第頁專題10橢圓大題綜合歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】求橢圓方程 2【題型二】與橢圓有關的求軌跡 4【題型三】橢圓大題基礎：韋達定理 6【題型四】橢圓弦長 9【題型五】弦橢圓中點與中點弦 11【題型六】橢圓常規(guī)求面積 13【題型七】直線過定點 16【題型八】橢圓中的面積最值范圍型 18【題型九】橢圓中的定值求解與證明 20【題型十】橢圓中斜率定值 22【題型十一】橢圓：a=tb型 24培優(yōu)第一階——基礎過關練 25培優(yōu)第二階——能力提升練 31培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 38綜述：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．直線與橢圓的位置關系：判別式法，即將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消去一個變量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0：①Δ＞0?有兩個交點(相交)； ②Δ＝0?有一個交點(相切)； ③Δ＜0?沒有交點(相離)．(2)弦長問題：弦長公式＋韋達定理，即|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|.(3)中點問題：點差法，即設點代入，然后作差，可以解決中點坐標與直線斜率之間的關系.(4)巧設直線：反設直線法，即過x軸上一點(a,0)的直線可設為x＝ty＋a，這樣可避免對直線斜率存在性的討論．【題型一】求橢圓方程【典例分析】求經(jīng)過點和的橢圓的標準方程，并畫出圖形．【提分秘籍】基本規(guī)律標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關系a2＝b2＋c2【變式訓練】1.已知橢圓C：過點，點A為其左頂點，且AM的斜率為，求橢圓C的方程．2.求滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)兩個焦點的坐標分別為，并且橢圓經(jīng)過點．(2)已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓C上，求C的方程．【題型二】與橢圓有關的求軌跡【典例分析】已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，求直線和的交點的軌跡方程．【提分秘籍】基本規(guī)律1.定義法：根據(jù)橢圓的定義來求軌跡方程2.方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，當m＝n>0時表示圓；當m>n>0或n>m>0時表示橢圓；當mn<0時表示雙曲線．【變式訓練】1.已知圓的方程x2＋y2＝25，點A為該圓上的動點，AB與x軸垂直，B為垂足，點P分線段BA的比BP：PA=.（1）求點P的軌跡方程并化為標準方程形式；（2）寫出軌跡的焦點坐標和準線方程.2..設、分別為橢圓：的左、右兩個焦點（Ⅰ）若橢圓上的點到、兩點的距離之和等于6，寫出橢圓的方程和焦點坐標；（Ⅱ）設點是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點M的軌跡方程.3.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．【題型三】橢圓大題基礎：韋達定理【典例分析】已知橢圓，點，C分別是橢圓M的左焦點、左頂點，過點的直線l（不與x軸重合）交M于A，B兩點．(1)求M的離心率及短軸長；(2)是否存在直線l，使得點B在以線段AC為直徑的圓上？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．【提分秘籍】基本規(guī)“五個方程”（過去老高考對韋達定理型的直觀稱呼。）一直一曲倆交點。直線有沒有？是那種未知型的？已知過定點。則可設為，同時討論k不存在情況。如3.曲線方程有沒有？倆交點：設為4.聯(lián)立方程，消y或者消x，建立一元二次方程，同時不要忘了判別式或者得到對應的韋達定理或目標，就是把題中問題轉化為第六個關于韋達定理的方程或者不等式，代入求解【變式訓練】1.已知橢圓：的上頂點為B，右焦點為F，直線與橢圓交于兩點，若橢圓的右焦點恰好為的垂心，則直線的方程為____________．【題型四】橢圓弦長【典例分析】橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.【提分秘籍】基本規(guī)律直線與圓錐曲線交點弦長公式：【變式訓練】1.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為且過點，(1)求橢圓的標準方程；(2)傾斜角為45°的直線過橢圓的右焦點交橢圓于?兩點，求2.．已知橢圓的上頂點與橢圓的左，右頂點連線的斜率之積為．(1)求橢圓C的離心率；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點，，求橢圓C的標準方程．【題型五】弦橢圓中點與中點弦【典例分析】已知橢圓C：的左右焦點分別為，，且，與短軸的兩個端點恰好為正方形的四個頂點，點在C上．(1)求C的方程；(2)若過點的直線l交C于A，B兩點，且M是AB的中點，求直線的斜率．【提分秘籍】基本規(guī)律中點弦定理（又稱橢圓第三定義為）：A,B是橢圓C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上兩點，M為A,B中點，則（可用點差法快速證明）【變式訓練】1..已知橢圓C∶經(jīng)過點，O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為.求橢圓C的標準方程；2.已知橢圓的焦距為4，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的中點P在圓上，求m的值．【題型六】橢圓常規(guī)求面積【典例分析】.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，左焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓的右焦點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，求的面積.【提分秘籍】基本規(guī)律圓錐曲線中求面積常規(guī)類型（1）(2)三角形恒過數(shù)軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉化為(3)三角形恒過某定點，可分為左右或者上下面積，轉化為（4）四邊形面積，注意根據(jù)題中條件，直接求面積或者轉化為三角形面積求解?！咀兪接柧殹恳阎獧E圓，直線與橢圓交于，兩點，且的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)當時，斜率為的直線交橢圓于，兩點（，兩點在直線的異側），若四邊形的面積為，求直線的方程．【題型七】直線過定點【典例分析】已知橢圓的一個頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程(2)過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點A，B，與軸交于點E，線段AB的中點為P，直線過點E且垂直于（其中O為原點），證明直線過定點.【提分秘籍】基本規(guī)律直線過定點1、直線多為y=kx+m型2.目標多為求：m=f（k），則y=kx+f（k）3.一些題型，也可以直接求出對應的m的值【變式訓練】1..已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標．【題型八】橢圓中的面積最值范圍型【典例分析】已知點?分別是橢圓C：）的左?右焦點，點P在橢圓C上，當∠PF1F2=時，面積達到最大，且最大值為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線l：與橢圓C交于A?B兩點，求面積的最大值.【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以借助均值不等式求最值。2.分式型，多可以通過構造來求最值，如下幾種常見的。（1）（2）與型，可以設mx+n=t，換元，簡化一次項，然后構造均值或者對勾函數(shù)求解。（3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉化分子為一次，再換元求解【變式訓練】已知橢圓：的長軸長為4，左、右頂點分別為，，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，（不與點，重合）．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)求四邊形面積的最大值；【題型九】橢圓中的定值求解與證明【典例分析】已知橢圓的離心率為，若與圓相交于M，N兩點，且圓E在內(nèi)的弧長為．(1)求的值；(2)過橢圓的上焦點作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于A，B、C，D，求證：為定值．【提分秘籍】基本規(guī)律求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【變式訓練】已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.【題型十】橢圓中斜率定值【典例分析】已知分別是橢圓的左?右頂點，分別是的上頂點和左焦點.點在上，滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點，設直線的斜率分別為，求證：為定值.【變式訓練】設橢圓：的離心率為，焦距為2，過右焦點的直線與橢圓交于A，兩點，點，設直線與直線的斜率分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)隨著直線的變化，是否為定值？請說明理由.【題型十一】橢圓：a=tb型【典例分析】已知、是橢圓的左、右兩個焦點，其中，為坐標原點．(1)以線段為直徑的圓與直線相切，求的離心率；(2)設為橢圓的上頂點，直線交橢圓于另一點．若橢圓的焦距為，且，求的值．【提分秘籍】基本規(guī)律弦長a=tb型1.利用公式，可消去參數(shù)2.可以直接借助韋達定理反解消去兩根【變式訓練】設，分別是橢圓：的左、右焦點，的離心率為，點是上一點.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓E于A，B兩點，且，求直線的方程.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎過關練1.求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點在軸上，中心為坐標原點，經(jīng)過點，.（2）以點，為焦點，經(jīng)過點.2.已知點滿足條件，求點的軌跡的方程.3.橢圓C：左右焦點為，，離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標準方程；(2)經(jīng)過點，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點，求．4.已知橢圓：的左?右焦點分別為，，離心率為，過點的直線交橢圓于兩點，的中點坐標為.求橢圓的標準方程；5.．在平面直角坐標系中，橢圓：與橢圓有相同的焦點，，且右焦點到上頂點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過橢圓左焦點，且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，求的面積．6.已知橢圓的離心率為，左頂點為A，右頂點為B，上頂點為C，的內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓E的標準方程；(2)點M為直線上任意一點，直線AM，BM分別交橢圓E于不同的兩點P，Q．求證：直線PQ恒過定點，并求出定點坐標．7.已知橢圓的上頂點E與其左、右焦點構成面積為1的直角三角形．(1)求橢圓C的方程；(2)過點的直線l交C于兩點，P是C上的動點，當時，求面積的最大值．8.已知橢圓的長軸的兩個端點分別為離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)M為橢圓C上除A，B外任意一點，直線交直線于點N，點O為坐標原點，過點O且與直線垂直的直線記為l，直線交y軸于點P，交直線l于點Q，求證：為定值．9.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線AM和直線AN的斜率分別為和，求證：為定值10.橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一個正方形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的右焦點作直線交于，兩點，且，求．培優(yōu)第二階——能力提升練1..已知橢圓（）的離心率為，，是橢圓的兩個頂點，如果左焦點F到直線AB的距離為，求該橢圓的方程．2.如圖，已知A，B是兩定點，且．動點M到點A的距離是4，線段MB的垂直平分線l交MA于點P，求當M變化時，動點P的軌跡方程．3.已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點M滿足．(1)求橢圓C的標準方程：(2)若過坐標原點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，求線段PQ長為時直線l的方程．4.已知動點與平面上點，的距離之和等于.(1)求動點的軌跡方程；(2)若經(jīng)過點的直線與曲線交于，兩點，且點為的中點，求直線的方程.5.已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，左、右焦點分別為，，且，點在該橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)過的直線與橢圓相交于，兩點，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．6.已知點在橢圓C：（）上，橢圓C的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓O：（）相切，試判斷直線AB是否過定點，并證明你的結論.7.已知橢圓的離心率，點在橢圓C上．A，B分別為橢圓C的上下頂點，動直線l交橢圓C于P，Q兩點，滿足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足為H．(1)求橢圓C的標準方程；(2)求面積的最大值．8..已知橢圓．(1)若過橢圓的一個焦點引兩條互相垂直的弦、．求證：是定值；(2)若、在橢圓上且．求證：是定值．9.已知橢圓：的離心率為，短軸長為2.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點，，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.10.已知橢圓C：，，且橢圓C右焦點為，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程；(2)過的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，求直線l的方程.培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.已知橢圓：（）過點，直線：與橢圓交于兩點，且線段的中點為，為坐標原點，直線的斜率為，求橢圓的標準方程；2.已知P是橢圓＋＝1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程3.已知直線：與橢圓：交于，兩點．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．4..已知橢圓：的左右焦點分別為，