一定會(huì)發(fā)生的事情,所以D錯(cuò)誤.而由降水概率是70%,可知降水概率較大,所以明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大,所以C正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的概念和意義,屬于基礎(chǔ)題.例題2：（23-24高二上·湖北宜昌）某種彩票的中獎(jiǎng)概率為，則以下理解正確的是（

）A．購買這種彩票100000張，一定能中獎(jiǎng)一次B．購買這種彩票100000張，可能一次也沒中獎(jiǎng)C．購買這種彩票1張，一定不能中獎(jiǎng)D．購買這種彩票100000張，至少能中獎(jiǎng)一次【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】抽獎(jiǎng)、彩票的概率解釋【分析】根據(jù)隨機(jī)事件概率的定義逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】購買這種彩票100000張，相當(dāng)于做100000次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以每張彩票可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，對(duì)于ABD，購買這種彩票100000張，可能沒有一張中獎(jiǎng)，所以AD錯(cuò)誤，B正確對(duì)于C，購買這種彩票1張，有可能中獎(jiǎng)，所以C錯(cuò)誤，故選：B鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二·全國·假期作業(yè)）已知某廠生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從該批次產(chǎn)品中抽出100件產(chǎn)品檢查，則下列說法正確的是（

）A．合格產(chǎn)品少于90件 B．合格產(chǎn)品多于90件C．合格產(chǎn)品正好是90件 D．合格產(chǎn)品可能是90件【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】其他問題中的概率解釋【分析】根據(jù)概率的定義與性質(zhì)，直接可求解.【詳解】某廠生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從該批次產(chǎn)品中抽出100件產(chǎn)品檢查，在A中，合格產(chǎn)品可能不少于90件，故A錯(cuò)誤；在B中，合格產(chǎn)品可能不多于90件，故B錯(cuò)誤；在C中，合格產(chǎn)品可能不是90件，故C錯(cuò)誤；在D中，合格產(chǎn)品可能是90件，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查概率的定義與性質(zhì)的應(yīng)用，考查理解辨析能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降水的概率是30%”，對(duì)于這句話的理解，下列說法正確的是A．本市明天將有30%的地區(qū)降水B．本市明天將有30%的時(shí)間降水C．本市明天有可能降水D．本市明天肯定不降水【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】天氣預(yù)報(bào)中的概率解釋【分析】氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性為30%,逐一分析每個(gè)選項(xiàng)，得出答案.【詳解】氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性為30%,故A、B、D均不正確，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.易錯(cuò)題型二混淆了互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別例題1：（23-24高一下·山東濟(jì)南·期末）從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取兩個(gè)球，下列各組事件中，是互斥事件的是（

）A．“至少一個(gè)白球”與“至少一個(gè)黃球” B．“恰有一個(gè)白球”與“恰有兩個(gè)白球”C．“至多一個(gè)白球”與“至多一個(gè)黃球” D．“至少一個(gè)黃球”與“都是黃球”【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系【分析】利用互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生，來檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可.【詳解】從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取兩個(gè)球，共有三種結(jié)果：兩白球，一白一黃，兩黃球，這三個(gè)事件是互斥事件.所以B是正確的；由于至少一個(gè)白球，包含事件有兩白球和一白一黃，而至少一個(gè)黃球包含兩黃球和一白一黃，當(dāng)取到一白一黃時(shí)，此時(shí)這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故A錯(cuò)誤；由于至多一個(gè)白球，包含事件有一白一黃和兩黃球，而至多一個(gè)黃球包含一黃一白和兩白球，所以當(dāng)取到一白一黃時(shí)，此時(shí)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤；由于至少一個(gè)黃球，包含事件一白一黃和兩黃球，而都是黃球顯然也是兩黃球，故D錯(cuò)誤；故選：B.例題2：（多選）（23-24高二下·云南大理·期末）小華到大理旅游，對(duì)于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個(gè)景點(diǎn)，下列各事件關(guān)系中正確的是（

）A．事件“至少選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”與事件“至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”為互斥事件B．事件“兩個(gè)景點(diǎn)均未選擇”與事件“至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”互為對(duì)立事件C．事件“只選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”與事件“兩個(gè)景點(diǎn)均選擇”為互斥事件D．事件“兩個(gè)景點(diǎn)均選擇”與事件“至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”互為對(duì)立事件【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、確定所給事件的對(duì)立關(guān)系【分析】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，分析各個(gè)選項(xiàng)的內(nèi)容即可得到答案.【詳解】對(duì)于是否選擇崇圣寺三塔與蝴蝶泉這兩個(gè)景點(diǎn)，可能的結(jié)果有，兩個(gè)景點(diǎn)都不選擇，選擇一個(gè)景點(diǎn)，選擇兩個(gè)景點(diǎn)，事件“至少選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”包括選擇一個(gè)景點(diǎn)和選擇兩個(gè)景點(diǎn)，事件“至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”包括兩個(gè)景點(diǎn)都不選擇和選擇一個(gè)景點(diǎn)，所以事件“至少選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”與事件“至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”兩事件可能同時(shí)發(fā)生，A錯(cuò)誤；事件“兩個(gè)景點(diǎn)均未選擇”與事件“至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”兩事件可能同時(shí)發(fā)生，B錯(cuò)誤；事件“只選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”與事件“兩個(gè)景點(diǎn)均選擇”不能同時(shí)發(fā)生，C正確；事件“兩個(gè)景點(diǎn)均選擇”與事件“至多選擇其中一個(gè)景點(diǎn)”不能同時(shí)發(fā)生，并且必有一個(gè)發(fā)生，D正確.故選：CD鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二上·廣東江門·階段練習(xí)）袋中有10個(gè)紅球和10個(gè)綠球，它們除顏色不同外，其它都相同.從袋中隨機(jī)取2個(gè)球，互斥而不對(duì)立的事件是（

）A．至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)綠球 B．至少有一個(gè)紅球；都是紅球C．恰有一個(gè)紅球；恰有兩個(gè)綠球 D．至少有一個(gè)紅球；都是綠球【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義求解.【詳解】A.至少有一個(gè)紅球等價(jià)于：一個(gè)紅球，一個(gè)綠球；兩個(gè)紅球；至少有一個(gè)綠球等價(jià)于：一個(gè)綠球，一個(gè)紅球；兩個(gè)綠球，不互斥.B.至少有一個(gè)紅球等價(jià)于：一個(gè)紅球，一個(gè)綠球；兩個(gè)紅球；與都是紅球不互斥.C.恰有一個(gè)紅球等價(jià)于：一個(gè)紅球，一個(gè)綠球；與恰有兩個(gè)綠球互斥不對(duì)立D.至少有一個(gè)紅球等價(jià)于：一個(gè)紅球，一個(gè)綠球；兩個(gè)紅球；與都是綠球互斥且對(duì)立故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)事件，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024高一·山東德州·專題練習(xí)）有5件產(chǎn)品，其中3件正品，2件次品，從中任取2件，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是A．至少有1件次品與至多有1件正品 B．至少有1件次品與都是正品C．至少有1件次品與至少有1件正品 D．恰有1件次品與恰有2件正品【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、互斥事件與對(duì)立事件關(guān)系的辨析【分析】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的定義,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A、至少有1件次品與至多有1件正品不互斥,它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況,故不滿足條件.B、至少有1件次品與都是正品是對(duì)立事件,故不滿足條件.C、至少有1件次品與至少有1件正品不互斥,它們都包括了“一件正品與一件次品”的情況,故不滿足條件.D、恰有1件次品與恰有2件正是互斥事件,但不是對(duì)立事件,因?yàn)槌酥膺€有“兩件都是次品”的情況,故滿足條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)立事件和互斥事件，意在考查學(xué)生對(duì)對(duì)立事件和互斥事件的理解,難度較易.易錯(cuò)題型三忽視了概率加法公式適用的前提條件例題1：（23-24高一下·陜西西安·期末）已知隨機(jī)事件A，B滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】概率的基本性質(zhì)【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，.故選：D例題2：（多選）（24-25高二上·河北保定·開學(xué)考試）已知事件兩兩互斥，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式【分析】根據(jù)互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭录蓛苫コ?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，故B正確；對(duì)于D，由，得，故D正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C正確.故選：BCD.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若隨機(jī)事件A，B滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】概率的基本性質(zhì)【分析】由概率的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由概率的性質(zhì)，.故選：B.2．（多選）（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是三個(gè)隨機(jī)事件，則下列說法正確的是（

）A．若互斥，則B．若A?B，則C．D．若相互獨(dú)立，則【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件關(guān)系的辨析、相互獨(dú)立事件與互斥事件、概率的基本性質(zhì)、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷得到答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若A，B互斥但不對(duì)立，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若A?B，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：顯然，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，故D正確.故選：BCD.易錯(cuò)題型四基本事件列舉時(shí)出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏例題1：（24-25高二上·山東淄博·階段練習(xí)）已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)現(xiàn)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.①寫出樣本空間；②設(shè)事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事件發(fā)生的概率.【答案】(1)甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人(2)①答案見解析；②【知識(shí)點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計(jì)算、寫出基本事件、計(jì)算古典概型問題的概率【分析】（1）根據(jù)分層抽樣得定義即可得解；（2）①利用列舉法即可得解；②利用古典概型求解即可.【詳解】（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人；（2）①設(shè)甲年級(jí)的是，乙年級(jí)的是，丙年級(jí)的是，則樣本空間為；②由①得，事件包含的基本事件為共5種，所以.例題2：（23-24高三上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰螅緦⒔o予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)估計(jì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)現(xiàn)在要從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，5）間用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求抽到2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間的概率.【答案】(1)(2)（萬元）(3)【知識(shí)點(diǎn)】由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、計(jì)算古典概型問題的概率、補(bǔ)全頻率分布直方圖、寫出基本事件【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程，能求出實(shí)數(shù)a的值；（2）利用頻率分布直方圖能求出平均數(shù)的估計(jì)值；（3）從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，5)間用分層抽樣的方法抽取6人，則購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，4)間的有4人，記為，購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[4，5）間的有2人，記為A，B，通過列舉法求出抽到2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4)間的概率.【詳解】（1）由題意知，，解得；（2）平均數(shù)的估計(jì)值為(萬元)（3）從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，5)間用分層抽樣的方法抽取6人，則購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，4）間的有4人，記為，購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[4，5）間的有2人，記為A，B，則基本事件有:共15種情況，其中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間有共6種情況，所以抽到的2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間有6種情況，所以抽到的2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3,4)間的概率為鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為一號(hào)和二號(hào)），觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求下列事件的概率：①A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是”；②B=“一號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)比二號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大”.【答案】(1)樣本空間詳見解析(2)①；②【知識(shí)點(diǎn)】寫出基本事件、計(jì)算古典概型問題的概率【分析】（1）列用列舉法求得正確答案.（2）結(jié)合（1）以及古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】（1）樣本空間為：{，，，，，}.（2）①“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是”，包括的樣本為：，，，，，所以.②“一號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)比二號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大”，包括的樣本為：，，，，，所以.2．（2023高一·全國·專題練習(xí)）從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人構(gòu)成一組．(1)該活動(dòng)包含了多少個(gè)基本事件？(2)抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的概率是多少？【答案】(1)20個(gè)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】寫出基本事件、計(jì)算古典概型問題的概率【分析】（1）對(duì)6名同學(xué)編號(hào)，利用列舉法列出所有基本事件即可作答.（2）由（1），求出抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的基本事件數(shù)，再利用古典概型計(jì)算作答.【詳解】（1）4名男同學(xué)分別記為，2名女同學(xué)分別記為，選出的3人構(gòu)成的一組記為，表示一個(gè)基本事件，從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人的不同結(jié)果為：，，共20個(gè)，所以該活動(dòng)包含了20個(gè)基本事件.（2）由（1）知，抽出的男同學(xué)比女同學(xué)多的事件包含的基本事件有：，，共16個(gè)，所以抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的概率.易錯(cuò)題型五混淆了有放回和無放回例題1：（23-24高一下·天津西青·期末）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡單隨機(jī)抽樣和有放回簡單隨機(jī)抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】有放回與無放回問題的概率【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，記事件“抽到的兩人是一男生一女生”，在無放回簡單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:共12個(gè)樣本點(diǎn)，其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.在有放回簡單隨機(jī)抽樣方式下的樣本空間為:共16個(gè)樣本點(diǎn)，其中有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.故選：A.例題2：（多選）（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期末）袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地取3次，則下列說法正確的是（

）A．取出的3個(gè)球顏色相同的概率為B．取出的3個(gè)球顏色不全相同的概率為C．取出的3個(gè)球顏色全不相同的概率為D．取出的3個(gè)球無紅球的概率為【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、有放回與無放回問題的概率【分析】應(yīng)用古典概型計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)取得黃、紅、白球分別為，有放回地取球3次，共27種等可能結(jié)果，其中顏色相同的結(jié)果有3種，其概率為，故A錯(cuò)誤；顏色不全相同的結(jié)果有24種，,其概率為，故B正確；顏色全不相同的結(jié)果有6種，其概率為，故C正確；無紅球的結(jié)果有8種，其概率為，故D錯(cuò)誤．故選：BC.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地均相同的3個(gè)小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)分別用三種方案進(jìn)行摸球游戲．方案一：任意摸出一個(gè)球并選擇該球；方案二：先后有放回的摸出兩個(gè)球，若第二次摸出的球號(hào)碼比第一次大，則選擇第二次摸出的球，否則選擇第一次摸出的球；方案三：同時(shí)摸出兩個(gè)球，選擇其中號(hào)碼較大的球．記三種方案選到2號(hào)球的概率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、有放回與無放回問題的概率【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式分別求得三個(gè)方案選到2號(hào)球的概率，從而得解.【詳解】方案一：易得“選到2號(hào)球”的概率；方案二：先后有放回的摸出兩個(gè)球的基本事件有，共件，其中“選到2號(hào)球”的基本事件有，共件，所以“選到2號(hào)球”的概率為；方案三：同時(shí)摸出兩個(gè)球的基本事件有，共3件，其中“選到2號(hào)球”的基本事件有，共1件，所以“選到2號(hào)球”的概率為；所以，故AB錯(cuò)誤，CD正確.故選：CD.2．（23-24高一下·天津·期末）抽取某車床生產(chǎn)的8個(gè)零件，編號(hào)為，，...，，測(cè)得其直徑（單位：cm）分別為：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直徑在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.(1)求從上述8個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；(2)從上述一等品零件中，不放回地依次隨機(jī)抽取2個(gè)，用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果，并求這2個(gè)零件直徑相等的概率.【答案】(1)(2)結(jié)果見解析，【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、有放回與無放回問題的概率【分析】（1）根據(jù)條件，利用古典概率公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，列出樣本空間點(diǎn)和事件的樣本點(diǎn)，利用古典概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有5個(gè).設(shè)“從8個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件，則.所以，從8個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品的概率為.（2）一等品零件的編號(hào)為，，，，.從這5個(gè)一等品零件中依次不放回隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有：，，分共20種.設(shè)“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”為事件，所有可能結(jié)果有：，共有8種.所以，.003壓軸題型壓軸題型一獨(dú)立事件的判斷例題1：（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為，乙盒中有3個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為，現(xiàn)從甲?乙兩盒中分別隨機(jī)摸出1個(gè)小球，記事件“摸到的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)相同”，事件“摸到的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和為奇數(shù)”，則（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相對(duì)立C．事件A和相互獨(dú)立 D．事件A和互斥【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】寫出基本事件、相互獨(dú)立事件與互斥事件、判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、確定所給事件的對(duì)立關(guān)系【分析】列舉出樣本空間、事件和事件，即可判斷A；對(duì)于BD：根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)事件概率乘法公式分析判斷.【詳解】用每次取球的結(jié)果，分別表示甲?乙兩盒中分別隨機(jī)摸出1個(gè)小球的標(biāo)號(hào)，由題意可知：樣本空間；事件；事件，；對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以事件A和不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BD：因?yàn)槭录?，所以事件A和互斥，事件A和不互相對(duì)立，故B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋瑒t，顯然，所以事件A和不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；故選：D.例題2：（多選）（2024·貴州貴陽·一模）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．乙發(fā)生的概率為 B．丙發(fā)生的概率為C．甲與丁相互獨(dú)立 D．丙與丁互為對(duì)立事件【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件關(guān)系的辨析、相互獨(dú)立事件與互斥事件、獨(dú)立事件的判斷、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】先計(jì)算出甲乙丙丁的概率，故可判斷AC的正誤，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可判斷C的正誤，根據(jù)對(duì)立事件的意義可判斷D的正誤.【詳解】設(shè)A為事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，B為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，C為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，D為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；而，故C對(duì)；兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對(duì)立事件，故D正確.故選：BCD.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·