量子力學(xué)基本原理分析概述量子信息的物理依據(jù)是量子力學(xué)。在微觀世界中，量子具有一些特殊的性質(zhì)REF_Ref68609212\r\h[1]REF_Ref68610365\r\h[64]，并通過數(shù)學(xué)工具進行了嚴密的推導(dǎo)REF_Ref68618045\r\h[65]REF_Ref68618089\r\h[66]。在這一小節(jié)我們簡單介紹量子力學(xué)的一些相關(guān)定理。酉變換與密度矩陣系統(tǒng)的態(tài)的空間也被叫做希爾伯特（Hilbert）向量空間，是指擁有內(nèi)積的復(fù)雜向量的空間。作為最簡單的量子系統(tǒng)，每個量子比特都可以表示為一個兩個維度上的量子態(tài)矢量空間。假設(shè)該矢量空間的正交基為和，那么任何一個量子比特都能夠被寫為： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s11）其中存在的歸一化的條件。在沒有經(jīng)過測量時，一個量子比特時刻居于和的疊加。而當該量子比特被測量后，它坍塌為態(tài)的概率為，坍塌為態(tài)的概率為。只有經(jīng)過測量，才可以獲知量子態(tài)的準確狀態(tài)。我們一般用酉變換來刻畫量子系統(tǒng)的演化過程。酉變換是一種線性變換，又被稱作幺正變換。物理系統(tǒng)的矢量隨時間的變化過程通常由薛定諤方程來表示。即 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s14）其中，為普朗克常數(shù)。為量子系統(tǒng)的哈密頓算符，代表量子系統(tǒng)的總能量。為虛數(shù)，。假設(shè)在時間時的量子態(tài)為，在時間時的量子態(tài)為，那么可用一個只與和有關(guān)的酉換來刻畫系統(tǒng)的演化過程。即 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s12）其中 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s13）上述酉變換描述了封閉的量子系統(tǒng)在兩個不同時間的量子態(tài)是如何相關(guān)的。當量子系統(tǒng)為單個量子比特時，我們能夠在現(xiàn)實中實現(xiàn)任意一個酉變換。我們通常使用密度算符來表示封閉且未知的量子系統(tǒng)。密度算符一般用矩陣描述，因此也被寫為密度矩陣。如果一個量子系統(tǒng)可以用一組正交基來表示，可以稱這個系統(tǒng)為純態(tài)系統(tǒng)，用表示。與此相對應(yīng)的是量子混合態(tài)，混合態(tài)是具有相應(yīng)概率的各種純態(tài)的集合。如果一個量子態(tài)處于純態(tài)的若干態(tài)之一，分別具有概率。將稱為純態(tài)的集合。那么這個系統(tǒng)的量子態(tài)的密度矩陣可以用以下式子來描述： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s15）若一個量子系統(tǒng)的初始態(tài)為個具有概率的態(tài)。在進行酉變換之后該系統(tǒng)變?yōu)榫哂懈怕实膽B(tài)。如果用方程來描述量子系統(tǒng)的演化，則可以寫作： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s16）如果量子系統(tǒng)的態(tài)是混合態(tài)的概率疊加，那么需要引入密度矩陣。密度矩陣描述了一個以概率為的態(tài)疊加形成的量子系統(tǒng)。設(shè)來自于純態(tài)的集合，那么這個量子態(tài)的密度矩陣如下： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s17） 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s18）類似于上述，我們可以理解為處于純態(tài)的概率是。海森堡不確定性原理不確定性原理的主要思想體現(xiàn)為在微觀世界中，如果需要測量一個粒子，測量者永遠做不到同時得到該粒子的位置和動量這二者的精確值。故也把這個定理叫做測不準原理。粒子的動量與它的波長有關(guān)，依據(jù)物質(zhì)波公式，有： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s19）其中代表粒子動量，為光的波長。波速通常為光速。 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s110）由此可見，動量和頻率成正比。由于光具有波粒二象性，光子會以概率波的方式呈正態(tài)分布。設(shè)粒子的位置表達式如下，起始位置為0，遵循正態(tài)分布原則。 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s111）將該位置分布表達式經(jīng)過傅里葉變換后，獲取到粒子的頻域分布： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s112）從表達式中可以看到，粒子位置分布的方差越小，則粒子頻域的方差一定越大，也就是說，粒子的位置和頻率無法同時達到最小方差的值，由于頻率和動量成正比，可利用傅里葉變換原理證得不確定性原理。假設(shè)對于一個粒子，用代表它的坐標的不確定性，代表它的動量的不確定性。它們之間的關(guān)系受到不等式的約束。即在測量微觀粒子時，粒子的坐標測量越精準，那么與之對應(yīng)，它的動量越不確定；反過來，粒子的動量測量越精準，其坐標越不確定。所以說，即便通過測量，人們也無法同步獲知精確的坐標和動量。通過后續(xù)的研究可得，不僅是坐標和動量，時間和能量、方位角與動力矩等相對應(yīng)的物理量也具有相關(guān)的不確定性定理。量子不可克隆定理量子具有不可克隆的特性，即不可以產(chǎn)生量子系統(tǒng)的幾個完全相同的副本，這一點在文獻REF_Ref68609176\r\h[3]中得到證實。如果量子可以克隆，那么可以產(chǎn)生同極化的克隆的光子，經(jīng)過測量確定它的極化，由此實現(xiàn)超光速通信。但實際上量子是不可被克隆的，因此超光速通信是不可能實現(xiàn)的。如果一個光子極化態(tài)為，代表兩個相同的光子，其中每個光子極化都為，和分別代表復(fù)制設(shè)備的初始態(tài)和最終態(tài)。 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s113）關(guān)于水平態(tài)和垂直態(tài)，同樣具有和。在量子力學(xué)中，這種變換可以使用酉算子來描述，設(shè)光子為線性組合，那么它與設(shè)備的相互作用可以用以上兩個方程式的疊加表示 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s114）如果與相同，那么即為，如果與不同，那么這兩個光子為混合極化態(tài)。無論是哪種情況，最終結(jié)果都與我們所需要的兩個分別量子態(tài)為的光子不同，因此我們無法通過復(fù)制的方式獲得未知量子態(tài)的副本。由此可見，我們通過數(shù)學(xué)理論可以證明，量子具有不可克隆的特性。量子測量通過量子測量，可以得知得到每一種結(jié)果的概率分別是多少，和在經(jīng)過測量之后量子的態(tài)的變化描述。由于量子系統(tǒng)在通過測量之后會發(fā)生坍縮現(xiàn)象，所以只能測量一次。測量是量子通信中極為關(guān)鍵的部分，一般用酉算子的集合來表示，其中索引是可能的測量結(jié)果。假設(shè)一個量子系統(tǒng)用表示，那么通過測量獲得的概率為： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s115）測量之后，量子系統(tǒng)的態(tài)為。投影測量用一個可被觀測到的厄密算符表示，也就是每個元素之間是互相正交的，它可以被分解為： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s116）為正交投影，為特征值。量子系統(tǒng)通過測量其結(jié)果為的概率為： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s117）測量之后系統(tǒng)的態(tài)為。投影測量可以用來測量正交的量子系統(tǒng)，如果測量量子態(tài)為，可以設(shè)置厄米算符為，，。其中符合完備性關(guān)系：和。POVM測量為正算符取值測度，用于測量非正交的量子態(tài)。若，則通過測量取得結(jié)果的概率為。為正算子POVM集合，并且滿足。如果不需要知道量子系統(tǒng)經(jīng)過測量之后量子態(tài)的演變，而只想獲取到經(jīng)過測量之后得到各種結(jié)果的概率，那么可以選擇POVM測量。theChurch–Turingprincipleandtheuniversalquantumcomputer[J].ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.A.MathematicalandPhysicalSciences,1985,400(1818):97-117.王永利,徐秋亮.量子計算與量子密碼的原理及研究進展綜述[J].計算機研究與發(fā)展,2020,57(10):2015-2026.WoottersWK,ZurekWH.Asinglequantumcannotbecloned[J].Nature,1982,299(5886):802-803.AchuthanP,VenkatesanK.Generalprinciplesofquantummechanics[J].HandbuchderPhysik,1958,5(Part1).李科.關(guān)于量子信道容量的研究[D].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2009.陳小余.量子信道容量研究[D].浙江大學(xué),2002.BennettCH,BrassardG,CrépeauC,etal.TeleportinganunknownquantumstateviadualclassicalandEinstein-Podolsky-Rosenchannels[J].Physicalreviewletters,1993,70(13):1895.HilleryM,Bu?ekV,BerthiaumeA.Quantumsecretsharing[J].PhysicalReviewA,1999,59(3):1829.龍桂魯,王川,李巖松,等.量子安全直接通信[J].中國科學(xué):物理學(xué)力學(xué)天文學(xué),2011,41:332-342.BennettCH,BrassardG.Quantumcryptography:Publickeydistributionandcointossing[J].arXivpreprintarXiv:2003.06557,2020.EkertAK.QuantumcryptographybasedonBell’stheorem[J].Physicalreviewletters,1991,67(6):661.BennettCH.Quantumcryptographyusinganytwononorthogonalstates[J].Physicalreviewletters,1992,68(21):3121.李冬芬,王瑞錦,張鳳荔,等.噪聲信道下量子隱形傳態(tài)協(xié)議研究綜述[J].電子科技大學(xué)學(xué)報,2018,47(1):73-79.BouwmeesterD,PanJ,MattleK,etal.Experimentalquantumteleportation[J].Nature,1997,390(6660):575-579.LloydS,ShapiroJH,WongFNC,etal.InfrastructureforthequantumInternet[J].ACMSIGCOMMComputerCommunicationReview,2004,34(5):9-20.龍桂魯.量子安全直接通信原理與研究進展[J].信息通信技術(shù)與政策,2020(7):10-19.LongGL,LiuXS.Theoreticallyefficienthigh-capacityquantum-key-distributionscheme[J].PhysicalReviewA,2002,65(3):032302.DengFG,LongGL,LiuXS.Two-stepquantumdirectcommunicationprotocolusingtheEinstein-Podolsky-Rosenpairblock[J].PhysicalReviewA,2003,68(4):042317.DengFG,LongG